《高等数学》(同济六版)教学课件★第1章.函数与极限

教材:主要参考书:《高等数学方法》《高等数学》(第六版)同济大学应用数学系主编高等教育出版社,2007.4.

张晓宁,李安昌编中国矿业大学出版社,2002.5.

数学数学而且是一种思维模式;

不仅是一种知识,

而且是一种素养;

不仅是一种科学,

而且是一种文化;

能否运用数学观念定量思维是衡量民族科学文化素质的一个重要标志.不仅是一种工具,

数学引言一、什么是高等数学?初等数学—研究对象为常量,以静止观点研究问题.高等数学—研究对象为变量,运动和辩证法进入了数学.数学中的转折点是笛卡儿的变数.有了变数,运动进入了数学,有了变数，辩证法进入了数学,有了变数,微分和积分也就立刻成为必要的了,而它们也就立刻产生.恩格斯笛卡儿1.分析基础:函数,极限,连续

2.微积分学:一元微积分(上册)(下册)3.向量代数与空间解析几何4.无穷级数5.常微分方程主要内容多元微积分二、如何学习高等数学?1.认识高等数学的重要性,培养浓厚的学习兴趣.2.学数学最好的方式是做数学.聪明在于学习,天才在于积累.学而优则用,学而优则创.由薄到厚,由厚到薄.马克思恩格斯要辨证而又唯物地了解自然,就必须熟悉数学.一门科学,只有当它成功地运用数学时,才能达到真正完善的地步.第一节华罗庚给出了几何问题的统一笛卡儿

(1596～1650)法国哲学家,数学家,物理学家,他是解析几何奠基人之一.1637年他发表的《几何学》论文分析了几何学与代数学的优缺点,进而提出了“另外一种包含这两门科学的优点而避免其缺点的方法”,从而提出了解析几何学的主要思想和方法,恩格斯把它称为数学中的转折点.把几何问题化成代数问题,作图法,华罗庚(1910～1985)我国在国际上享有盛誉的数学家.他在解析数论,自守函数论,高维数值积分等广泛的数学领域中,程,都作出了卓越的贡献,发表专著与学术论文近300篇.偏微分方多复变函数论,矩阵几何学,典型群,他对青年学生的成长非常关心,他提出治学之道是“宽,专,漫”,即基础要宽,专业要专,要使自己的专业知识漫到其他领域.1984年来中国矿业大学视察时给给师生题词:“学而优则用,学而优则创”.第一章分析基础函数极限连续—研究对象—研究方法—研究桥梁函数与极限第一章二、映射三、函数一、集合第一节映射与函数元素a

属于集合

M,记作元素a

不属于集合M,记作一、集合1.定义及表示法定义1.

具有某种特定性质的事物的总体称为集合.组成集合的事物称为元素.不含任何元素的集合称为空集,记作

.

(或).注:

M

为数集表示M

中排除0的集;表示M

中排除0与负数的集.简称集简称元表示法：(1)列举法：按某种方式列出集合中的全体元素.例:有限集合自然数集(2)描述法：

x

所具有的特征例:

整数集合或有理数集

p与q

互质实数集合

x

为有理数或无理数开区间闭区间无限区间点的

邻域其中,a

称为邻域中心,

称为邻域半径.半开区间去心

邻域左

邻域:右

邻域:是B的子集

,或称B包含A,2.集合之间的关系及运算定义2

.则称A若且则称A

与B

相等,例如,显然有下列关系:,,

若设有集合记作记作必有定义3

.

给定两个集合A,B,并集交集且差集且定义下列运算:余集直积特例:记为平面上的全体点集或二、映射某校学生的集合学号的集合按一定规则查号某班学生的集合某教室座位的集合按一定规则入座引例1.引例2.引例3.(点集)(点集)向y

轴投影定义4.设X,Y

是两个非空集合,若存在一个对应规则f,使得有唯一确定的与之对应,则称

f

为从X

到Y

的映射,记作元素

y

称为元素x

在映射

f下的像,记作元素

x称为元素y

在映射

f

下的原像

.集合X

称为映射f

的定义域;Y

的子集称为f

的值域

.注意:1)映射的三要素—定义域,对应规则,值域.2)元素x

的像y

是唯一的,但y

的原像不一定唯一.对映射若,则称f

为满射;若有则称f

为单射;若f既是满射又是单射,则称f

为双射或一一映射.引例2,3引例2引例2例1.海伦公式例2.如图所示,对应阴影部分的面积则在数集自身之间定义了一种映射(满射)例3.如图所示,则有(满射)

