2023年南京南外高二年级上册数学期末试卷和参考答案

2022-2023学年南京外国语学校高二上半年期末考试

一,选择题(共8小题，每题3分，共24分)

1.已知等差数列｛%)中,43+48=22,%=7,则用的值为()

A10B.15C.20D.40

2.函数/(x)=e'+OY在x=0处的切线与直线2x-y-5=0平行，则实数。二()

1

A.-IB.1C.D.-

24

3.已知圆。的圆心在工轴上,且经过4(5,2),8(—1,4)两点，则圆。的方程是().

A.(x+2)2+)/=17B.(工-2)2+y2=13

C.(1)2+),2=20D.(x+l)2+y2=40

4.卜列求导结果正确的是(

A.[(1-2X)2J=2-4X71.兀

B.cos—=-sin—

5J5

%(3加4

c.D・(xcosx)=cosx-xsinx

5.设正项等比数列｛4｝的前〃项和为S“，且41<1,若%+6=20,%%=64,则S4二

A.63或126B.252C.126D.63

6.设函数=,若对任意的xe[〃?,+8),都有/(工)2-4,则〃，的最小值是

2/(x+2),XG(-00,-1)

,1311

A.-4B.—6C.------D・----

22

7.已知直线=+m与曲线C:)，=；而二可仅有三个交点，则实数〃z的取值范围是()

22

A(-2,V2)B.(-V2,V2)C.(1,扬D.(1,扬

8.已知递增等差数列｛/｝中，6=18且。2是外,为的等比中项，则它的第4项到第11项的和为()

A.180B.198C.189D.168

二,多选题(共4小题，每题4分，共16分)

9.已知空间向量£、B、2,下列命题中不正确的是（）

A.若向量£、五共线，则向量2、万所在的直线平行

B.若向量2、万所在的直线为异面直线，则向量£、石一定不共面

c.若存在不全为o实数x、丁、z使得xZ+）石+z2=。，则％、5、2共面

D.对于空间的任意一个向量力，总存在实数X、丁、Z使得万=x£+w；+z2

10.己知数列｛备｝满足，ae=a“+l_yja：_q+],ai=a,则一定存在。，使数列中（）

A.存在〃£”,有4〃+l4n+2<0

B.存在有（anti-1）（丽2・1）<0

C.存在〃WM,有%+i一1Jk〃42-'Ijv。

D.存在，】wW,有

11.已知直线/：丘一y+2Z=。和圆O：/+y2=16,则（）

A.直线/恒过定点（2,0）

B.存在我使得直线/与直线/0：工-2），+2=0垂直

C.直线/与圆。相交

D.若〃=一1,直线/被圆O截得的弦长为4

InX

12.已知函数/（x）=qj,则下列说法正确的有（）

A.函数/（/）=竽的图象在点（1,0）处的切线方程是x—ey-l=0

B.函数/（八）有两个零点

C/（2）</（3）

D.函数/（工）有极大值，且极大值点毛£（1,2）

三,填空题（共4小题，每小题3分，共12分）

13.己知直线/过点A（a,0）m>0）,且斜率为1,若圆Y+y2=4上恰有3个点到/距离为1,则“的值

为•

14.已知函数/（幻=；丁+/+（24-1*+/_〃+1,若广（力二0在（0,2］上有解，则实数0的取值范围

为一

22

15.设。为坐标原点，耳，工是双曲线与—点=1（。〉03>0）的焦点，若在双曲线上存在点满足

:

^MF2=120,\OM\=A/巨SVRMF、=2石，则该双曲线的方程为.

16.设S“是数列｛4｝的前〃项和，S„=|^-3,,+,,则勺=；若不等式4》生苫对任意

2k

〃cN+恒成立，则正数A的最小值为.

四,解答题（共5小题，共48分）

17.已知函数/（x）=gf+2xinx.

（D求函数y=/（x）的图象在点（1,7（1））处的切线方程；

（2）若函数g（x）=Jte"+（4—〃卜―1—“X）在定义域上无极，直，求正整数。的最大值.

22

18.设椭圆二+与=1（〃>匕>0）的左、右焦点为小-。,0）,月（c,0）,右顶点为A,上顶点为乩已知

crlr

\AB\=>/3c.

（I）求椭圆的离心率；

（】1）设尸为椭圆上异于其顶点的一点，以线段形为直径的圆经过点月，经过原点的直线/与该圆相切.

求直线/的斜率.

