2025年大学《数学与应用数学》专业题库- 在气象预测中应用贝叶斯统计方法

2025年大学《数学与应用数学》专业题库——在气象预测中应用贝叶斯统计方法考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、选择题（每小题4分，共20分。请将正确选项的字母填在题后的括号内。）1.设事件A和B的概率分别为P(A)=0.3，P(B)=0.4，且P(A|B)=0.5，则P(B|A)等于（）。A.0.625B.0.571C.0.8D.0.42.已知随机变量X的先验分布为N(μ₀,σ₀²)，在获得样本观测值x₁,x₂,...,xₙ后，若似然函数最大时对应的参数值为θ_MLE，则X的贝叶斯估计量（假设使用共轭先验）通常是（）。A.θ_MLEB.(μ₀+(n-1)θ_MLE)/nC.(μ₀σ_MLE²+nσ₀²θ_MLE)/(σ_MLE²+σ₀²)D.θ_MLE+(μ₀-θ_MLE)/n3.在贝叶斯决策理论中，若对于给定的行动aᵢ，后验风险R(aᵢ|θ)最小，则称行动aᵢ为（）。A.贝叶斯最优决策B.贝叶斯风险C.最小后验概率D.最优行动4.对于离散随机变量X，其先验分布为p(θ)，似然函数为L(θ|x)，则后验分布p(θ|x)满足（）。A.p(θ|x)∝L(θ|x)B.p(θ|x)∝p(θ)L(θ|x)C.p(θ|x)=L(θ|x)/p(θ)D.p(θ|x)∝1/L(θ|x)5.在气象预测中，若要预报“明天有雨”，定义事件A为“明天有雨”。假设根据历史资料和当前信息，P(A|I)（I为已知信息）较高，而P(A)（无信息下的先验概率）较低，贝叶斯方法的优势在于（）。A.能直接提高预报精度B.能充分利用先验信息I来修正预报C.总能得出比频率学派更准确的结果D.无需考虑历史气象数据二、填空题（每小题5分，共20分。请将答案填在题后的横线上。）6.设θ是参数，X₁,X₂,...,Xₙ是来自密度函数f(x|θ)的样本，似然函数L(θ;X₁,...,Xₙ)定义为________。7.在贝叶斯估计中，后验分布p(θ|D)关于θ的期望E[θ|D]称为________估计量。8.若随机变量X的后验分布是正态分布N(μ̂,σ̂²)，在给定样本D和先验信息下，μ̂的表达式通常涉及样本均值x̄、先验均值μ₀、样本量n和先验方差σ₀²，其形式为________（请写出公式表达式，无需代入具体数值）。9.贝叶斯决策中的风险R(aᵢ|θ)定义为________。三、计算题（共60分。请写出详细的计算步骤。）10.（10分）设事件A和B相互独立，且P(A)=0.6，P(B)=0.3。求P(A|Bᶜ)和P(Bᶜ|A)。11.（15分）假设某气象模型预测“明天气温高于30℃”的概率为0.7（即P(事件H|I)=0.7，H为“气温高于30℃”，I为模型已知信息）。根据历史经验和当前气候状况，在无模型信息时，“明天气温高于30℃”的先验概率为0.5（P(H)=0.5）。求在模型信息I下，“明天气温高于30℃”的后验概率P(H|I)。12.（15分）设随机变量X的密度函数为f(x;θ)=θx^(θ-1),0<x<1,θ>0。假设θ的先验分布为Gamma(α,β)，即p(θ)=(β^αΓ(α))*θ^(α-1)e^(-βθ),θ>0。现获得样本X₁,X₂,...,Xₙ的观测值。求θ的后验分布，并说明其属于哪个常用分布族（如果属于）。13.（20分）在气象预测中，要决定是否发布台风预警。定义：*状态θ：实际台风强度（0=无台风，1=有台风）。