(满射)X(数集或点集

)说明:在不同数学分支中有不同的惯用X(≠

)Y(数集)

f称为X

上的泛函X(≠

)X

f称为X

上的变换

R

f称为定义在X

上的函数映射又称为算子.名称.例如,定义域三、函数1.函数的概念定义5.设数集则称映射为定义在D

上的函数,记为称为值域函数图形:自变量因变量(对应规则)(值域)(定义域)例如,反正弦主值定义域对应规律的表示方法:解析法、图像法、列表法使表达式或实际问题有意义的自变量集合.定义域值域又如,绝对值函数定义域值域对无实际背景的函数,书写时可以省略定义域.对实际问题,书写函数时必须写出定义域；例4.

已知函数解:及写出f(x)的定义域及值域,并求f(x)的定义域值域2.函数的几种特性设函数且有区间(1)有界性使称使称说明:

还可定义有上界、有下界、无界.(2)单调性为有界函数.在I

上有界.使若对任意正数M,均存在则称f(x)

无界.称为有上界称为有下界当称为I

上的称为I

上的单调增函数;单调减函数.(见P11)(3)奇偶性且有若则称

f(x)为偶函数;若则称f(x)为奇函数.

说明:若在x=0有定义,为奇函数时,则当必有例如,偶函数双曲余弦记又如,奇函数双曲正弦记再如,奇函数双曲正切记说明:

给定则偶函数奇函数(4)周期性且则称为周期函数

,若称

l

为周期(一般指最小正周期

).周期为

周期为注:

周期函数不一定存在最小正周期.例如,常量函数狄利克雷函数x

为有理数x为无理数3.反函数与复合函数(1)反函数的概念及性质若函数为单射,则存在一新映射习惯上,的反函数记成称此映射为f

的反函数.,其反函数(减)(减).1)y＝f(x)单调递增且也单调递增性质:使其中2)函数与其反函数的图形关于直线对称.例如,对数函数互为反函数,它们都单调递增,其图形关于直线对称.指数函数(2)复合函数则设有函数链称为由①,②确定的复合函数

,①②u

称为中间变量.注意:

构成复合函数的条件不可少.例如,

函数链:但可定义复合函数时,虽不能在自然域R下构成复合函数,可定义复合函数当改两个以上函数也可构成复合函数.例如,可定义复合函数:约定:为简单计,书写复合函数时不一定写出其定义域,

默认对应的函数链顺次满足构成复合函数的条件.4.初等函数(1)基本初等函数幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数(2)初等函数由常数及基本初等函数否则称为非初等函数

.例如,并可用一个式子表示的函数,经过有限次四则运算和复合步骤所构成,称为初等函数.可表为故为初等函数.又如,

双曲函数与反双曲函数也是初等函数.(自学,P17–P20)非初等函数举例:符号函数当x>0当x=0当x<0取整函数当

设函数

x

换为f(x)例5.解:例6.求的反函数及其定义域.解:当时,则当时,则当时,则反函数定义域为内容小结1.集合及映射的概念定义域对应规律3.函数的特性有界性,单调性,奇偶性,周期性4.初等函数的结构

作业

P214(5),(8),(10);6;8;9;13;16;17;18

2.函数的定义及函数的二要素第二节且备用题证明证:

令则由消去得时其中a,b,c

为常数,且为奇函数.为奇函数.1.

设2.

设函数的图形与均对称,求证是周期函数.证:由的对称性知于是故是周期函数,周期为第一章二、收敛数列的性质三、极限存在准则一、数列极限的定义第二节数列的极限数学语言描述:一、数列极限的定义引例.设有半径为

r

的圆,逼近圆面积S.如图所示,可知当

n无限增大时,无限逼近S.当n

>

N时,用其内接正

n

边形的面积总有刘徽(刘徽割圆术)定义:自变量取正整数的函数称为数列,记作或称为通项(一般项).若数列及常数a有下列关系:当n>

N

时,总有记作此时也称数列收敛,否则称数列发散.几何解释:即或则称该数列的极限为a,例如,趋势不定收敛发散例1.已知证明数列的极限为1.

