2025年大学《数学与应用数学》专业题库- 数学在智能旅游中的作用

2025年大学《数学与应用数学》专业题库——数学在智能旅游中的作用考试时间：______分钟总分：______分姓名：______注意事项：1.请将所有答案写在答题纸上，写在试卷上无效。2.字迹工整，卷面整洁。3.本试卷共分为五个大题，满分100分，考试时间120分钟。一、填空题（每空3分，共15分）1.设某景区游客数量在时间t的变化率与当前游客数量成正比，比例常数为k（k>0），则游客数量关于时间的微分方程模型为________。2.在智能旅游推荐系统中，协同过滤算法常利用用户-物品评分矩阵，该矩阵可表示为一个________矩阵。3.若要分析游客满意度（Y）与年龄（X1）、停留时间（X2）之间的关系，可采用________分析方法。4.若智能酒店房间定价随入住人数增加而线性下降，可用________模型描述房间平均价格（P）与入住人数（N）的关系。5.对一组旅游收入数据进行统计描述，常用的集中趋势指标有平均值、中位数和________。二、简答题（每题5分，共10分）1.简述概率论中的正态分布如何可以用于模拟智能旅游场景中的游客到达时间分布或消费金额分布。2.简述线性规划模型在智能旅游中优化景区门票收入或交通资源配置时可能遇到的主要约束条件。三、建模与应用题（第1题10分，第2题15分，共25分）1.某智慧景区为提升游客体验，希望优化景区内电瓶车的调度。假设景区有M个固定景点，游客从任意景点出发，到达任意其他景点的平均时间（单程）已知，且游客从景点i到达景点j的平均时间为t_ij。试建立数学模型，确定在保证游客等待时间最短的前提下，电瓶车在景点间的合理调度方案（如车辆数、运行路线等）应满足的基本要求，并说明涉及的主要数学概念或方法。2.某在线旅游平台收集了用户对酒店的评价数据，包括多个维度（如清洁度、服务态度、地理位置、性价比等）的评分。现假设有3个用户（U1,U2,U3）对4个酒店（H1,H2,H3,H4）的评分矩阵如下所示（评分范围为1到5）：||H1|H2|H3|H4||-------|----|----|----|----||U1|4|3|5|2||U2|2|5|3|4||U3|5|2|4|5|假设平台想利用此数据为用户U1推荐一个评分最高的酒店，请分别解释使用以下哪种方法进行推荐，并简述其数学原理：(1)基于物品的协同过滤（相似酒店推荐）；(2)基于用户的协同过滤（相似用户推荐）。（无需进行具体计算，只需说明原理和方法选择依据）四、综合分析题（10分）试论述数学建模与数据分析在提升智能旅游服务质量方面的各自作用和相互关系。请结合智能旅游的具体场景（如个性化推荐、风险预警、资源优化等）进行阐述。五、计算题（每题10分，共20分）1.某城市旅游收入Y（单位：亿元）关于时间t（单位：年）的变化率近似满足微分方程dY/dt=0.1Y-2，且初始时（t=0）旅游收入为Y(0)=10亿元。求该城市旅游收入的函数表达式Y(t)。2.已知智能旅游中游客到达某景区的服务台的平均速率为每小时20人（λ=20），服务台的平均服务速率为每小时25人（μ=25），且服务台对每个游客的服务时间服从负指数分布。试计算：（1）服务台空闲的概率；（2）系统中平均有多少游客在等待服务。---试卷答案一、填空题（每空3分，共15分）1.dY/dt=kY2.三维3.回归4.线性回归5.极差二、简答题（每题5分，共10分）1.解析思路：正态分布具有钟形曲线、对称性、均值中位数相等等特点。在智能旅游中，游客的到达时间、消费金额等往往受到多种微小、独立随机因素的影响，这些因素叠加的结果常常近似服从正态分布。例如，游客到达某一景区的时间可能受到交通状况、个人兴趣、天气等多种因素影响，呈现出正态分布的特征。同样，游客在酒店或景区内的消费金额也可能由多个随机决策因素决定，符合正态分布的假设，便于进行概率计算和模型建立。2.解析思路：线性规划用于在资源有限的情况下，寻求目标函数的最大值或最小值。在智能旅游中优化门票收入或交通资源，主要目标函数可以是总收入最大化或总成本最小化。约束条件通常包括：*资源限制：如电瓶车总数、司机数量、景区承载量、道路容量、可用房间数等。*逻辑限制：如车辆必须从出发点出发，到达目的地；酒店定价需符合市场范围等。