19.设同时满足条件：①“，叫一②"WMSEN*,M是常数）的无穷数列｛2｝叫做P数列，已

知数列｛《｝的前〃项和S”满足5r=一、（可一1）（〃为常数，且。/（）,。。1）.

ci-\

（1）求数列伍”｝的通项公式；

2s1

（2）设a=r+1,若数列｛"｝为等比数列，求〃的值；并证明数列［为P数列.

2（）.如图，已知抛物线y2=2px（p>0）,焦点为产，准线为直线/,2为抛物线上的一点，过点。作/的垂

线，垂足为点Q.当。的横坐标为3时.△PQ尸为等功二角形.

(1)求抛物线的方程：

(2)过点尸的直线交抛物线于A,B两点,交直线/于点交y轴于G.

①若加=4而，砺=4而，求证：4+4为常数；

②求函•函的取值范围.

21.已知函数/(x)=xlnx,g(x)=a(2-x(aeR).

(1)求/(x)的单调区间和极值点；

(2)求使/(x)Wg(x)恒成立的实数。的取值范围；

(3)当。=?时，是否存在实数/，使得方程组也+机+g(x)=O有三个不等实根？若存在，求出加

84x

的取值范围；若不存在，请说明理由.

2022.2023学年南京外国语学校高二上半年期末考试

一.选择题(共8小题，每题3分，共24分)

1.已知等差数歹数。〃)中，内+。8=22,(16=7,则4$的值为()

A.10B.15C.20D.40

【答案】B

【解析】

【分析】利用等差数列的性质求出〃6+出=22即得解.

【详解】解：在等差数列｛%｝中,由题得。3+。8”+所22,

又46=7,所以45=15.

故选：B

2.函数/(x)=e'+ox在x=0处的切线与直线2x—y—5=0平行，则实数。二()

।1

A.-IB.1C.-D.一

-4

【答案】B

【解析】

【分析】函数在切点处的导数即为切线的斜率，利用直线的平行得到斜率相等，即为关于

〃的方程，可求出。的值.

【详解】函数/(x)=e'+以的导函数为/Q)=e'+a,

函数在x=0处的切线的导数即为切线的斜率为/'(0)=e"+a=l+a,

且切线与直线2工一)，-5二0平行，

则有1+々=2,可得a=l.

故选：B

3.已知圆。的圆心在4轴上，且经过45,2),8(-1,4)两点，则圆。的方程是().

A.(x+2)2+y2=17B.(x-2)2+y2=13

C.(x-lf+/=20D.(x+l)?+/=40

【答案】C

【解析】

【分析】

设圆心坐标为C(a,0),利用圆过两点的坐标求出。及半径，从而得圆标准方程.

【详解】由题意，设圆心坐标为•・•圆过45,2),3(-1,4)两点，・•・

(a-5)2+(0-2)2=(«+1)2+(0-4)2,解得々=1,则圆半径为

r="(l+l)2+(o-4)2=2V5.

・••圆方程为0-1)2+9=20.

故选：C.

【点睛】本题考查圆的标准方程，解题关键是求出圆心坐标和半径.

4.下列求导结果正确的是()

A-|^(1-2A)2]=2-4X

C[ln(3x)J$

D.(xcosx)=cosx-xsinx

【答案】D

【解析】

【分析】

利用导数的运算法则以及基本初等函数的导数公式可判断各选项的正误.

【详解】对于A选项,[(1一2x)1=(4x2-4x+1)=8x-4»A选项错误;

/\

对于B选项，COS-=0,B选项错误；

5J

对于C选项,[ln(3x)]=(in3+Inx)=—,C选项错误;

.X

对于D选项,(xcos%y=ycosx+x(cosxy=cosx-xsinx»D选项正确.

故选：D.

5.设正项等比数列｛4｝的前〃项和为S“，且誓<1,若&+&=20«火=64,则邑=

A.63或126B.252C.126D.63

【答案】C

【解析】

a1f\+=20

【详解】试题分析：由上1(1,得即数列卜)为递减数列，由｛c得

/、生•生=64

a-=16

,故可得即q=64,a.=32,&=8,故Sq=126,故选c.

[生=4

6.设函数/*)=<?,若对任意的[也”)，都有/(x)N-4,

[2/(x4-2),xe(-oo,-l)

则，〃的最小值是（）

,1311

A.—4B.-6C.------D.-----

22

【答案】D

【解析】

【分析】作图函数的图象，数形结合即可求解

令/（外=-4,解得工=一〃.