*行动a：发布预警（A）或不发布预警（Aᶜ）。*结果O：观测到的气象数据。*损失函数：L(a,θ,O)=5*I(θ=1,a=A,O=Aᶜ)+10*I(θ=1,a=Aᶜ,O=A)+1*I(θ=0,a=A)+0*I(θ=0,a=Aᶜ)。*先验概率：P(θ=1)=0.2,P(θ=0)=0.8。*条件概率：P(O|θ=1,A)=0.9,P(O|θ=0,A)=0.1,P(O|θ=1,Aᶜ)=0.3,P(O|θ=0,Aᶜ)=0.95。假设观测到气象数据为O=A（即发布了预警）。求在贝叶斯决策框架下，该预警决策是否最优？请通过计算后验风险进行比较（无需计算所有后验风险，只需说明比较过程和结论）。试卷答案一、选择题1.B*解析：根据贝叶斯定理，P(B|A)=P(A|B)P(B)/P(A)。P(A)=P(A|B)P(B)+P(A|Bᶜ)P(Bᶜ)=0.5*0.4+P(A|Bᶜ)*0.6。因为A和B独立，所以P(A|B)=P(A)=0.3。代入P(A|B)P(B)/P(A)=0.5*0.4/0.3=0.4/0.3=4/3。又P(A)=0.3=P(A|B)P(B)+P(A|Bᶜ)P(Bᶜ)=0.5*0.4+P(A|Bᶜ)*0.6=0.2+0.6*P(A|Bᶜ)，得P(A|Bᶜ)=(0.3-0.2)/0.6=1/6。再计算P(B|A)=(0.5*0.4)/0.3=0.2/0.3=2/3=0.6667≈0.625。*或：直接用P(B|A)=P(A|B)P(B)/P(A)=(0.5*0.4)/0.3=0.2/0.3=2/3=0.6667。选项B为0.625，与计算值2/3最接近（可能题目或选项有偏差，按标准计算结果为2/3）。2.C*解析：这是关于正态分布先验和似然函数的贝叶斯估计问题。已知先验为N(μ₀,σ₀²)，似然函数最大值对应的参数θ_MLE是似然方程的解。对于正态分布样本，MLE估计量是样本均值x̄。根据贝叶斯定理，后验均值是先验均值和样本信息的加权平均。若使用正态-正态共轭模型，后验分布也是正态分布，其均值μ̂=(σ_MLE²μ₀+nσ₀²x̄)/(σ_MLE²+nσ₀²)。将σ_MLE²理解为似然函数达到最大时的方差估计（通常与样本方差相关，但此处按公式形式），代入上式化简即得C选项。3.D*解析：根据贝叶斯决策理论定义，最优行动是在给定状态θ和观测信息I（或先验分布p(θ)）下，能够最小化后验风险R(aᵢ|θ)或期望后验损失L(aᵢ|θ)的行动。因此，当后验风险R(aᵢ|θ)最小时，该行动aᵢ即为最优行动。4.B*解析：贝叶斯定理的公式为后验分布正比于似然函数乘以先验分布，即p(θ|x)∝L(θ|x)*p(θ)。这里的“∝”表示比例关系，等号右侧包含了似然函数和先验分布。5.B*解析：贝叶斯方法的核心优势在于能够显式地将先验信息（通过先验分布p(θ)体现）与观测到的数据（通过似然函数L(θ|x)体现）结合起来，得到后验分布p(θ|x)。这使得贝叶斯方法能够有效地利用历史资料、专家知识或模型假设等先验信息I来修正对未知参数θ或事件发生的概率（如P(A|I)）的预测，从而可能得到比仅基于频率派的推断更准确或更合理的结果。二、填空题6.f(x₁,x₂,...,xₙ|θ)*L(θ;X₁,...,Xₙ)=f(x₁|θ)f(x₂|θ)...f(xₙ|θ)*L(θ;X₁,...,Xₙ)，其中f(x₁,x₂,...,xₙ|θ)是样本的联合密度（或联合概率），L(θ;X₁,...,Xₙ)是关于θ的似然函数。*解析：似然函数L(θ;X₁,...,Xₙ)定义为样本X₁,X₂,...,Xₙ在参数θ下的联合概率密度（对于连续变量）或联合概率（对于离散变量）。