2019-2021北京重点校高一（下）期末数学汇编：三角函数的图象与性质

1/12019-2021北京重点校高一（下）期末数学汇编三角函数的图象与性质一、单选题1．（2021·北京·首都师范大学附属中学高一期末）将函数（）的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，且，下列说法错误的是（）A．为偶函数B．C．当时，在上有3个零点D．若在上单调递减，则的最大值为92．（2021·北京·101中学高一期末）下列区间中，函数单调递增的区间是（）A． B． C． D．3．（2021·北京·首都师范大学附属中学高一期末）函数是（）A．奇函数，且最小值为B．奇函数，且最大值为C．偶函数，且最小值为D．偶函数，且最大值为4．（2020·北京师大附中高一期末）函数f(x)=Asinx(A>0)的图象如图所示，P，Q分别为图象的最高点和最低点，O为坐标原点，若OP⊥OQ，则A=A．3 B．C． D．15．（2021·北京师大附中高一期末）函数的图象（）A．关于直线对称 B．关于直线对称C．关于点对称 D．关于点对称6．（2020·北京师大附中高一期末）函数，的最小正周期为（）A． B． C． D．7．（2020·北京·中国人民大学附属中学朝阳学校高一期末）音叉是呈“Y”形的钢质或铝合金发声器（如图1），各种音叉可因其质量和叉臂长短、粗细不同而在振动时发出不同频率的纯音.敲击某个音叉时，在一定时间内，音叉上点P离开平衡位置的位移与时间的函数关系为.图2是该函数在一个周期内的图象，根据图中数据可确定的值为（）A．200 B．400 C． D．8．（2020·北京·中国人民大学附属中学朝阳学校高一期末）函数的一个单调递增区间可以是（）A． B． C． D．二、双空题9．（2021·北京·首都师范大学附属中学高一期末）用“五点法”作函数的图象时，列表如下：则_________，_________.三、填空题10．（2021·北京·101中学高一期末）已知函数，给出下列五个结论：①；②若，则；③在区间上单调递增；④函数的周期为；⑤的图像关于点成中心对称．其中正确的结论的序号是________．11．（2021·北京·人大附中高一期末）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，C.且满足.且△ABC为锐角三角形，则△ABC面积的取值范围为________.12．（2020·北京师大附中高一期末）函数的最大值为______.13．（2020·北京·101中学高一期末）函数的最小正周期为_______．四、解答题14．（2021·北京师大附中高一期末）已知集合，称为的第个分量.对于的元素，定义与的两种乘法分别为：给定函数，定义上的一种变换.（1）设，求和；（2）设，对于，设，对任意且，定义①当时，求证：中为0的分量个数不可能是2个；②若的任一分量都只能取或，设的第1个分量为，求的最小正周期的最小值，并求出此时所有的.15．（2021·北京·101中学高一期末）对，定义．（1）求的最小值；（2），有恒成立，求A的最大值；（3）求证：不存在，且m＞n，使得为恒定常数．16．（2019·北京·中央民族大学附属中学高一期末）已知函数.（1）求的周期和单调递增区间；（2）求在上的最值.17．（2020·北京师大附中高一期末）已知向量，，设函数.（1）求的最小正周期；（2）求的单调增区间；（3）若函数，，其中，试讨论函数的零点个数.18．（2020·北京·中国人民大学附属中学朝阳学校高一期末）在平面直角坐标系xOy中，以Ox为始边的两个角，的终边分别与单位圆O交于点M，N，已知M，N关于原点对称（1）若点M的坐标为，求，的值；（2）当时，求的最大值.19．（2021·北京·人大附中高一期末）设A，B，C为△ABC的三个内角，向量，且.（1）求角A的大小；（2）求sinB＋sinC的取值范围.20．（2020·北京·101中学高一期末）已知函数.（1）求函数的对称轴；（2）当时，求函数的最大值与最小值.21．（2020·北京·101中学高一期末）已知的角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.（1）求角A的大小；（2）若，求周长l的最大值.22．（2020·北京师大附中高一期末）已知函数.（1）求的值；（2）求的最小正周期；（3）求函数的单调递增区间.23．（2021·北京·首都师范大学附属中学高一期末）已知函数.（1）求的最小正周期及单调递增区间；（2）求在上的最大值和最小值.24．（2021·北京师大附中高一期末）已知函数.（1）求；（2）求的最小正周期：（3）求在区间上的最大值.

