2025年大学《信息与计算科学》专业题库-信息与计算科学的计算数学

2025年大学《信息与计算科学》专业题库——信息与计算科学的计算数学考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、填空题（每空3分，共15分）1.已知数据点(x₀,y₀),(x₁,y₁)，拉格朗日插值公式P₁(x)=y₀*(x-x₁)/(x₀-x₁)+y₁*(x-x₀)/(x₁-x₀)，则P₁(x₀)=______，P₁(x₁)=______。2.数值求积公式∑ᵢ[li(x)*f(xi)]适用于计算定积分∫[a,b]f(x)dx，其中li(x)是基于节点x₀,x₁,...,xn的______。3.用牛顿迭代法求方程f(x)=0的根，其迭代公式为x_{k+1}=x_k-f(x_k)/f'(x_k)，则其局部收敛阶为______。4.对于线性方程组Ax=b，若矩阵A可逆，则高斯消元法实质上是通过初等行变换将A化为______，从而解出x。5.若用二阶龙格-库塔法求解初值问题y'=f(x,y),y(x₀)=y₀，则其计算公式中涉及f在______点的值。二、简答题（每题5分，共20分）1.简述泰勒级数在数值逼近中的作用。2.什么是线性方程组迭代法的收敛性？简述雅可比迭代法和高斯-赛德尔迭代法收敛性的主要区别。3.何谓数值微分？常用的数值微分公式有哪些？4.在求解常微分方程初值问题时，欧拉法与改进欧拉法（如中点法）相比，其主要优缺点是什么？三、计算题（每题10分，共30分）1.给定数据点(1,2),(2,3),(3,5)，构造关于这三个点的二次拉格朗日插值多项式P₂(x)。2.用迭代法（要求写出迭代公式并说明选择该方法的理由）求解线性方程组：3x₁+2x₂=7x₁+4x₂=8要求迭代两次。3.用四阶龙格-库塔法（RK4）求解初值问题y'=x+y,y(0)=1在区间[0,0.5]上，取步长h=0.1，计算y(0.1)和y(0.2)的近似值。四、证明与讨论题（每题12分，共24分）1.证明：若函数f(x)在区间[a,b]上具有二阶连续导数，则存在ξ∈(a,b)，使得∫[a,b]f(x)dx-(b-a)f((a+b)/2)≈(b-a)²/12*f''(ξ)。（提示：考虑构造一个关于f''(ξ)的辅助函数）2.对于线性方程组Ax=b，若矩阵A对角占优（即对于所有i，|aᵢⱼ|>∑ᵢ≠ⱼ|aᵢⱼ|），证明高斯-赛德尔迭代法对该方程组收敛。试卷答案一、填空题（每空3分，共15分）1.y₀,y₁2.拉格朗日插值基函数（或基多项式）3.二4.单位上三角矩阵（或行最简形矩阵）5.x_k,x_k+h*f(x_k,y_k)（或x₀,x_k+h*f(x_k,y_k)）二、简答题（每题5分，共20分）1.解析思路：泰勒级数可以将一个光滑函数在某点附近用多项式近似表示。在数值逼近中，利用泰勒级数可以推导出各种插值公式（如拉格朗日插值、牛顿插值）、数值微分公式和数值积分公式，或者用于估计计算过程中的误差。2.解析思路：迭代法收敛性指迭代序列{x^k}是否收敛到方程的根α。雅可比迭代法和高斯-赛德尔迭代法收敛性的主要区别在于迭代矩阵谱半径的大小，高斯-赛德尔迭代法利用了最新的近似值，通常比雅可比迭代法具有更快的收敛速度，其收敛性条件（如矩阵A对角占优或某种松弛条件）也相对宽松。3.解析思路：数值微分是指用有限差分公式近似计算函数在某点的导数。常用的数值微分公式包括向前差分公式、向后差分公式和中心差分公式。中心差分公式在精度上通常优于向前和向后差分公式。4.解析思路：欧拉法简单直观，易于实现，但精度较低（一阶精度），且收敛速度慢，对步长h敏感。改进欧拉法（如中点法）通过引入预测-校正步骤或利用点斜式等，提高了精度（通常是二阶精度），改善了收敛性，对步长h的敏感性也相对较低。三、计算题（每题10分，共30分）1.解析思路：根据拉格朗日插值多项式P₂(x)=l₀(x)*y₀+l₁(x)*y₁的定义，首先计算三个插值基函数l₀(x),l₁(x),l₂(x)。利用lᵢ(x)=∏[j=0,n,j≠i](x-xⱼ)/(xᵢ-xⱼ)的公式，代入x₀=1,y₀=2,x₁=2,y₁=3,x₂=3,y₂=5。计算得到l₀(x),l₁(x),l₂(x)的具体表达式后，将它们代入P₂(x)的公式中，进行化简合并即可得到最终结果。P₂(x)=(x-2)(x-3)/(1-2)*2+(x-1)(x-3)/(2-1)*3+(x-1)(x-2)/(3-1)*5=-2(x²-5x+6)+3(x²-4x+3)+5/2(x²-3x+2)=(-2+3+5/2)x²+(10-12+15/2)x+(-12+9+5)=(9/2)x²+(13/2)x+22.解析思路：选择迭代法需要考察系数矩阵的性质。该方程组的系数矩阵A=[32;14]的主对角元3和4均大于其对应行其余元素之和(2,1)，故矩阵A对角占优，高斯-赛德尔迭代法收敛。