（人教A版）必修第一册高一数学上学期同步考点分类训练专题2.4 一元二次函数、方程和不等式（基础巩固卷）（解析版）

一元二次函数、方程和不等式（基础巩固卷）一、单选题1．已知1aA．a＜b B．a+b＜ab C．|a|＞|b| D．ab＞b2【分析】由1a＜1b＜0【解答】解：∵1a＜1b＜0，∴b＜a＜0，∴b＜a，a+b＜ab，|a|＜|b|，ab＜b22．已知a=2，b=7−3，c=6−2A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．c＞b＞a【分析】运用不等式的基本性质直接比较两数的大小．【解答】解：∵a=2，b=7−3，c=6−2，∴由a−b=2+3−7，且(2由b−c=(7+2)−(6+3)且(6+3故选：B．3．若不等式ax2+bx﹣2＜0​的解集为{x|﹣2＜x＜1}​，则a+b​＝（）A．﹣2​ B．0 C．1 D．2【分析】根据一元二次不等式与一元二次方程的关系解之．【解答】解：∵不等式ax2+bx﹣2＜0​的解集为{x|﹣2＜x＜1}，∴方程ax2+bx﹣2＝0根为﹣2、1，则−ba=−1−2a=−2，解得，a＝1，b4．若不等式2kx2+kx−38＜0对一切实数xA．﹣3＜k＜0 B．﹣3≤k≤0 C．﹣3＜k≤0 D．k＜﹣3或k≥0【分析】由2kx2+kx−38＜【解答】解：2kx2+kx−38＜①k＝0时，−38＜0恒成立，②k≠0时，k＜0Δ=k故选：C．5．已知不等式ax2+bx+c＞0的解集为{x|﹣2＜x＜1}，那么不等式cx2﹣ax+b＞0的解集为（）A．{x|−12＜x＜1} B．{x|x＜−1C．{x|﹣1＜x＜12} D．{x|x＜﹣1或x【分析】由不等式ax2+bx+c＞0的解集为{x|﹣2＜x＜1}知：a＜0，−ba=−2+1即ba=1，ca=−2×1＝﹣2，然后可求得不等式【解答】解：由不等式ax2+bx+c＞0的解集为{x|﹣2＜x＜1}知：a＜0，−ba=−2+1即ba=1，ca=−2×1＝﹣2，不等式cx2﹣ax+b＞0的两边都除以a得：cax2﹣x+ba＜故选：D．6．已知x＞0，y＞0且1x+4y=1，若x+y＞m2A．{x|x≥12} B．{x|x≤﹣3} C．{x|x≥1} D．{x|-9<x<【分析】由基本不等式“1”的用法得x+y≥9，进而解不等式m2+8m＜9即可得答案．【解答】解：∵x＞0，y＞0，且且1x+4y=1，∴x+y＝（x+y）（1当且仅当yx=4xy，即x＝3，y＝6时取等号．∴（x+y）min＝9，由x+y＞m2+8m恒成立，即m2+8m＜（x+y）min＝9，解得：﹣9＜7．已知x＞0，y＞0，且2x+y＝xy，则x+2y的最小值为（）A．8 B．82 C．9 D．【分析】由条件可得1x+2y=1，x+2y＝（x+2y【解答】解：x＞0，y＞0，且2x+y＝xy，可得：1x+2y=1，则x+2y＝（x+2y）（1x+2y=）＝58．已知关于x的不等式（tx）2+tx﹣1﹣9x2﹣3x＞0的解集为空集，则实数t的取值范围是（）A．−3≤t≤95 B．−3＜t＜−95C．﹣3≤t＜3 D．−【分析】把不等式化为（t2﹣9）x2+（t﹣3）x﹣1＞0，讨论t2﹣9＝0和t2﹣9≠0时，求出不等式解集为空集时实数t的取值范围．【解答】解：不等式（tx）2+tx﹣1﹣9x2﹣3x＞0可化为（t2﹣9）x2+（t﹣3）x﹣1＞0，令t2﹣9＝0，解得t＝±3；若t＝3，则不等式为﹣1＞0，显然不成立，即解集为空集；若t＝﹣3，则不等式化为﹣6x﹣1＞0，解得x＜−16，其解集不为空集；当t2﹣9≠0时，即t≠±3，由不等式的解集为空集知，t2−9＜0△=(t−3)2+4(t2−9)≤0二、多选题9．可以作为（2x+3）（x﹣5）＞x2﹣5x﹣12的一个充分不必要条件是（）A．x＜﹣2 B．x＜1 C．x＞4 D．x＞2【分析】求出不等式（2x+3）（x﹣5）＞x2﹣5x﹣12的解集，根据题意得出正确的选项．【解答】解：不等式（2x+3）（x﹣5）＞x2﹣5x﹣12可化为x2﹣2x﹣3＞0，即（x+1）（x﹣3）＞0，解得x＜﹣1或x＞3，所以不等式的解集为{x|x＜﹣1或x＞3}，所以不等式成立的一个充分不必要条件是解集的真子集，则选项AC满足条件．故选：AC．10.已知a，b∈R，且ab＞0，则下列不等式中，恒成立的是（）A．a+b2≥ab B．a2+b2C．ba+a【分析】根据已知条件，结合特殊值法，以及基本不等式的公式，即可求解．【解答】解：对于A，令a＝﹣1，b＝﹣1，满足ab＞0，但a+b2＜ab对于B，a2+b2﹣2ab＝（a﹣b）2≥0，当且仅当a＝b时，等号成立，故a2+b2≥2ab，故B选项中的不等式恒成立；对于C，∵ab＞0，∴ba＞0，ab＞0，∴ba+a对于D，若a＞0，b＞0，可得a+1a≥2，b+1b≥2，所以（a+1a）（b+1b）≥4，当且仅当a=1a，b=1b，即a＝b＝1时取等号，若a＜0，b＜0，则（a+1a）（b+111.