根据独立同分布假设，样本联合密度/概率是单个密度/概率的乘积。因此，完整的似然函数表达式是样本联合密度/概率乘以一个（通常为1，或包含观测值的函数）作为似然函数的部分。7.贝叶斯*解析：贝叶斯估计量通常定义为后验分布p(θ|D)的期望值，即E[θ|D]=∫θ*p(θ|D)dθ。这个期望值被称为贝叶斯估计量，它结合了先验信息和样本信息。8.μ̂=[(n-1)σ₀²μ₀+nx̄σ_MLE²]/[σ₀²+(n-1)σ_MLE²]*解析：这是正态-正态共轭模型下贝叶斯估计量的标准形式。其中μ₀是先验均值，σ₀²是先验方差，x̄是样本均值，n是样本量，σ_MLE²是与MLE估计量相关的方差项（在此公式中理解为似然函数最大值点处的方差估计）。公式是先验均值和样本均值的加权平均，权重与各自的方差（或方差的倒数）成反比。9.E[L(aᵢ|θ)]=E[L(aᵢ,θ|D)]=E[∫L(aᵢ,θ|D)p(θ|D)dθ]*解析：风险（Risk）是后验期望损失，即在给定状态参数θ和观测信息D（或后验分布p(θ|D)）下，采取行动aᵢ所带来的平均损失。数学上，风险是损失函数L(aᵢ,θ)关于θ的后验期望值。可以通过对损失函数L(aᵢ,θ)在后验分布p(θ|D)下积分来计算。三、计算题10.P(A|Bᶜ)=P(A)=0.6(因为A和B独立)*解析：事件A和B独立意味着P(A∩B)=P(A)P(B)。根据全概率公式和贝叶斯定理，P(A|Bᶜ)=P(A∩Bᶜ)/P(Bᶜ)=[P(A)-P(A∩B)]/P(Bᶜ)=[P(A)-P(A)P(B)]/[1-P(B)]=P(A)[1-P(B)]/[1-P(B)]=P(A)=0.6。或者，P(A|Bᶜ)=P(A)*P(Bᶜ|A)/P(Bᶜ)=P(A)*[P(Bᶜ)/P(A)]/P(Bᶜ)=P(A)。P(Bᶜ|A)=P(A∩Bᶜ)/P(A)=[P(A)-P(A∩B)]/P(A)=[P(A)-P(A)P(B)]/P(A)=[1-P(B)]=1-0.3=0.7。*解析：利用独立性P(A|Bᶜ)=P(A)=0.6。利用贝叶斯定理和独立性计算P(Bᶜ|A)=P(A∩Bᶜ)/P(A)=[P(A)-P(A)P(B)]/P(A)=P(A)[1-P(B)]/P(A)=1-P(B)=0.7。11.P(H|I)=P(H)*P(I|H)/[P(H)*P(I|H)+P(Hᶜ)*P(I|Hᶜ)]*解析：应用贝叶斯定理计算条件概率P(H|I)。其中P(H)=0.5是先验概率，P(I|H)=0.7是给定H时I的条件概率（题目已给），P(I|Hᶜ)是给定Hᶜ时I的条件概率。需要先计算P(I)=P(I|H)P(H)+P(I|Hᶜ)P(Hᶜ)。P(I)=0.7*0.5+P(I|Hᶜ)*0.5=0.35+0.5*P(I|Hᶜ)。P(H|I)=(0.5*0.7)/[0.5*0.7+0.5*P(I|Hᶜ)]=0.35/[0.35+0.5*P(I|Hᶜ)]。*计算：P(I)=0.35+0.5*P(I|Hᶜ)。题目未给出P(I|Hᶜ)，无法直接计算P(H|I)。假设题目意图是让使用给出的值计算标准化形式，或P(I|Hᶜ)不影响分子分母的比值结构（例如P(I|Hᶜ)=0.3，则P(H|I)=0.35/(0.35+0.15)=0.35/0.5=0.7）。按标准贝叶斯计算需要P(I|Hᶜ)。若假设P(I|Hᶜ)=0.3（常见气象反例），则P(I)=0.35+0.5*0.3=0.35+0.15=0.5。P(H|I)=0.35/0.5=0.7。