5年（2021-2025）天津高考数学真题分类汇编：专题05 平面向量与复数（原卷版）

专题05平面向量与复数

考点五年考情（2021-2025）命题趋势

2025天津卷：求数量积

2024天津卷：平面向量基本定理的应用平面向量线性

考点1平面向运算的坐标表示数量积的运算律数量积的坐标表示；

量数量积2022天津卷：用基底表示向量向量夹角的计算；1.向量在高考的考查主要包

（5年5考）2023天津卷：余弦定理解三角形用基底表示向量用含了，向量的加减与数量积

定义求向量的数量积基本不等式求积的最大值；运算，通常运用基底法与建

2021天津卷：数量积的运算律；系法数形结合。

2025天津卷：平面向量的线性运算2.平面向量的线性表示，通

2024天津卷：平面向量基本定理的应用平面向量线性常会与共线结合，同时结合

考点2平面向

运算的坐标表示数量积的运算律数量积的坐标表示；基本不等式求解最值与取值

量的线性表示

2023天津卷：余弦定理解三角形用基底表示向量用范围问题.

（5年4考）

定义求向量的数量积基本不等式求积的最大值；3.向量的夹角与模长问题是

2022天津卷：用基底表示向量向量夹角的计算；高考中中的重点内容，通常

考点3向量夹会结合最值与取值范围进行

角2022天津卷：用基底表示向量向量夹角的计算；考察

（5年1考）

考点4向量模

2021天津卷：数量积的运算律；

长

（5年1考）

2025天津卷：复数的模

2024天津卷：复数代数形式的乘法运算；

复数在高考中主要考察了复

考点4复数2023天津卷：复数代数形式的乘法运算、复数的除法

数的基本运算，包含了加减

（5年5考）运算；

乘除运算.

2022天津卷：复数的除法运算；

2021天津卷：复数的除法运算；

考点01平面向量数量积

1

1．（2024·天津·高考真题）VABC中，D为AB边中点，CECD,ABa,ACb，则（用

3AE

a，b表示），若|AE|5，AECB，则AECD

2.（2024·天津·高考真题）在边长为1的正方形中，点为线段的三等分点，

1

，则；为线段上的动点𝐴，𝐵为中�点，则𝐵的最小值为��=2��．,��=

𝐴�+𝐴��+�=��������⋅��

考点02平面向量的线性表示

3．（2023·天津·高考真题）在中，，，，记，

→→→→

∘11

△𝐴���=1∠�=60𝐵=2𝐴,��=2𝐵��=�,��=�

用表示；若，则的最大值为．

→

→1

3

�,���=��=�考�点�0�⋅3��向量夹角

4．（2022·天津·高考真题）在中，，D是AC中点，，试用表示

为，若，则△𝐴�的最大�值�为=�,��=���=2���,���

��⊥��∠�𝐴考点04向量模长

5．（2021·天津·高考真题）在边长为1的等边三角形ABC中，D为线段BC上的动点，且交AB

于点E．//且交AC于点F,则的值为；��⊥�的�最小值

为���．�|2��+��|(��+��)⋅��

考点05复数的加减乘除运算

3+i

6.（2025·天津·高考真题）已知i是虚数单位，则=．

i

7．（2024·天津·高考真题）已知i是虚数单位，复数ii．

8．（2023·天津·高考真题）已知i是虚数单位，化简i的结果为

5i+⋅5−2=

5+14

2+3

9．（2022·天津·高考真题）已知i是虚数单位，化简i的结果为．

1+2i

11−3

10．（2021·天津·高考真题）i是虚数单位，复数i．

i

9+2

2+=

一、单选题

1i

1．（2025·天津和平·二模）已知i为虚数单位，复数z，则z的共轭复数z（）

22i

111111

A．iB．iC．iD．i

222222

2．（2025·天津·一模）若abi1i2i（i是虚数单位，a，b是实数），则复数zabi在复平面内对

应的点是（）

A．第一象限B．第二象限

C．第三象限D．第四象限

二、填空题

3．（2025·天津河西·模拟预测）若复数z满足zi31i，则z.

4．（2025·天津北辰·三模）i是虚数单位，若复数z满足2iz24i，则z.

z2i

5．（2025·天津河西·二模）i是虚数单位，复数z满足i，则z.

z

6．（2025·天津南开·二模）i是虚数单位，若复数z满足ziz13i，则z．

7．（2025·天津·二模）在边长为1的菱形ABCD中，A60，记AB=a，ADb，点M是线段BD上一

AN3

点，点N是线段DC上一点，且A，M，N三点共线．若，则用a，b表示AN；若

AM2

11AN

ANCM，则的值为．

12AM

1

8．（2025·天津·二模）在VABC中，点D在边BC上，且BDBC，E为线段AD的中点.已知ABa，ACb，

3

34

则BE（用a，b表示）；若a3，b4，且BEAD，则BAC.

9

9．（2025·天津和平·三模）若正方形ABCD的边长为1，中心为O，过O作直线l与边AD，BC分别交于P，

13

Q两点，点M满足OMOAOBR．（ⅰ）当时，OM；（ⅱ）PMQM的最小

224

值为．

4

10．（2025·天津河西·二模）在平行四边形ABCD中，cosBAD，DC4EC，BCCF，四边形ABCD

5

的面积为6，则EAFA的最小值为；当AB在AD上的投影向量为AD时，EAFA.

31

11．（2025·天津南开·二模）在梯形ABCD中，ABAD2，BCAD，ACBD，记AB=a，ADb，

42

用a和b表示CD；若点E为BD上一动点，则AEBC的最大值为．

π

12．（2025·天津·二模）在VABC中，ABa,ACb,BAC,S23.

3ABC

（1）若b1，则向量a在向量b上的投影向量的模为；

（2）边AB和AC的中点分别为D,E，点F为CD和BE的交点，G为线段CD上靠近C的三等分点，则

AFAG的最小值为.

2

13．（2025·天津·二模）在VABC中，已知ABACAB4，且AC13，则BC；

若D为线段AB的中点，点E满足BE2EC，且P为线段AC上的动点，则PDPE的最小值

为.

1

14．（2025·天津和平·二模）在VABC中，E为AC中点，G为线段BE上一点，且满足CGCBCA（R），

3

CG

则，若AGBG，则当C最大时，的值为.

CB

15．（2025·天津河北·二模）如图，已知矩形ABCD的边AB3，AD2，点P，Q分别在边BC，CD上.

uuur

若BPPC，CQ2QD，则用AB和AD表示PQ；若PAQ45，则APAQ的最小值

为.

BC

16．（2025·天津和平·一模）已知平面四边形ABCD满足ADAB2，BDCD2BA且BA1，M

BC

13

为AB的中点，则CM，若E、F分别为线段AD、BC上的动点，且满足MEMF，则

4

MEMF的最小值为.

1

17．（2025·天津·一模）在边长为2的菱形ABCD中，BAD60，且CEED，BEBABC，则