参考答案1．D【解析】由平移变换和两角和的正弦公式化简得出函数的解析式，利用定义得出奇偶性，进而判断A选项；将代入函数的解析式，即可判断B选项；由余弦函数的性质判断C，D.【详解】由题意得，由，得出则对A项，函数的定义域为，，则函数为偶函数对B项，对C项，当时，，由得：，可以取，即当时，在上有3个零点对D项，由，解得则函数在区间上单调递减因为在上单调递减，所以，解得即的最大值为故选：D【点睛】本题主要考查了三角函数图象的平移变换求解析式，余弦函数性质的应用，在求余弦型函数的单调性时，利用整体法将余弦型函数的单调性化归为余弦函数的单调性来处理问题，属于中档题.2．A【分析】解不等式，利用赋值法可得出结论.【详解】因为函数的单调递增区间为，对于函数，由，解得，取，可得函数的一个单调递增区间为，则，，A选项满足条件，B不满足条件；取，可得函数的一个单调递增区间为，且，，CD选项均不满足条件.故选：A.【点睛】方法点睛：求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成形式，再求的单调区间，只需把看作一个整体代入的相应单调区间内即可，注意要先把化为正数．3．D【分析】根据奇偶性判断得函数为偶函数，再将函数变形为，进而得函数有最大值.【详解】解：因为，所以函数为偶函数，，所以由余弦函数及二次函数的性质知，最大值为.故选：D4．B【详解】由题意函数，周期由图像可知连接过作轴的垂线，可得：由题意，是直角三角形，解得：.故选B5．C【分析】利用正弦函数的对称轴方程和对称中心求解.【详解】函数的对称轴方程为，，.令得，；令，得.可排除A，B.函数的对称中心横坐标为，，.令得，，故选项C正确.故选：C.6．C【解析】直接利用三角函数的周期公式求解即可.【详解】解：函数，的最小正周期为：.故选：C.【点睛】本题考查三角函数最小正周期的求法，属于基础题.7．D【解析】根据函数图像，确定函数周期，从而可得的值.【详解】由图像可得，，，即，则.故选：D.【点睛】本题主要考查三角函数的应用，考查正弦型函数的周期性，属于基础题型.8．D【解析】根据正弦函数单调性，求出单调递增区间，进而可判断出结果.【详解】由可得，即函数的单调递增区间为，故ABC都错，D正确.故选：D.【点睛】本题主要考查正弦型函数的单调性，属于基础题型.9．【解析】根据表格中的数据求出、、的值，可得出函数的解析式，然后代值计算可得出和的值.【详解】由表格中的数据可知，，函数的最小正周期为，，，当时，则，解得，则，，.故答案为：；.【点睛】本题考查三角函数值的计算，解题的关键就是利用表格中的数据求出函数解析式，考查计算能力，属于中等题.10．⑤【分析】利用诱导公式进行化简求值，可判①定错误；利用的周期判定②错误；将函数的单调性转化为分段函数的单调性，可判定③错误；利用周期的定义判定④错误；利用判定⑤正确.【详解】①：，故①错误；②：若，则，因为的最小正周期为，故②不正确；③：在区间上，，则在区间上单调递减，在区间上单调递增，故③错误；④：，故④错误；⑤因为，，所以，即的图象关于点成中心对称，故⑤正确．故答案为：⑤．11．【分析】由余弦定理求出角，，要求△ABC面积的取值范围，只需求出边取值范围，根据正弦定理，将用角表示，结合范围，即可求解.【详解】,，由正弦定理得，所以，又△ABC为锐角三角形，,得所以，.故答案为：.12．3【解析】直接利用正弦型函数性质的应用求出结果.【详解】解：当()时，函数的最大值为3.故答案为：3【点睛】本题考查求正弦型函数的最值，难度较易.形如的函数，.13．π【详解】试题分析：因为，所以函数f(x)＝cos2x－sin2x的最小正周期为考点：三角函数的周期14．（1），；（2）①见解析；②，或.【分析】（1）根据定义计算可得相应的计算结果.（2）①利用反证法结合分量的特征可证明该结论.②先求出，找出一般规律后可求出，结合解析式的形式可得到何时的最小正周期有最小值.【详解】（1），，故，．（2）①：当时，，，故，即，同理，类似的求法，有：，若中为0的分量个数是2个，不妨设，则，两式相加后有，故，矛盾．故中为0的分量个数不可能是2个．②：由①的计算可知：，；类似地，有：，；也就是：而，，也就是：，，依次类推则有的第一个分量为：，故，其中或，当的符号交替出现时，的最小正周期有最小值，此时或，最小正周期的最小值为，对应的或.