2025年大学《数学与应用数学》专业题库- 复杂系统中的数学建模研究

2025年大学《数学与应用数学》专业题库——复杂系统中的数学建模研究考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、简述复杂系统的主要特征，并举例说明至少两个特征在现实系统中的应用。二、描述数学建模的基本流程，并说明在模型假设和模型求解两个阶段分别需要关注的关键问题。三、考虑一个描述捕食者-食饵系统的经典Lotka-Volterra模型：$$\begin{cases}\frac{dx}{dt}=ax-bxy\\\frac{dy}{dt}=-cy+dxy\end{cases}$$其中，$x(t)$和$y(t)$分别代表食饵和捕食者的数量，$a,b,c,d$为正的模型参数。1.说明该模型的适用范围，并解释模型中各参数的生态学意义。2.求解该微分方程组，找出系统的平衡点。3.分析各平衡点的稳定性（稳定性分析可基于线性化方法或定性理论说明）。四、在一个社交网络中，用户之间通过建立联系（friendshiplinks）形成网络结构。假设网络节点代表用户，边代表用户间的直接联系。请运用图论的相关知识回答以下问题：1.简述网络度分布（DegreeDistribution）的常用描述指标及其在理解网络结构中的作用。2.描述小世界网络（Small-worldNetwork）和无标度网络（Scale-freeNetwork）的主要特征，并分别举一个可能符合这两种网络特征的社交场景例子。3.解释网络中心性（Centrality）的概念，并说明度中心性（DegreeCentrality）、介数中心性（BetweennessCentrality）和特征向量中心性（EigenvectorCentrality）分别适用于衡量节点哪种方面的重要性。五、考虑一个资源受限的传染病传播模型。假设一个地区总人口为$N$，初始时刻感染人数为$I_0$，易感者人数为$S_0=N-I_0$。感染者在单位时间内以率$\beta$传染易感者，以率$\gamma$愈合或转为免疫者。由于资源限制，治愈者的免疫能力会随时间衰减，假设免疫者以率$\delta$恢复为易感者。建立该情境的数学模型，并用微分方程表示该模型。六、在生态学研究中，研究者想要了解某种群（如某种植物）的分布模式。他们采集了该群落的样方数据，记录了每个样方中个体的数量。请结合数理统计的知识回答：1.简述泊松分布（PoissonDistribution）在描述生态学稀疏分布现象时的适用条件及其意义。2.若研究者怀疑该群落的分布符合泊松分布，他们可以采用什么统计方法来检验这一假设？请简述该方法的原理。3.除了泊松分布，还常用于描述群落分布的分布类型有哪些？请至少列举两种，并简述其与泊松分布的主要区别。七、设计一个简单的数学模型来描述城市交通拥堵现象。要求：1.清晰地定义模型中涉及的关键变量（如车辆密度、车速、车流量等）。2.建立变量之间的关系（可以使用函数、微分方程或差分方程等形式），阐述模型的基本原理。3.说明该模型可以用来分析哪些与交通拥堵相关的现象或问题，并简述如何利用该模型进行初步的分析。试卷答案一、复杂系统的主要特征包括：非线性、涌现性、自组织性、适应性、鲁棒性、路径依赖性等。例如：*非线性:捕食者-食饵系统中的种群数量变化不是简单的正比关系，一个小的扰动可能导致系统行为的剧烈变化。*涌现性:个体简单的交互行为（如蚂蚁觅食）可以导致宏观上复杂的集体智能（如形成路径）。城市交通系统中的拥堵现象是大量车辆个体遵循简单规则（如跟车、变道）导致的整体交通不畅。二、数学建模的基本流程通常包括：问题理解与分析、模型假设、模型建立（选择数学工具）、模型求解、模型验证与修正、模型应用。*模型假设阶段关注点:假设的合理性、简化是否过度、能否代表核心问题特征、不同假设对结果的影响。*模型求解阶段关注点:求解方法的正确性、计算的有效性、模型参数的确定方法、对求解结果的初步解释。三、1.适用范围与参数意义:该模型适用于描述两个物种（捕食者与食饵）相互作用，且环境资源相对稳定，空间均匀或扩散较好的简化生态系统。