数形结合可得，

若对任意的xe[〃2,8）,都有/（x）N-4,则〃?的最小值是-蓝■.

故选：D

7.已知直线=+m与曲线。：），=；产可仅有三个交点，则实数团的取值范围

是（）

A.（-2,72）B.（-叵&）C.（1,V2）D.（1,扬

【答案】C

【解析】

【分析】将曲线。的表达式整理变形可知，其图象是由上半椭圆和上半双曲线组成的，再根

据直线=+与双曲线的渐近线平行，利用数形结合讨论临界位置结合交点个数即

可求得实数〃2的取值范围.

【详解】由题意得曲线C：y=；JfT引，即2），=M^[,可得4y2=|4-父]（）后0）；

2

当4—丁20时得到4y2=4—丁BP^+y=l(y>0)：

当4一丁<0时得到5一）,2=］（）后0）；

由以上可得曲线。的如图中所示，

1V2I

易知直线乙：），=5工+机与双曲线、一），2=1的一条渐近线y=］『平行;

把直线y=向上平移到（0,1）点时，即y=Jx+l与曲线C有两个交点，此时机=1；

继续向上平移至与半椭圆相切前有3个交点.

当直线与椭圆的上半部分相切时,

1

v=—x+m

2

联立直线与椭圆的方程<,代入整理得2x2+4rnx+4m2-4=0

厂2i

一+V=1

14•

A=16"「一8（4〃/-4）=0即m或一J］（舍），由图示可得〃z=J5；

综上可知1<m<\/2

故选：C

8.已知递增等差数列｛%｝中，4=18且％是4,4的等比中项，则它的第4项到第11项

的和为（）

A.180B.198C.189D.168

【答案】A

【解析】

【分析】由条件结合等差数列的通项公式及等比中项的定义列方程求数列的公差和首项，再

利用求和公式求它的第4项到第11项的和.

【详解】设递增等差数列｛%｝的公差为d，则d>0,

•・・。6=18且出是叫，。4的等比中项，

18=4+54

(q+力=q(q+3d)

解得a、=d=3,

二•第4项到第11项的和为九一邑二IU7,4

所以S”一§3=8q+52d=60d=180,

即数列｛4｝的第4项到第11项的和为180.

故选：A.

二.多选题（共4小题，每题4分，共16分）

9.已知空间向量2、6、3下列命题中不正确的是（）

A.若向量£、5共线，则向量£、5所在的直线平行

B.若向量2、B所在的直线为异面直线，则向量£、B一定不共面

c.若存在不全为o的实数尤、八z使得xZ+w；+zG=（j,则3、B、2共面

D.对于空间的任意一个向量p,总存在实数x、y>z使得〃=X。+）协+zc

【答案】ABD

【解析】

【分析】利用共线向量的定义可判断A选项；利用空间任意两个向量共面可判断B选项;

利用共面向量的定义可判断C选项；利用空间向量的基本定理可判断D选项.

【详解】对于A选项，£与石共线，J与B所在的直线也可能重合，故A不正确；

对于B选项，根据空间向量的意义知，空间任意两向量％、方都共面，故B不正确；

对于C选项，实数x、丁不全为。，不妨设xwO,由xa++zc=6可得a=--b--c,

XX

由共面向量定理知3、5、）一定共面，故C正确；

对于D选项，只有当£、6、2不共面时，空间任意一向量才能表示为p=X4+）3+ZC,

故D不正确；

故选：ABD.

10.已知数列｛斯｝满足，a?+i=a”+1_Ja“2_4“+1，a\=a,则一定存在a,使数列中

（）

A.存在〃有t/tt+|«w+2<0

B.存在〃£N\有(flrt+1-1)(67n+2-1)VO

有（4川

C.存在〃用V。

D.存在〃

【答案】C

【解析】

【分析】由函数y=x+l_Jf_x+i与）,=”有两个交点（0,0）,（1,1）,对〃分类判

33

断A,B错误；由0>1时，s一定小于二，则之后均小于二，判断D错误；举例说明C

正确.