证:欲使即只要因此,取则当时,就有故例2.已知证明证:欲使只要即取则当时,就有故故也可取也可由N

与

有关,但不唯一.不一定取最小的N.说明:

取例3.设证明等比数列证:欲使只要即亦即因此,取,则当n>N

时,就有故的极限为0.二、收敛数列的性质证:用反证法.及且取因故存在N1,从而同理,因故存在N2,使当n>N2时,有1.收敛数列的极限唯一.使当n>N1时,假设从而矛盾,因此收敛数列的极限必唯一.则当n>N

时,故假设不真!满足的不等式例4.

证明数列是发散的.

证:用反证法.假设数列收敛,则有唯一极限a

存在.取则存在N,但因交替取值1与－1,内,而此二数不可能同时落在长度为1的开区间使当n>N

时,有因此该数列发散.2.收敛数列一定有界.证:设取则当时,从而有取则有由此证明收敛数列必有界.说明:此性质反过来不一定成立.例如,虽有界但不收敛.有数列3.收敛数列具有保号性.若且有证:对a>0,取推论:若数列从某项起(用反证法证明)则则*********************4.收敛数列的任一子数列收敛于同一极限.证:设数列是数列的任一子数列.若则当时,有现取正整数K,使于是当时,有从而有由此证明*********************三、极限存在准则由此性质可知,若数列有两个子数列收敛于不同的极限,例如，

发散!夹逼准则;单调有界准则;*柯西审敛准则.则原数列一定发散.说明:1.夹逼准则

(准则1)

(P50)证:

由条件(2),当时,当时,令则当时,有由条件(1)即故例5.证明证:利用夹逼准则.且由2.单调有界数列必有极限

(准则2

)

(P52)

(证明略)例6.设证明数列极限存在.(P53～P54)证:利用二项式公式,有大大正又比较可知根据准则2可知数列记此极限为e,

e

为无理数,其值为即有极限.又内容小结*3.柯西极限存在准则(柯西审敛原理)

(P55)数列极限存在的充要条件是:存在正整数N,使当时,证:“必要性”.设则时,有使当因此“充分性”证明从略.有柯西内容小结1.数列极限的“–N

”

定义及应用2.收敛数列的性质:唯一性;有界性;保号性;任一子数列收敛于同一极限3.极限存在准则:夹逼准则;单调有界准则;*柯西准则思考与练习1.如何判断极限不存在?方法1.找一个趋于∞的子数列;方法2.找两个收敛于不同极限的子数列.2.已知,求时,下述作法是否正确?说明理由.设由递推式两边取极限得不对!此处作业P301,*3

(2),*4

P564

(1),(3)4

(3)

提示:可用数学归纳法证第三节故极限存在，备用题

1.设,且求解：设则由递推公式有∴数列单调递减有下界，故利用极限存在准则2.设证:显然证明下述数列有极限.即单调增,又存在“拆项相消”法刘徽(约225–295年)我国古代魏末晋初的杰出数学家.他撰写的《重差》对《九章算术》中的方法和公式作了全面的评注,指出并纠正了其中的错误,在数学方法和数学理论上作出了杰出的贡献.他的“割圆术”求圆周率“割之弥细,所失弥小,割之又割,以至于不可割,则与圆合体而无所失矣”它包含了“用已知逼近未知,用近似逼近精确”的重要极限思想.

的方法:柯西(1789–1857)法国数学家,他对数学的贡献主要集中在微积分学,《柯西全集》共有27卷.其中最重要的的是为巴黎综合学校编写的《分析教程》,《无穷小分析概论》,《微积分在几何上的应用》等,有思想有创建,响广泛而深远.对数学的影他是经典分析的奠基人之一,他为微积分所奠定的基础推动了分析的发展.复变函数和微分方程方面.一生发表论文800余篇,著书7本,第一章一、自变量趋于有限值时函数的极限第三节自变量变化过程的六种形式:二、自变量趋于无穷大时函数的极限本节内容:函数的极限一、自变量趋于有限值时函数的极限1.时函数极限的定义引例.