参数意义：*$a$:食饵的增长率（无捕食者时）。*$b$:捕食者对食饵的捕食率（单位捕食者单位时间捕食的食饵数量）。*$c$:捕食者的死亡率（无食饵时）。*$d$:捕食者通过捕食获得的增长率（单位捕食者单位时间因捕食获得的能量转化为自身增长的速率）。2.平衡点求解:令$\frac{dx}{dt}=0$和$\frac{dy}{dt}=0$，联立方程组：$$ax-bxy=0\quad\text{和}\quad-cy+dxy=0$$可得四个平衡点：*$(0,0)$:原点，零平衡点。*$(\frac{c}{d},0)$:食饵灭绝平衡点（当食饵增长不足以支持捕食者时）。*$(0,\frac{a}{b})$:捕食者灭绝平衡点（当捕食者无法找到足够的食饵时）。*$(\frac{ac}{bd},\frac{ad}{bc})$:共同生存平衡点（当食饵和捕食者数量都维持在一定水平时）。3.稳定性分析（以线性化方法为例）:对模型求全导数，得到雅可比矩阵$J$：$$J=\begin{pmatrix}a-by&-bx\\dx&-c+dx\end{pmatrix}$$分别计算在四个平衡点处的雅可比矩阵行列式$D$和迹$Tr$：*点$(0,0)$:$J=\begin{pmatrix}a&0\\0&-c\end{pmatrix}$,$D=ac>0$,$Tr=a-c$。若$Tr>0$(即$a>c$)，则该点不稳定（鞍点）；若$Tr<0$(即$a<c$)，则该点稳定。通常假设$a>c$，故为鞍点。*点$(\frac{c}{d},0)$:$J=\begin{pmatrix}0&-\frac{bc}{d}\\0&-c\end{pmatrix}$,$D=0\times(-c)=0$,$Tr=0-c=-c<0$。行列式为零，不能直接判断，但观察方程可知，$x$保持不变，$y$单调递减至零。该点稳定。*点$(0,\frac{a}{b})$:$J=\begin{pmatrix}a&0\\0&0\end{pmatrix}$,$D=a\times0=0$,$Tr=a$。行列式为零，不能直接判断，但观察方程可知，$y$保持不变，$x$单调递减至零。该点稳定。*点$(\frac{ac}{bd},\frac{ad}{bc})$:$J=\begin{pmatrix}a-b\frac{ad}{bc}&-b\frac{ac}{bd}\\d\frac{ac}{bd}&-c+d\frac{ac}{bd}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{a(c-d)}{c}&-\frac{a}{c}\\\frac{a}{c}&-\frac{c(b-d)}{b}\end{pmatrix}$,$D=\frac{a(c-d)}{c}\cdot(-\frac{c(b-d)}{b})=-\frac{a(c-d)(b-d)}{b}=-a\frac{(c-d)^2}{b}$,$Tr=\frac{a(c-d)}{c}-\frac{c(b-d)}{b}=\frac{a(c-d)b-c^2(b-d)}{bc}=\frac{(ab-ac)d}{bc}=-\frac{ad(c-d)}{bc}$。由于$a,b,c,d>0$且$c\neqd$，则$D<0$。根据稳定性判定规则，该点为不稳定平衡点（中心点，系统围绕该点周期性振荡）。四、1.度分布:网络中度分布描述网络中节点连接数（出度或入度）的概率分布情况。常用指标有平均度、度分布的形状（如泊松分布、幂律分布）。它反映了网络连接的稀疏或密集程度，以及网络中是否存在少数高度连接的“Hub”节点。例如，在社交网络中，度分布可以揭示网络中是否存在意见领袖或核心人物。2.小世界网络与无标度网络:*小世界网络:主要特征是“平均路径长度”相对较小，而“聚类系数”相对较大。意味着网络中任意两个节点之间通常只有很短的直接路径，但节点倾向于形成紧密的局部集群。例子：大学校园内的师生关系网络，地理位置接近的人形成的社交圈。*无标度网络:主要特征是其度分布遵循幂律分布（$P(k)\proptok^{-\gamma}$，$\gamma>2$）。