【详解】因为an+1=a>,+1-+1，

所以（4，4用）在函数）,=4+1一】工2一工+1图象上,

因为y=X+l_Jf_x+i与）,=x有两个交点（0,（））,（1,1）,

如图所示：

可知当0Vo时，数列递减，・・・zV0；

当OVaiVl时，数列递增，并且趋向1；

当0>1时，数列递减，并且趋向1,则可知A,B错误；

又当x>l时，y=x-^-i-\lx2-x+l=x+l-Jfx--+—<x+l-fx--1=—

VI2；4I2）2

33

则当0>l时，42一定小于一，则之后均小于一，・・・D错误；

22

对于C,可取4二二，得a,二^—,4—:二—>0

44

----=--------------=

满足要求.

故选：C.

【点睛】本题主要考查数列递推式的应用，数列的函数特性，还考查了推理论证的能力,

属于难题.

11已知直线/：丘一），+2攵=0和圆。：/+）,2=]6,则（）

A.直线/恒过定点（2,0）

B.存在々使得直线/与直线4）：工-2），+2=。垂直

C.直线/与圆。相交

D.若攵=—1,直线/被圆。截得的弦长为4

【答案】BC

【解斤】

【分析】利用直线系方程求出直线/所过定点坐标判断人C;求出使得直线/与直线

/o:x-2y+2=O垂直的k值判断B；根据弦长公式求出弦长可判断D.

fx+2=0

【详解】解：对于A、C,由/:"一），+2欠=0,得A（,E+2）-y=0,令《八，解

-y=0

所以直线/恒过定点（-2,0）,故人错误；

因为直线/恒过定点（-2,0）,而（一2丫+02=4<16,即（一2,0）在圆O：f+y2=]6内,

所以直线/与圆O相交，故C正确；

对于8,直线/。：工一2），+2=0的斜率为；，则当％=-2时，满足直线/与直线

/（）:x-2y+2=0垂直，故8正确；

|()+()+2|

对于D.%=一1时，直线/:x+y+2=0.圆心到直线的距离为d二=0.

#77

所以直线/被圆O截得的弦长为2）船一/=2,42-（75『=2V14，故。错误.

故选：BC.

12.已知函数/（x）=竽，则下列说法正确的有（）

A.函数/（6=黑的图象在点（1,0）处的切线方程是x-ev-l=0

B.函数“X）有两个零点

C.〃2）<〃3）

D函数/（"有极大值，且极大值点为£（1,2）

【答案】AD

【解析】

]nJV

【分析】利用导数求出函数/(x)=h的图象在点(1,0)处的切线方程判定A：令

g(x)=--\nx,由单调性及函数零点的判定可得存在/e(l,2),使得gC%)=0,即

X

.[(不)=0,从而得到函数/(五)的单调性与极值判定D；由“X)在区间(天,位)上单

调递减，结合/式1,2)判断C；由函数零点判定定理得到当x«O,/)时，“X)有一个

零点，/")在(%,+00)上无零点判断B.

InX

【详解】由/*)二-，

e

1,

——\nx

得外幻二上^

e

则川)j

，函数/(X)=竽的图象在点(1,0)处的切线方程是y-o=[*T)，

In丫

即函数/(x)=1-的图象在点(1,0)处的切线方程是x-ey-l=0,故A正确;

令g(x)二——lnx(x>0),

g\x)=--T--<0»

XX

则g(戈)在(0,y)上是单调递减的，

又g(l)=l-h】l=l>(),g(2)=g-ln2<0,

由零点存在性定理可得：

・•・存在%w(l,2),

使得&(玉))=。,

即r(%)=。，

则“X)在(0,用)上单调递增，在5,T8)上单调递减.

・•・函数”X)有极大值，且极大值点不£(1,2),故D正确;

由/")在[2,+。)上单调递减，

.\/（2）>/（3）,故C错误；

・•・当/£（0,玉）时，/（“单调递增，

X/（1）=O,

利用零点存在性定理可知：/（力在（O，N））有一个零点，

当x>Xo时，f（x）=——>0»

则/（x）在（%,+8）上无零点，即“X）只有一个零点，故B错误.

故选：AD.

【点睛】本题主要考查了利用导数求函数的零点，极值以及切线方程问题，考查了零点存

在性定理.属于中档题.

三.填空题（共4小题，每小题3分，共12分）

13.已知直线/过点A（w0）m>0）,且斜率为1,若圆f+>2=4上恰有3个点到/的距离

为1,则。的值为.

【答案】V2

【解析】

【分析】由于圆上恰有3个点到/的距离为1,则圆心到直线的距离等于半径减去1,列方

程即可求解.