若假设P(I|Hᶜ)=0.1（极端反例），则P(I)=0.35+0.5*0.1=0.35+0.05=0.4。P(H|I)=0.35/0.4=0.875。因缺少P(I|Hᶜ)，无法得出唯一数值解。若按题目信息直接代入P(I|Hᶜ)的位置，则表达式为0.35/[0.35+0.5*P(I|Hᶜ)]。若题目要求计算比值结构，则结果为0.7（基于P(I|Hᶜ)的假设）。12.先验：p(θ)=(β^αΓ(α))*θ^(α-1)e^(-βθ),θ>0.似然：L(θ;X₁,...,Xₙ)=∏[i=1ton]θ*θ^(θ-1)=θ^(n)*θ^((n-1))=θ^(2n-1).似然-先验：L(θ)*p(θ)∝θ^(2n-1)*θ^(α-1)*e^(-βθ)=θ^(3n-2)*e^(-βθ).后验分布：p(θ|x)∝θ^(3n-2)*e^(-βθ).这是伽马分布的形式Γ(α',β')，其中α'=3n-2+1=3n-1，β'=β。所以θ的后验分布为Gamma(3n-1,β)。*解析：首先写出参数θ的先验分布密度函数p(θ)。然后写出样本X₁,...,Xₙ的联合似然函数L(θ;X₁,...,Xₙ)，由于Xᵢ~θxᵢ^(θ-1)，且样本独立同分布，似然函数为乘积形式。将似然函数与先验分布相乘（忽略归一化常数），得到正比于后验分布的表达式。简化该表达式，通常需要合并指数项和θ的幂次项。比较所得表达式与伽马分布Γ(α,β)=(β^αΓ(α))*θ^(α-1)e^(-βθ)的形式，确定后验分布的参数α'和β'。这里先验是Gamma(α,β)，似然项是θ^(2n-1)，相乘后指数项为-βθ，幂次项为θ^(α-1+2n-1)=θ^(3n-2)。对比Γ(α',β')形式，得到α'=α+2n-1=3n-1，β'=β。13.需要计算发布预警（A）和不发布预警（Aᶜ）在观测到O=A（已发布预警）条件下的后验风险或期望后验损失，并比较。后验风险R(A|θ)=E[L(A,θ|O=A)]=E[∫L(A,θ|O=A)p(θ|O=A)dθ].后验风险R(Aᶜ|θ)=E[L(Aᶜ,θ|O=A)]=E[∫L(Aᶜ,θ|O=A)p(θ|O=A)dθ].已知损失函数L(A,θ,O=A)=5*I(θ=1)+1*I(θ=0)=5θ+1(1-θ)=6θ-1。已知损失函数L(Aᶜ,θ,O=A)=10*I(θ=1)+0*I(θ=0)=10θ。需要先计算后验分布p(θ|O=A)。P(θ=1|O=A)=P(O=A|θ=1)P(θ=1)/P(O=A).P(O=A|θ=1)=P(A|θ=1)=0.9.P(O=A|θ=0)=P(A|θ=0)=0.1.P(O=A)=P(O=A|θ=1)P(θ=1)+P(O=A|θ=0)P(θ=0)=0.9*0.2+0.1*0.8=0.18+0.08=0.26.P(θ=1|O=A)=0.9*0.2/0.26=0.18/0.26=9/13.P(θ=0|O=A)=1-P(θ=1|O=A)=1-9/13=4/13.后验分布p(θ|O=A)为：p(θ=1|O=A)=9/13,θ=1.p(θ=0|O=A)=4/13,θ=0.计算后验风险：R(A|θ=1)=E[L(A,θ|O=A)|θ=1]=(6*1-1)*P(θ=1|O=A)+(6*0-1)*P(θ=0|O=A)=5*(9/13)+(-1)*(4/13)=45/13-4/13=41/13.R(Aᶜ|θ=1)=E[L(Aᶜ,θ|O=A)|θ=1]=(10*1)*P(θ=1|O=A)+(10*0)*P(θ=0|O=A)=10*(9/13)+0=90/13.R(A|θ=0)=E[L(A,θ|