意味着网络中存在少量连接数极高的“Hub”节点，而绝大多数节点的连接数很少。这种网络具有高度的鲁棒性（去除大部分普通节点影响不大）但对“Hub”节点破坏非常敏感。例子：互联网的域名服务器（DNS）层级结构，全球航空网络。3.网络中心性:*度中心性:衡量节点连接的紧密程度。度值越高的节点，其直接连接的伙伴越多。适用于衡量节点在信息传播中的直接影响范围或重要性。*介数中心性:衡量节点在网络中占据“桥梁”或“中介”位置的程度。介数中心性越高的节点，出现在其他节点对之间最短路径上的概率越大。适用于衡量节点在控制信息流动或资源转移中的重要性。*特征向量中心性:衡量节点的重要性，不仅取决于其连接数量，还取决于其邻居的重要性。一个连接了许多重要节点的节点，其特征向量中心性也会很高。适用于衡量节点在网络结构中的影响力或声誉。五、模型描述：假设感染者数量为$I(t)$，易感者数量为$S(t)$，恢复/免疫后可能再感染的人数为$R(t)$（这里简化为从免疫恢复为易感）。总人口$N$保持不变，即$S(t)+I(t)+R(t)=N$。由于资源限制，免疫者以率$\delta$恢复为易感者。模型微分方程组为：$$\begin{cases}\frac{dS}{dt}=-\betaSI-\deltaR\\\frac{dI}{dt}=\betaSI-\gammaI\\\frac{dR}{dt}=\gammaI-\deltaR\end{cases}$$其中，$S(t)$,$I(t)$,$R(t)$分别代表易感者、感染者和恢复/免疫者（考虑再感染）的数量；$\beta$是易感者被感染者传染的率，$\gamma$是感染者恢复/免疫的率，$\delta$是恢复/免疫者恢复为易感者的率。六、1.泊松分布适用条件与意义:泊松分布在生态学中常用于描述在给定面积或体积内，某个稀疏事件（如植物个体、昆虫卵）出现的次数。适用条件通常包括：事件在空间或时间上呈随机分布、事件发生概率小、事件间相互独立、在足够大的样本单元中事件发生的次数足够多。意义在于提供了一个简洁的统计模型来量化个体分布的随机性。2.检验方法与原理:检验群落分布是否服从泊松分布，常用的方法是拟合优度检验（如卡方检验$\chi^2$test）。原理是：将观测到的样方中个体数量（$O_i$）与基于泊松分布公式计算出的期望频数（$E_i=N\cdotP(X=i)$，其中$P(X=i)$是参数为$\lambda$的泊松分布的概率质量函数，$\lambda$通常用样本均数$\bar{x}$估计）进行比较。如果观测数据与期望频数的差异未超出随机波动的可接受范围，则不能拒绝原假设（分布符合泊松分布）。3.其他分布类型:*二项分布(BinomialDistribution):适用于描述在固定面积/体积、有限数量个体、抽样比固定的条件下，某个个体是否出现（成功/失败）的次数。与泊松分布的主要区别在于二项分布假设总体个体数量有限，而泊松分布假设总体无限或非常大，且事件概率在整体中保持不变。*负二项分布(NegativeBinomialDistribution):当观测到的群落平均密度高于泊松分布预测值时（即存在聚集现象），负二项分布通常更合适。它不仅包含一个平均数参数，还有一个离散度参数，可以更好地描述分布的聚集程度。与泊松分布的主要区别在于能够拟合均数大于方差的分布。七、设计一个简单的交通拥堵模型：1.关键变量定义:*$x(t,s)$:时刻$t$，路段$s$上的车辆密度（单位长度内的车辆数）。*$v(x(t,s))$:时刻$t$，路段$s$上密度为$x(t,s)$时的车辆速度。通常假设速度$v$是密度的单调递减函数，例如$v(x)=v_{max}(1-x/x_{jam})$，其中$v_{max}$是最大速度，$x_{jam}$是拥堵密度。*$q(t,s)=x(t,s)\cdotv(t,s)$:时刻$t$，路段$s$上的车辆流量（单位时间内通过路段起点的车辆数）。*$F(s)$:路段$s$的交通流量（单位时间内进入路段的总车辆数），通常$F(s)=\int_0^{x_{jam}}q(t,s)dx$。2.模型建立:使用连续流体力学模型描述车辆密度的变化。考虑路段$s