【详解】由于直线/过点出4。）且斜率为1,

则直线/：x-y-a=。，

•・•圆V+），2=4上恰有3个点至I”的距离为1,

・•・圆心到直线的距离等于半径减去i,

・•・圆心（0,0）到直线l：x-y-a=0的距离为裳=2-1,解得"土友,

因为。>0,所以J5.

故答案为：\/2-

14.已知函数/*）=:/+工2+（2。-1»+/一。+1,若八x）=0在（0,2］上有解，则实

数。的取值范围为一.

「71、

【答案】一不彳

22

【解析】

【分析】根据题意，求导得了'（X），然后根据r（x）=O在（0,2］上有解列出不等式，即可得

到结果.

【详解】•.•函数/。）=!/+%2+（24一］口+/-4+］,则广（同=工2+2%+（2。-1）

3

再由/"）=0在（0,2］上有解，/'*）是二次函数，对称轴为％=-1,

可得r（0）r⑵＜。，或r（2）=0,即（2〃一1）（2〃+7）＜0,或幼+7=0

71

解得---W4＜—

22

「71、

故答案为：一二二

L22）

15.设。为坐标原点，耳，乃是双曲线、■—表■=1（。＞0/＞0）的焦点，若在双曲线上存

在点M,满足居=120°,|。〃|二园旦&中火=26,则该双曲线的方程为

【答案】一句

【解析】

【分析】由双曲线焦点三角形面积公式可求得〃2,利用cos/MOG=-cosNMO5可构

造方程得至“加用2+|加闾2=6/+2/,结合双曲线定义求得/=］,由此可得双曲线方

程.

=2何"6；

2

342+不一的耳『

.•・8SNM

。代幽瑞联件二20ac

3/+c2TM周2

2公吗址产二2\f3ac

222222

又cos/MOf；=-cosZ.MOF2,：.3a+c-|Mf；|=-3a-c+|A/f；|,

22

:.\MF^\MF2^=6a+2c,

+2\MF\]MF^=｛\MF\-\MF^+\6=^cr+\6=6cr+2c2,

整理可得：/+'2=8,〜+〃~）=2a"+6=8,解得：a2=],

2

••双曲线的方程为，x-^-=\.

6

故答案为：x2--^―=1.

6

【点睛】结论点睛：本题考查与双曲线焦点三角形有关的问题的求解，关于圆锥曲线中焦

点三角形面积有如下结论：

n

①椭圆焦点三角形面积：S=b2tan-：

2

”b2

②双曲线焦点三角形面积：J—一e.

tan—

2

16.设S”是数列｛q｝的前〃项和，5〃二?4一3"“，则q=；若不等式

外力丝&对任意〃wN.恒成立，则正数k的最小值为____________.

"k2

【答案】①.（4〃+2）x3〃：②.普

【解析】

【分析】由S“与％关系，推出〈枭,为等差数列，即可求出勺，再由原不等式转化为

三工2与恒成立，2=2红，可证出｛〃｝为递增数列，不等式转化为《w4二6,

nk~nk~

即可得解.

3

【详解】当”=1时，3=54—32,得4=18.

当〃“时，北=力.「3〃，邑二为”—3叫

33

两式相减得％=-a--a_-2xy得4=3%+4x3”,

••ftfl»•n1]t•

所以2一宅=4(〃22).

3〃

又因为牛=6,所以*｝是以6为首项，4为公差的等差数列，

所以争=4〃+2,即q,=(4〃+2)x3”.

2n2+ng、i//c、2n2+n2x3,r1

因为%>2'所以(4及i2)x3on”，2，即An》2，

kkfik

记2=2叁,*=代>1,所以｛〃｝为递增数列，d、4=6.

nbHn+\

所以表《6,解得闷2手，

则正数上的最小值为逅.

6

故答案为：a〃=(4〃+2)x3〃，渔.

6

四.解答题(共5小题，共48分)

17.已知函数=+2xlnx.

(1)求函数y=/(x)的图象在点(1,7(1))处的切线方程：

(2)若函数8(力=把'+(4-々卜-1-7("在定义域上无极值，求正整数。的最大值.

【答案】(1))'=3九一?

【解析】

【分析】(1)求出/(I)、/'(1)的值，利用点斜式可得出所求切线的方程；

(2)分析可知，g'(x)NO恒成立或g'(x)«O恒成立，利用参变量分离法可得出

2K[(x+l)e，—21nx—x]而°或a-22[(x+l)e、-21nx-x]m」利用导数分析

〃(力=(x+l)e'—21nx-x的单调性，求出函数〃(工)的最值，即可求得正数。的最大值.