*服务质量限制：如等待时间不能超过某个阈值，线路运行时间有上限等。*非负限制：如门票价格、车辆数、资源使用量等不能为负。三、建模与应用题（第1题10分，第2题15分，共25分）1.解析思路：此题考查线性规划或排队论基础在资源调度中的应用。*建立数学模型：需要定义决策变量（如各景点分配的电瓶车数量、车辆运行路线等）、确定目标函数（如最小化游客总等待时间或电瓶车空闲时间）以及列出约束条件（如各景点电瓶车总数、车辆行驶时间、载客能力、充电需求等）。根据题意，“保证游客等待时间最短”暗示目标可能是最小化等待队列长度或相关时间指标。调度方案涉及车辆数和路线，通常用线性规划或图论中的路径优化问题来描述。例如，可以将景点看作图中的节点，行驶时间看作边的权重，问题转化为在满足车辆总数和载重等约束下，寻找总权重（时间）最小的路径或网络流。*主要概念/方法：可能涉及线性规划（目标函数、约束条件）、图论（节点、边、路径、最短路径算法）、排队论（等待时间分析）等。关键在于将调度问题转化为清晰的数学语言，明确优化目标和限制条件。2.解析思路：此题考查协同过滤算法原理的理解。*(1)基于物品的协同过滤：*原理简述：该方法通过计算酒店H1,H2,H3,H4之间的相似度（例如，计算与每个酒店评分相似的酒店集合），然后找出与用户U1评价最高的酒店Hj最相似的酒店，并将这些相似酒店中的高分酒店推荐给U1。数学上，通常计算酒店向量之间的余弦相似度或皮尔逊相关系数。*方法选择依据：当用户评价数量较少，但酒店评价相对丰富时，此方法效果较好。它关注的是酒店本身的“品质”相似性，认为评价过相似用户的用户，对相似酒店的评价也会相似。*(2)基于用户的协同过滤：*原理简述：该方法首先计算用户U1与用户U2、U3之间的相似度（例如，基于他们共同评价过的酒店评分计算），找到与U1最相似的用户（如U3），然后将U3评价很高的酒店（但U1未评价或评价不高）推荐给U1。数学上，也常使用余弦相似度或皮尔逊相关系数计算用户向量之间的相似性。*方法选择依据：当用户评价数量较多，但评价过的酒店数量相对较少时，此方法效果较好。它基于“人以群分”的假设，认为与用户品味相似的用户的喜好可以作为推荐依据。四、综合分析题（10分）解析思路：此题考查对数学工具在智能旅游中作用的宏观理解和辩证思考。*数学建模的作用：体现在通过建立数学模型，可以将模糊的旅游现象（如游客满意度、市场趋势）转化为精确的数学关系式或算法，从而进行定量分析、预测和优化。例如，通过回归模型预测景区客流，通过优化模型安排交通或资源，通过决策模型评估不同营销策略的效果。建模使得决策更加科学、可衡量。*数据分析的作用：体现在通过对海量的旅游数据进行收集、清洗、处理、分析，可以发现游客行为模式、偏好、潜在需求以及运营问题。例如，通过用户评论分析进行服务改进，通过交易数据发现关联规则进行精准营销，通过实时监控数据进行风险预警。数据分析提供了决策的依据和洞察。*相互关系：数学建模和数据分析相辅相成。数据分析为建模提供原始数据、发现问题和验证结果；建模则能提升数据分析的深度和广度，将分析结果结构化、系统化，并转化为可执行的优化方案或预测。例如，用数据分析发现用户画像，再用建模方法构建个性化推荐系统；用数据分析获得运营数据，再用建模方法进行资源优化。二者共同驱动智能旅游服务质量的提升。五、计算题（每题10分，共20分）1.解析思路：此题考查一阶线性微分方程的求解。*微分方程为dY/dt=0.1Y-2，是标准的一阶线性微分方程形式。*首先求解对应的齐次方程dY/dt=0.1Y，其通解为Y_h=C_1*e^(0.1t)。*然后求非齐次方程的特解。使用常数变易法或待定系数法，设特解Y_p为常数，代入方程得0=0.1Y_p-2，解得Y_p=20。*因此，原方程的通解为Y(t)=Y_h+Y_p=C_1*e^(0.1t)+20。*利用初始条件Y(0)=10，代入通解得10=C_1*e^0+20，即C_1=-10。*最终解为Y(t)=-10*e^(0.1t)+20。2.解析思路：此题考查M/M/1排队模型。*(1)服务台空闲的概率：*M/M/1模型中，系统空闲概率P_0=1-(λ/μ)。这里λ=20人/小时，μ=25人/小时。*P_0=1-(20/25)=1-0.8=0.2。所以服务台空闲的概率为0.2。*(2)系统中平均有多少游客在等待服务：