已知关于x的不等式ax2+bx+c≤0的解集为{x|x≤﹣2或x≥3}，则下列说法正确的是（）A．a＜0 B．ax+c＞0的解集为{x|x＞6} C．8a+4b+3c＜0 D．cx2+bx+a＜0的解集为{x|−【分析】由不等式与方程的关系得a＜0−2+3=−ba−2×3=ca，从而可得b＝﹣a，【解答】解：∵不等式ax2+bx+c≤0的解集为{x|x≤﹣2或x≥3}，∴a＜0−2+3=−ba−2×3=ca，即b＝﹣a，ax+c＞0可化为ax﹣6a＞0，即x﹣6＜0，故ax+c＞0的解集为{x|x＜6}，故选项B错误；8a+4b+3c＝8a﹣4a﹣18a＝﹣14a＞0，故选项C错误；cx2+bx+a＜0可化为﹣6ax2﹣ax+a＜0，即6x2+x﹣1＜0，故不等式的解集为{x|−12＜x＜故选：AD．三、填空题12．函数y=x+1+4x+1(x＞−1)【分析】由已知直接利用基本不等式直接求解．【解答】解：∵x＞﹣1，∴x+1＞0，则y=x+1+4当且仅当x+1=4x+1，即x＝1时取等号，∴故答案为：4．13．若关于x的一元二次不等式2x2−kx+38＞0对于一切实数【分析】由题意得到Δ＜0，再解关于k的一元二次不等式即可．【解答】解：∵关于x的一元二次不等式2x2−kx+∴Δ＝k2﹣4×2×38=k2﹣3＜0，∴−故答案为：{k|−3＜k＜14．已知集合A＝{x|﹣5＜﹣2x+3＜7}，B＝{x|x2﹣（3a﹣1）x+2a2﹣a＜0}，若B⊆A，则实数a的取值范围为．【分析】根据题意，求出集合A、B，由一元二次不等式的解法分3种情况讨论，求出a的取值范围，综合可得答案．【解答】解：根据题意，集合A＝{x|﹣5＜﹣2x+3＜7}，B＝{x|x2﹣（3a﹣1）x+2a2﹣a＜0}，则A＝{x|﹣2＜x＜4}，B＝{x|（x﹣a）（x﹣2a+1）＜0}．若B⊆A，分3种情况讨论：若a＜2a﹣1，则a≥−22a−1≤4，则1＜a≤若a＝2a﹣1，则B＝∅，符合条件．若a＞2a﹣1，则2a−1≥−2a≤4，则−综合可得：−12≤故答案为：{a|−12≤a四．解答题15．解下列不等式．（1）﹣x2+2x﹣3＜0；（2）﹣3x2+5x﹣2＞0．【分析】（1）根据题意，原不等式变形为（x﹣1）2+2＞0，结合二次函数的性质分析可得答案；（2）根据题意，原不等式变形为（x﹣1）（x−2【解答】解：（1）根据题意，﹣x2+2x﹣3＜0⇒x2﹣2x+3＞0⇔（x﹣1）2+2＞0，又由（x﹣1）2+2≥2，则不等式的解集为R；（2）根据题意，﹣3x2+5x﹣2＞0⇔3x2﹣5x+2＜0⇔（x﹣1）（x−2解可得：23＜x＜1，即不等式的解集为{x|216．用一段长为32m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？【分析】根据已知条件，求出x+y＝16，再结合基本不等式的公式，即可求解．【解答】解：设矩形菜园的长为x（m），宽为y（m），则2（x+y）＝32，x+y＝16，矩形菜园的面积为xy（m2），由xy≤x+y2=162=8，xy≤64，当且仅当x故这个矩形的长、宽都为8（m）时，菜园的面积最大，最大面积为64（m2）．17．（1）已知x＞3，求4x−3（2）已知x，y是正实数，且x+y＝1，求1x【分析】（1）配凑可得4x−3（2）利用基本不等式中的“乘1法”，即可得解．【解答】解：（1）∵x＞3，∴x﹣3＞0，∴4x−3当且仅当4x−3=x−3，即x＝5时取等号，∴（2）∵x，y∈R+，∴1x当且仅当y=3x，即x=3−12，y=18．已知不等式（a+1）x2﹣4x﹣6＜0的解集是{x|﹣1＜x＜3}．（1）求常数a的值；（2）若关于x的不等式ax2+mx+4≥0的解集为R，求m的取值范围．【分析】（1）根据一元二次不等式与一元二次方程的关系求之；（2）根据一元二次不等式的解法直接求之．【解答】解：（1）∵不等式（a+1）x2﹣4x﹣6＜0的解集是{x|﹣1＜x＜3}，∴﹣1和3是方程（a+1）x2﹣4x﹣6＝0的解，∴2=4a+1−3=−（2）由a＝1不等式ax2+mx+4≥0化为x2+mx+4≥0，∴不等式x2+mx+4≥0的解集为R，则Δ＝m2﹣16≤0，∴﹣4≤m≤4，∴m的取值范围是{m|﹣4≤m≤4}．19.解下列问题：（1）若不等式ax2+bx+3＞0的解集为{x|﹣1＜x＜3}，求a，b的值；（2）若a+b＝1，a＞0，b＞0，求1a（3）已知﹣2＜a≤3，1≤b＜2，求代数式a+b和2a﹣3b的取值范围．【分析】（1）由题意可得﹣1和3是方程ax2+bx+3＝0的两个实根，则a−b+3=09a+3b+3=0，从而可求出a，b（2）由已知可得1a（3）利用