迭代公式为：x₁^(k+1)=(7-2x₂^k)/3x₂^(k+1)=(8-x₁^(k+1))/4进行第一次迭代(k=0)，用初始值x₁^0=0,x₂^0=0代入：x₁^1=(7-2*0)/3=7/3x₂^1=(8-7/3)/4=(24-7)/12=17/12进行第二次迭代(k=1)，用x₁^1,x₂^1代入：x₁^2=(7-2*(17/12))/3=(84-34)/36=50/36=25/18x₂^2=(8-25/18)/4=(144-25)/72=119/72结果为x₁≈25/18,x₂≈119/72。3.解析思路：四阶龙格-库塔法（RK4）的公式为：k₁=h*f(x_k,y_k)=h*(x_k+y_k)k₂=h*f(x_k+h/2,y_k+k₁/2)=h*[(x_k+h/2)+(y_k+h(x_k+y_k)/2)]k₃=h*f(x_k+h/2,y_k+k₂/2)=h*[(x_k+h/2)+(y_k+h[(x_k+h/2)+(y_k+h(x_k+y_k)/2)]/2)]k₄=h*f(x_k+h,y_k+k₃)=h*[(x_k+h)+(y_k+h[(x_k+h/2)+(y_k+h[(x_k+h/2)+(y_k+h(x_k+y_k)/2)]/2)]]y_{k+1}=y_k+(k₁+2k₂+2k₃+k₄)/6计算步长h=0.1，x₀=0,y₀=1。计算y(0.1)=y₁：k₁=0.1*(0+1)=0.1k₂=0.1*[(0+0.05)+(1+0.1*(0+1)/2)]=0.1*[0.05+(1+0.05)]=0.1*1.1=0.11k₃=0.1*[(0+0.05)+(1+0.1*(0+0.05+(1+0.1*(0+0.05+0.1*(0+1)/2))/2))/2]=0.1*[0.05+(1+0.1*(0.05+(1+0.1*(0.05+0.05))/2))/2]=0.1*[0.05+(1+0.1*(0.05+1.125)/2)/2]=0.1*[0.05+(1+0.1*1.0625/2)/2]=0.1*[0.05+(1+0.10625)/2]=0.1*[0.05+1.053125/2]=0.1*[0.05+0.5265625]=0.1*0.5765625=0.05765625k₄=0.1*[(0+0.1)+(1+0.1*(0+0.05+(1+0.1*(0+0.05+0.1*(0+1)/2))/2))]=0.1*[(0.1)+(1+0.1*(0.05+(1+0.1*(0.05+0.05))/2))]=0.1*[0.1+(1+0.1*(0.05+1.125)/2)]=0.1*[0.1+(1+0.1*1.0625/2)]=0.1*[0.1+(1+0.10625)/2]=0.1*[0.1+1.053125/2]=0.1*[0.1+0.5265625]=0.1*0.6265625=0.06265625y₁=1+(0.1+2*0.11+2*0.05765625+0.06265625)/6=1+(0.1+0.22+0.1153125+0.06265625)/6=1+0.49796875/6=1+0.08266145833...≈1.08266145833...计算y(0.2)=y₂：x₁=0.1,y₁≈1.08266145833...k₁=0.1*(0.1+1.08266145833...)=0.1*1..=0.118266145833...k₂=0.1*[(0.1+0.05)+(1.08266145833...+0.1*(0.1+1.08266145833...)/2)]=0.1*[0.15+(1.08266145833...+0.1*1..)/2]=0.1*[0.15+(1.08266145833...+0.118266145833...)/2]=0.1*[0.15+1.20092760417.../2]=0.1*[0.15+0.60046380208...]=0.1*0.75046380208...=0.075046380208...k₃=0.1*[(0.1+0.05)+(1.08266145833...+0.1*(0.1+0.05+(1.08266145833...+0.1*(0.1+0.05+0.1*(0+1)/2))/2))/2]=0.1*[0.15+(1.08266145833...+0.1*(0.1+(1.08266145833...+0.1*(0.1+0.05)/2))/2)]=0.1*[0.15+(1.08266145833...+0.1*(0.1+(1.08266145833...+0.055)/2))/2]=0.1*[0.15+(1.08266145833...+0.1*(0.1+1.06855)/2)/2]=0.1*[0.15+(1.08266145833...+0.1*1.084275)/2]=0.1*[0.15+(1.08266145833...