四川省宜宾市2024年高中数学联赛（初赛）高一组试题（含解析）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页四川省宜宾市2024年高中数学联赛（初赛）高一组试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．已知函数，若对任意的实数都成立，则的最小取值为.2．已知，则的最大值为.3．已知函数f（x）＝x+1，g（x）＝2|x+2|+a若对任意x1∈[3，4]，存在x2∈[﹣3，1]，使f（x1）≥g（x2），则实数a的取值范围是.4．定义为中的最大值，设，则的最小值为.5．若区间满足：①函数f(x)在[a，b]上有定义且单调；②函数f(x)在[a，b]上的值域也为[a，b]，则称区间[a，b]为函数f(x)的共鸣区间．请完成：（1）写出函数的一个共鸣区间；（2）若函数存在共鸣区间，则实数k的取值范围是．6．已知的三边分别为，满足，则的面积为.7．若函数与坐标轴有三个交点、、，且的外心在上，则；8．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”的很相似，故形象地称其为“奔驰定理）.“奔驰定理”的内容如下：如图，已知是内一点，,,的面积分别为,,，则.若是锐角内的一点，是的三个内角，且点满足，则下列说法正确的是.（填序号）①是的外心；②；③；④二、解答题9．已知，．（1）求证：；（2）求证：．10．如图是函数（，，）的部分图象，M，N是它与x轴的两个不同交点，D是这部分图象的最高点且横坐标为，点是线段DM的中点．(1)求函数的解析式及其在上的单调递增区间；(2)当时，函数的最小值为，求实数a的值．11．设集合存在正实数，使得定义域内任意都有．(1)若，试判断是否为中的元素，并说明理由；(2)若，且，求的取值范围；(3)若（），且，求的最小值．答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页《四川省宜宾市2024年高中数学联赛（初赛）高一组试题》参考答案1．2【分析】由条件确定当时，函数取得最大值，代入即可求的集合，从而得到的最小值.【详解】由条件对任意的实数x都成立，可知是函数的最大值，当时，解得，又因，所以最小值为2.故答案为：22．【分析】由题意，所求式子经过变形后，再用基本不等式即可求解.【详解】因为所以当且仅当，且，即时等号成立.所以所以故答案为：3．（﹣∞，3]【分析】由题意可得，由一次函数、指数函数的单调性求得最值，解不等式可得所求范围．【详解】若对任意，，存在，，使，可得，由在，递增，可得的最小值为（1），在，上递减，在，递增，可得的最小值为，所以，解得．即的取值范围是，．故答案为：，．4．【分析】根据题意画出函数的图象，再根据图象即可得到函数的最小值.【详解】分别画出的图象，则函数的图象为图中实线部分.由图知：函数的最低点为由，解得.所以的最小值为.故答案为：.5．或或（填一个即可）【分析】空1：根据定义，结合函数的单调性进行求解即可；空2：根据定义，结合函数的单调性、利用换元法进行求解即可；【详解】空1：设是区间上的共鸣区间，因为在上递增，且在上的值域也为，所以，即，因为，所以或或，函数的共鸣区间为或或.空2：因为函数在上单调递增，若存在共鸣区间，则，即，也就是方程在上有两个不等的实根，令，得，所以在上有两个不等的实根，令，则，即，解得，故实数k的取值范围是故答案为：；【点睛】关键点睛：第二问利用等价转化思想将问题转化为一元二次方程根的问题求解是解题关键.6．【分析】运用余弦定理及三角形的面积公式求解即可.【详解】由题意可知，而，所以，此时.故答案为：7．【分析】根据二次函数的对称性和三角形的外心性质可以确定三角形的外心是抛物线的对称轴与直线的交点，再通过三角形外心的性质，结合两点间距离公式进行求解即可.【详解】设三角形的外心为该二次函数的对称轴为，所以有，不妨设点、在横轴上，设为、、，在纵轴上，即，则根据一元二次方程根与系数关系有，，，，因为为外心，所以，所以，解得，或，当时，由，或，若，显然、两点重合，不符合题意；当时，由，由，所以；当时，，，或若，显然、两点重合，不符合题意；当时，由，由，所以，综上所述：，故答案为：【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用二次函数的对称性和三角形外心的性质，应用分类讨论思想进行解题.8．②③④【分析】由确定出点是三角形的垂心，判断①；结合与三角形内角和等于可证明②；结合②选项结论证明即可证明③，利用奔驰定理证明可证明④．【详解】对①，因为同理,故为的垂心，故①错误；对②，因为，所以，又因为，所以,又因为，所以，故②正确；对③，延长交于点，如图，则,同理可得,所以，故③正确；对④，,同理可得,所以,又因为，所以，故④正确，故答案为：②③④9．（1）详见解析（2）详见解析【分析】(1)由结合均值不等式进行整理变形即可证得题中的结论；(2)由题意利用均值不等式首先证得，然后结合题意即可证得题中的结论，注意等号成立的条件.【详解】（1），取等号．（2），所以，取等号．【点睛】本题主要考查利用均值不等式证明不等式的方法，不等式的灵活变形等知识，属于中等题.10．(1)，(2)【分析】（1）由图像求得解析式，再利用整体法求出单调区间，再赋值求交集即可求解；（2）换元法得的范围，利用二次函数讨论对称轴与区间的关系求最小值求解a【详解】（1）∵点是线段DM的中点，∴，．∵函数，∴．周期，解得．∵，∴，解得，又，∴．∴．令，解得，当时，，∴函数在上的单调递增区间为．（2）∵，∴，∴．令，则，∴．设，则函数图象的对称轴为直线．当，即时，，解得；当，即时，，解得（舍去）；当，即时，，解得（舍去）．综上，．11．（1）（2）（3）【详解】试题分析：（1）利用，判断出；（2）由，通过判别式