【点睛】方法点睛：本题为与三角函数有关的新定义题，解决此类问题关键是弄清楚新运算的性质与三角函数中三角变换公式之间的联系，从而得到一般规律，注意本题中，因此我们可由有限归纳法来总结规律.15．（1）；（2）；（3）见解析.【分析】（1）依题意可得，进而可得结果；（2）依题意可得对，，所以，故可得结果；（3）用反证法证明，假设存在，且，使得恒为常数，由，，结合奇偶分析得出矛盾.【详解】（1）依题意得所以当时，有最小值；（2）因为对，，所以，即的最大值为；（3）用反证法：假设存在，且，使得恒为常数，，则，，由可得，即是偶数.而，由于，所以必有.若，则，不合题意；若，则，故.而由，可知：是偶数，是奇数，由可得，显然矛盾.综上，不存在符合题意的，.【点睛】关键点点睛：第（3）问用反证法证明的关键点是：由，，结合奇偶分析得出矛盾.16．（1），，（2）最小值为2最大值为3【分析】(1)根据降幂公式、诱导公式与辅助角公式化简再求周期与单调递增区间即可.(2)根据(1)中的求出再根据正弦函数的取值范围求解即可.【详解】（1）,的周期,由,,解得,.的单调递增区间为,；（2）,,则..即的最小值为2,最大值为3.【点睛】本题主要考查了利用三角函数恒等变换求解三角函数性质的问题等.属于中等题型.17．（1）最小正周期为；（2）函数的单调增区间为：()；（3）答案见解析.【解析】（1）通过向量的数量积求出函数的表达式，利用二倍角公式以及两角和的正弦函数化为一个角的一个三角函数的形式，即可求出函数的最小正周期.（2）利用正弦函数的单调增区间，直接求出函数的单调增区间即可.（3）求出函数在时函数的取值范围，即可根据函数的零点的判断方法推出函数零点的个数.【详解】（1）函数，.，，所以函数的最小正周期为：.（2）因为函数，由，，解得，，所以函数的单调增区间为：().（3），因为，所以，，令，得，则函数的零点个数等价于与的交点个数，在同一坐标系中，作出两函数的图象，如图所示：由图象可知：当或时，零点为0个；当时函数有两个零点，当或时，函数有一个零点；【点睛】本题主要考查三角函数与平面向量以及三角函数的图象和性质的应用，还考查了数形结合的思想方法，属于中档题.18．（1），；（2）2【解析】（1）由三角函数的定义，求出，又由M，N关于原点对称，可得，再又诱导公式求出；（2）由，根据诱导公式和辅助角公式化简，结合角度的范围，求得答案.【详解】（1）由点M，则，又M，N关于原点对称，则，，故，.（2）由，故，由，则，则，故当，即时，的最大值为.【点睛】本题考查了三角函数的定义，诱导公式和辅助角公式，三角函数的最值，属于中档题.19．（1）；（2）【分析】（1）根据已知结合向量模长坐标公式，得到二次关系，由正弦定理化角为边，最后用余弦定理求出，即可求解；（2）由（1）将角用角表示，再运用三角恒等变换转化为正弦型三角函数，利用角范围，即可得出结论.【详解】（1），所以，，由正弦定理得，所以，又，所以；（1），因为，所以，所以的范围是.20．（1）对称轴方程为：()；（2）最大值为2，最小值为.【解析】（1）直接利用正弦型函数的性质的应用求出函数的对称轴方程.（2）利用函数的定义域的应用求出函数的值域，进一步求出函数的最大和最小值.【详解】（1）函数.令()，解得()，所以函数的对称轴方程为：().（2）由于，所以，故.则：故当时，函数的最小值为.当时，函数的最大值为2.【点睛】本题考查正弦型函数的性质，属于基础题.21．（1）；（2）3.【解析】（1）由题意利用正弦定理，两角和差的三角公式，求得的值，可得A的值.（2）利用正弦定理求得b､c的解析式，可得周长l的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域，求得的周长l的最大值.【详解】解：（1）中，∵，∴由正弦定理可得，∴，∴.结合，可得.（2）由正弦定理得，，∴周长.∵，∴，，∴，故的周长l的最大值为3.【点睛】本题考查了正弦定理的边角互化、三角恒等变换以及正弦函数的性质，属于基础题.22．（1）；（2）最小正周期；（3）单调递增区间为：，.【解析】（1）由已知可求即可得解；（2）利用正弦函数的周期公式即可求解；（3）利用正弦函数的单调性即可求解.【详解】解：（1）由于函数，可得；（2）的最小正周期；（3）令，，得，，可得函数的单调递增区间为：，.【点睛】本题考查了正弦定理的周期性