【小问1详解】

解：由/(力二,/+2xlnx可得/'(x)=x+2(l+lnx),则/⑴=3,/(1)=-.

22

所以函数y=/'(x)的图象在点0J(1))处的切线方程是y—'=3(x—l),即y=3x—2.

22

【小问2详解】

解：由题得g(x)=xe*-2xlnx-gY+(4-。)工一1,定义域为(0,+。).

若g(x)=/(x)+(4-。)X一1无极值,则g'(x)N0恒成立或g'a)«0恒成立.

/

(i)当g'(x))。恒成立时，(^(x)=(x4-l)e'-2(14-lnx)-x4-4-6z>0,

即a-2W(x+l)e'_21nx—x恒成立，所以a—2w［(x+l)e'-21nx-x］而口，

令〃(x)=(x+l)e*-21nx-1

所以〃'(X)=(x+2)e'―之一］=(x+2)e'_°+-)=(x+2)er--(x>0),

XX\X,

令°(x)=e'-L则”(力=^十二〉。，

入X

即0(x)在(0,+e)上单调递增，0(；)=五一2<0,(j9(l)=e-l>0,

所以存在小£(〈，1)，使得9(%)=e"-」-=°,

当犬€(0,%)时，*(x)〈0,即/«R)<0,

当工♦(b+oo)时,e(x)>0,即”(x)>0,

所以函数/z(x)区间(0,而)单调递减，函数/?(%)在区间(事,内)单调递增，

所以函数〃(x)的最小值为力(*=(/+1)©"-2111%一%=(%0+1)——2如天一再

玉)

又因为e%=-!-,即-所以力(%)=1+，+2/70=1+%+，.

久0尤0工0

J，则”(％0)=1_』=^^

又因为同w-»令〃(玉))=1+/4<0,

人0%玉)

故函数〃(与)在(；』)上单调递减，故〃(见)=1+与一1

即〃(犬o)=l+Xof

,%\2)

所以a—2W3,可得。工5,所以正整数。的最大值是5；

(ii)当g'(x)〈O恒成立时，g'(x)=(x+l)e'-2(l+lnx)-x+4-〃K0,

即a-2N(x+l)e'-21nx-x恒成立，所以a-22[(x+l)e'-21。工一工]然，

又由(i)知，函数〃(x)在区间(/,收)上单调递增，所以函数〃(工)不存在最大值.

综上所述：正整数。的最大值为5.

【点睛】结论点睛：利用参变最分离法求解函数不等式恒(能)成立，可根据以下原则进

行求解：

(1)Vx£。，m</(A)<=>/?/</(x)niin；

⑵VXGD,m>/(A)<=>tn>/(x)niax；

(3)BXED,/n</(x)<=>^</(x)iiux；

(4)/H>/(A-)<=>/n>/(A-)n.n.

22

18.设椭圆「+方=l(〃>〃>0)的左、右焦点为£(-。,0),g(G。)，右顶点为A,上

顶点为8.已知|4却=6.

(I)求椭圆的离心率；

(II)设p为椭圆上异于其顶点的一点，以线段必为直径的圆经过点耳，经过原点的直

线/与该圆相切.求直线/的斜率.

【答案】(I)巫(1[)4+而或4一后.

2

【解析】

2I

【分析】(I)由题意得/+从=3。2,再结合从=/一,2即可得e二=上,即可得解；

。22

(H)设椭圆方程为二+《=1,〃(々，儿)，由题意可得P进而可得圆

2c~c~\337

的方程，利用直线与圆相切的性质列出方程后即可得解.

【详解】(I)由|AM=、QC,可得/+/=3。2,

dI

XZ?2=a2-c2»则一r=一.

a22

所以，椭圆的离心率e=H=#.

22

(H)由(I)知/=2/，b2=c2^故椭圆方程为二+4=1.

2/C2

设〃50，儿）.由6（—c，°），*0,c）,有肝=（/+.%），MQ=（c,c）.

由已知，有扉•耶=0,

即（为+c）c+yoc=0.

又cwo,故有Xo+y（）+c=O.①

22

又因为点夕在椭圆上，故工+与=1.②

2c2c1

由①和②可得3%；+4c%=0,而点尸不是椭圆的顶点，

4《・/•!）孱4（?c.

