上海市同济大学附属七一中学2025-2026学年高三上学期期中考试数学试题（含解析）

同济大学附属七一中学2025-2026学年高三上学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1．集合{x|5＜x＜9，x∈N}，用列举法可表示为．2．已知sinα=7253．已知“x≥3”是“x≥a”的充分非必要条件，则实数a的取值范围．4．当x＞0时，x＋9x的最小值为5．函数f(x)=log21x−16．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c；若b＝6，a＝2c，B=π3，则△ABC的面积为7．已知偶函数f（x）部分图象如图所示，且f（3）＝0，则不等式xf（x）＜0的解集为．8．如图所示，圆锥SO的底面圆半径OA=1，侧面的平面展开图的面积为3π则此圆锥的体积为.9．已知函数f(x)＝sinx+2x若函数fx=ax3+3已知函数fx=ax，x<0，1712．已知函数y=a4−x（a>0且a≠1）的图像恒过定点A，且点A则1m+4m二.选择题（本大题共4题，第13、14题各4分，第15、16题各5分，共18分）13．若关于x的二次不等式ax2+bxA．a>0，且b2−4ac>0C．a<0，且b2−4ac>014．下列函数在定义域中既是奇函数又是减函数的是（

）A．y=1xB．y=−xxC．y=15．已知f(x)=cos(ωx+π3),ω>0．在x∈0,2π内的值域为A．23，43B．0，116．设函数fx=−x2−2x，x≤0lnx，x>0则x1⋅x2⋅下列判断正确的是（

）A．①和②均为真命题B．①和②均为假命题C．①为真命题，②为假命题 D．①为假命题，②为真命题三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+18+18=78分）17．（本题满分14分）在直三棱柱ABC−A1B（1）直三棱柱ABC−A1B1C1表面积和体积；（2）18．（本题满分14分）已知向量m=2（1）设θ∈−π2π（2）在△ABC中,△ABCAB=1，fC=3+1，且△ABC某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y万元与年产量x吨之间的函数关系可以近似地表示为y=x（1）年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低?并求最低平均成本；（2）若每吨产品的平均出厂价为24万元，且产品能全部售出，则年产量为多少吨时，可以获得最大利润?并求最大利润.20．已知函数f(x)=2x+1+b（1）求b的值，并用定义证明函数f（x）的单调性；（2）求不等式f[f(x)]+f(14)＜0的解集；（3）设g（x）＝lnx+mx2，若对任意的x1∈[1，e]，总存在x2∈[0，2]，使得g（x1）＝f（x221．已知定义域为D的函数y=fx，其导函数为y′=f′（1）若fx=ax+lnx，x∈1，2（3）若y=fx，x∈R是周期为2的周期函数，证明：对任意的实数x1，x同济大学附属七一中学2025-2026学年高三上学期期中数学试题解析学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题（本大题共12题，满分54分；第1-6题每题4分;第7-12题每题5分）1．{6，7，8}2．−7243.(−∞，3]4．65．0，16.8．22π39.−8π210．（﹣∞，0）∪（0，3）11．(6.【详解】因为b＝6，a＝2c，B=π3，所以由余弦定理b2＝a2+c2﹣2accosB，可得62＝（2c）2+c2﹣2×（2c）×c×1解得c2＝12，可得c＝23，a＝43，则△ABC的面积S=12acsinB=12×7.【详解】根据函数部分图象和偶函数可以补全y轴左侧的图象，由xf（x）＜0，当x＞0时，f（x）＜0，结合图象可得0＜x＜3；当x＜0时，f（x）＞0，可得x＜﹣3，所以xf（x）＜0的解为{x|x＜﹣3或0＜x＜3}．故答案为：（﹣∞，﹣3）∪（0，3）．8.【详解】设圆锥的母线长为l，所以圆锥侧面的平面展开图的面积为：S=1所以l＝3，所以圆锥的高SO=32−1=22．故圆锥的体积为：10.【详解】∵函数f（x）＝ax3﹣3x2+x+1恰好有三个单调区间，∴f′（x）＝3ax2﹣6x+1＝0有两个不相等的零点，则只需满足：a≠0Δ=36−12a＞0二、选择题（本大题共4题，满分18分；第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）13.B14.B15.D16.C13．B【详解】由题意关于x的二次不等式ax2+bx+14．B【详解】解：对于A选项，函数y=1函数y=−xx为奇函数，当x>0时，y=−xx=−对于C，由于函数y=ex,y=−对于D选项，函数y=−lnx为非奇非偶函数，故错误；故选：BD【详解】因为x∈0，2π，所以ωx+π3（如下图）：可知π≤2πω+π所以解得ω∈116．C【详解】当x≤0时，fx=−x2−2x，图象为抛物线的一部分，抛物线开口向下，对称轴为x=−1，顶点为(−1，1)，过(−2，0)和对于①，当方程fx=a有四个不同的实根x1、x2、不妨假设x1<x−2<x且x1+x2=−2，ln因此x1⋅x2⋅所以x1⋅x2⋅x3⋅x4∈(0，1)，故①为真命题；对于②，方程f2x−a+1fx=1a有4个不同实根，故原方程有6个不同实根；当a=1时，1有3个不同实根，故原方程有3个不同实根；当0<a<1时，1a>1，由y=f(x)的图象得fx=a有4个不同实根，fx=1a有1个实根，故原方程有1个实根；当a<0且a≠−1时，a≠1a<0且1a有1个实根，fx=1a有1个实根，故原方程有2个不同实根；综上所述，方程f2三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+18+18=78分）17.（1）3+2，12；（2）arcsin1518.（1）π3或4π3；（2）319．（1）年产量为100吨时，平均成本最低为16万元；（2）年产量为110吨时，最大利润为860万元.【分析】（1）列出式子，通过基本不等式即可求得；（2）将式子化简后，通过二次函数的角度求得最大值.【详解】（1）∵x∈[60，110]，∴yx=即x=100取“=”，符合题意；∴年产量为100吨时，平均成本最低为16万元；（2）L(x)=24x−x25−24x+2000∴当x=110时，L(x)max=86020．（1）因为f（x）为奇函数，所以f(x)+f(−x)=2解得b＝﹣2，所以f(x)=2x+1−22x+1=2−42x+1，下面用定义法证明单调性：∀则f(x1)−f(x2)=2−4所以f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），所以函数f（x）在R上单调递增；（2）由（1）知f（x）在R上单调递增，且为奇函数，故不等式f[f(x)]+f(⇔f(x)＜−14，即2−42x+1＜−14因为f（x）在R上单调递增，所以在区间[0，2]上，f(x)max=f(2)=故f(x)∈[0，65]当m≥0时，g（x）＝lnx+mx2在区间[1，e]上为增函数，要使对任意的x1∈[1，e]，总存在x2∈[0，2]，使得g（x1）＝f（x2）成立，则需g(1)≥f(0)g(e)≤f(2)，即m≥01+me2≤21．（1）−32，0；（2）【分析】（1）根据题意，将问题转化成恒成立问题，即−1−1x<a<1−1x在x∈（4）利用函数是定义域为R的周期函数，知函数fx在一个周期上必有最大值和最小值，再利用条件f得到fx1−f【详解】（1）因为fx=ax+lnx，x∈1,2，所以f即a+1x<1在x∈1,2上恒成立，所以−1<a+1令