+0.1084275)/2]=0.1*[0.15+1.19108895833.../2]=0.1*[0.15+0.59554447917...]=0.1*0.74554447917...=0.074554447917...k₄=0.1*[(0.1+0.1)+(1.08266145833...+0.1*(0.1+0.05+(1.08266145833...+0.1*(0.1+0.05+0.1*(0+1)/2))/2))]=0.1*[(0.2)+(1.08266145833...+0.1*(0.1+(1.08266145833...+0.1*(0.1+0.05)/2))/2)]=0.1*[0.2+(1.08266145833...+0.1*(0.1+(1.08266145833...+0.055)/2))/2]=0.1*[0.2+(1.08266145833...+0.1*(0.1+1.06855)/2)/2]=0.1*[0.2+(1.08266145833...+0.1*1.084275)/2]=0.1*[0.2+(1.08266145833...+0.1084275)/2]=0.1*[0.2+1.19108895833.../2]=0.1*[0.2+0.59554447917...]=0.1*0.79554447917...=0.079554447917...y₂=1.08266145833...+(0.118266145833...+2*0.075046380208...+2*0.074554447917...+0.079554447917...)=1.08266145833...+(0.118266145833...+0.150092761616...+0.149108895834...+0.079554447917...)=1.08266145833...+0.49701240119...=1.57967286052...≈1.57967286052...四、证明与讨论题（每题12分，共24分）1.解析思路：利用积分中值定理，存在ξ₁∈(a,b)，使得∫[a,b]f(x)dx=f(ξ₁)*(b-a)。将f(ξ₁)替换为其泰勒展开式（只保留一阶项，因为积分后高阶项消失）f((a+b)/2)+f'((a+b)/2)*(ξ₁-(a+b)/2)+O((ξ₁-(a+b)/2)²)，代入积分式中：∫[a,b]f(x)dx=[f((a+b)/2)+f'((a+b)/2)*(ξ₁-(a+b)/2)+O((ξ₁-(a+b)/2)²)]*(b-a)=f((a+b)/2)*(b-a)+f'((a+b)/2)*(ξ₁-(a+b)/2)*(b-a)+O((b-a)³)令R=∫[a,b]f(x)dx-f((a+b)/2)*(b-a)，则R=f'((a+b)/2)*(ξ₁-(a+b)/2)*(b-a)+O((b-a)³)当b-a→0时，R→0。根据柯西平均值定理，存在ξ∈(a,b)，使得f'((a+b)/2)*(ξ₁-(a+b)/2)=(f(b)-f(a))/(b-a)因此，R=(f(b)-f(a))/(b-a)*(ξ₁-(a+b)/2)*(b-a)+O((b-a)³)=(f(b)-f(a))*(ξ₁-(a+b)/2)+O((b-a)⁴)注意到(ξ₁-(a+b)/2)∈(-(b-a)/2,(b-a)/2)，所以|R|≤|(f(b)-f(a))*(ξ₁-(a+b)/2)|+O((b-a)⁴)≤|f(b)-f(a)|*(b-a)/2+O((b-a)⁴)当b-a→0时，O((b-a)⁴)可以忽略。由于f(x)在[a,b]上二阶连续可导，根据泰勒定理，存在ξ∈(a,b)，使得f(b)=f(a)+f'(a)(b-a)+f''(ξ)*(b-a)²/2取a=(a+b)/2,b=(a+b)/2+h(h=(b-a)/2)，则f''(ξ)*h²/2=f((a+b)/2+h)-f((a+b)/2)。令h=b-a，则f''(ξ)*(b-a)²/2=f(b)-f(a)。将此代入R的表达式：R=(f(b)-f(a))*(ξ₁-(a+b)/2)+O((b-a)⁴)=[f''(ξ)*(b-a)²/2]*(ξ₁-(a+b)/2)+O((b-a)⁴)=f''(ξ)*(b-a)²*(ξ₁-(a+b)/2)/2+O((b-a)⁴)=f''(ξ)*(b-a)²/12*6*(ξ₁-(a+b)/2)+O((b-a)⁴)令ξ=ξ₁-(a+b)/2，则ξ∈(-h,h)。取η=ξ/h，则η∈(-1,1)。R=f''(ξ)*(b-a)²/12*6*h*η+O(h⁴)=f''(ξ)*(b-a)²/12*(b-a)*η+O(h⁴)=f''(ξ)*(b-a)³/12*η+O(h⁴)由于η∈(-1,1)，所以|R|≤|f''(ξ)|*(b-a)³/12+O(h⁴)。当h→0(即b-a→0)时，O(h⁴)→0，且ξ∈(a,b)，所以f''(ξ)存在且有界。因此，存在ξ∈(a,b)，使得∫[a,b]f(x)dx-(b-a)f(