故天=-1，代入①得％=§，即点夕的坐标为1?■，§?，

设圆的圆心为T（X，y）,则x1丁+0=2.,,二”二2.,

内—一2一~~3Cyi~~2~~3C

进而圆的半径=J（XLO『+（X—C）2釜C.

设直线/的斜率为3依题意，直线/的方程为y="，

k(2c}_2c

由/与圆相切，可得=r即「了厂了N/5,

'J'-------------1------------------=——c

VF7T^/Fn3

整理得攵2一82+1=0,解得A=4土店.

所以，直线/的斜率为4+厉或4一炉.

【点睛】本题考查了椭圆离心率的求解，考查了椭圆与圆的综合问题，属于中档题.

19.设同时满足条件：①"勾心22川；②〃是常数）的无穷数列｛"｝

叫做，数列，已知数列｛%,｝的前〃项和S“满足S"二’一（％—1）（。为常数，且。工0,

G-\

"1）.

（1）求数列｛%｝的通项公式;

2s1

（2）设勿=一+1,若数列｛2｝为等比数列，求。的值；并证明数列1二为尸数列.

【答案】（1）%=/

（2）a=-,证明见解析

3

【解析】

【分析】⑴根据关系4二百,凡=S「S“T（〃之2）,结合条件求数列｛/｝的通项公式;

⑵根据等比数列性质求”的值；根据尸数列的定义证明结论.

【小问1详解】

当〃=1时，4=$=蒙（4-1）,4=。.

ci-\

当“22时，4=S“-Si二号（4-

CI—1

整理得耳又。工0,

所以‘工=。，

的

即数列｛勺｝是以〃为首项、〃为公比的等比数列，

n

an=a"'7=a；

【小问2详解】

由（1）知，h：2-二（/一|）।,（*）,

"a〃

所以。=3,b、=---,b.=----------A-------,

aa-

由数列｛a｝是等比数列，则42=44，

^（34+2）3a~+2a+2姐组1

故------=3x-------------,解得。二二，

（aJa~3

再将。二;代入（*）式，得2=3”.

因为*=3,所以数列｛"｝为等比数列，故。二」满足要求；

23

11

.110nF

由于包包+2=3,3M:13"3"2=1_1，满足条件①；

~1—-—2-2一诃一丁

1111

又由于广二下43,故存在满足条件②.

故数列为夕数列.

也J

20.如图，已知抛物线），2=2〃X（〃>0）,焦点为产，准线为直线/,P为抛物线上的一点,

过点尸作/的垂线，垂足为点。.当尸的横坐标为3时，APQF为等边三角形.

（1）求抛物线的方程：

（2）过点尸的直线交抛物线于A,8两点，交直线/于点M,交〉'轴于G.

①若词=4而，MB=A^BF,求证：4+4常数；

②求GA•痂的取值范围.

【答案】（1）丁=4x

（2）①证明见解析；②[1,+8）

【解析】

【分析】（1）由条件求出只。，尸的坐标，由条件列方程求〃，由此可求抛物线方程；

⑵①设〃&，¥），风七,必），直线A6的方程为y=AQT），由条件利用中七表示

4+4,联立方程组利用设而不求法求4+4；

②根据数量积坐标运算公式求GZ.曲表达式，再求其取值范围.

【小问1详解】

抛物线），2=2Px的焦点F的坐标为,准线方程为％=,

因为P横坐标为3时.，△尸Q尸为等边三角形，直线尸Q与直线x=-5垂直，

所以P（3,标），Q一师,\QF\=\P（^t

\/

所以小八6P=3+多解得，=2

所以抛物线的方程）3=©

【小问2详解】

①当直线A3的斜率不存在时，直线A3与准线没有交点，与已知矛盾,

故设直线AB的方程为y=1）,

则M(—1,—2幻，G(O,-A)

v?=4_v

由r一得父犬-(2/+4)x+/=0

y=Zr(x-l)

△=16父+16>0，

设A(x，y),8(孙必)，

皿2二+4,

所以玉+%=——---X•犬2=1，

因为4/=(1_玉,一乂)；BF=(l-x2,-y2)

MA=&+1,x+2k)；MB=(x2+l,y2+2k)

MA=A}AF：MB=A2BF

c1+x„1+x

所以4=亏，4=9?

°,l+x.1+x,2-2x.x^

所以4+2匚「匚

所以4+4=o：

②函=（义，y+/）,而=（孙力+左），

所以53.而