测量正方形面积.面积为A)边长为(真值:边长面积直接观测值间接观测值任给精度

,要求确定直接观测值精度

:定义1.设函数在点的某去心邻域内有定义,当时,有则称常数

A

为函数当时的极限,或即当时,有若记作极限存在函数局部有界(P36定理2)这表明:几何解释:例1.证明证:故对任意的当时,因此总有例2.证明证:欲使取则当时,必有因此只要例3.

证明证:故取当时,必有因此例4.

证明:当证:欲使且而可用因此只要时故取则当时,保证.必有2.保号性定理定理1.若且

A>0,证:已知即当时,有当

A>0时,取正数则在对应的邻域上(<0)则存在(A<0)(P37定理3)若取则在对应的邻域上若则存在使当时,有推论:(P37定理3´)分析:定理2.

若在的某去心邻域内,且则证:用反证法.则由定理1,的某去心邻域,使在该邻域内与已知所以假设不真,(同样可证的情形)思考:

若定理2中的条件改为是否必有不能!存在如假设A<0,条件矛盾,故3.左极限与右极限左极限:当时,有右极限:当时,有定理3.(P39题*11)例5.

给定函数讨论时的极限是否存在.解:利用定理3.因为显然所以不存在.定义2

.设函数大于某一正数时有定义,若则称常数时的极限,几何解释:记作直线y=A

为曲线的水平渐近线.A

为函数二、自变量趋于无穷大时函数的极限例6.

证明证:取因此注:就有故欲使只要直线y=A仍是曲线

y=f(x)

的渐近线.两种特殊情况:当时,有当时,有几何意义:例如，都有水平渐近线都有水平渐近线又如，内容小结1.函数极限的或定义及应用2.函数极限的性质:保号性定理与左右极限等价定理思考与练习1.若极限存在,2.设函数且存在,则例3

作业

P371;4;*5(2);*6(2);*9Th1Th3Th2是否一定有第四节？第一章二、无穷大三、无穷小与无穷大的关系一、无穷小第四节无穷小与无穷大当一、无穷小定义1.

若时,函数则称函数例如:函数当时为无穷小;函数时为无穷小;函数当为时的无穷小

.时为无穷小.说明:除0以外任何很小的常数都不是无穷小

!因为当时,显然C

只能是0!CC时,函数(或)则称函数为定义1.若(或)则时的无穷小

.其中

为时的无穷小量.定理1.

(无穷小与函数极限的关系)证:当时,有对自变量的其他变化过程类似可证.二、无穷大定义2

.

若任给

M>0,一切满足不等式的

x,总有则称函数当时为无穷大,

使对若在定义中将①式改为①则记作(正数X),记作总存在注意:1.无穷大不是很大的数,它是描述函数的一种状态.2.函数为无穷大,必定无界.但反之不真!例如,

函数但不是无穷大!例.证明证:

任给正数

M,要使即只要取则对满足的一切x,有所以若则直线为曲线的铅直渐近线.铅直渐近线说明:三、无穷小与无穷大的关系若为无穷大,为无穷小;若为无穷小,且则为无穷大.则(自证)据此定理,关于无穷大的问题都可转化为无穷小来讨论.定理2.

在自变量的同一变化过程中,说明:内容小结1.无穷小与无穷大的定义2.无穷小与函数极限的关系Th13.无穷小与无穷大的关系Th2思考与练习P42题1,*3P42题*3提示:

作业P42*2(2);4(1);8第五节第一章二、极限的四则运算法则三、复合函数的极限运算法则一、无穷小运算法则第五节极限运算法则时,有一、无穷小运算法则定理1.

有限个无穷小的和还是无穷小.证:

考虑两个无穷小的和.设当时,有当时,有取则当因此这说明当时,为无穷小量.说明:

无限个无穷小之和不一定是无穷小!例如，(P57题4(2))解答见课件第二节例5类似可证:有限个无穷小之和仍为无穷小.定理2.

有界函数与无穷小的乘积是无穷小.

证:

设又设即当时,有取则当时,就有故即是时的无穷小.推论1

.

常数与无穷小的乘积是无穷小.推论2

.

有限个无穷小的乘积是无穷小.例1.求解:

利用定理2可知说明:

y=0是的渐近线.二、极限的四则运算法则则有证:因则有(其中为无穷小)于是由定理1可知也是无穷小,再利用极限与无穷小的关系定理,知定理结论成立.定理3.

若推论:若且则(P46定理5)利用保号性定理证明.说明:

定理3可推广到有限个函数相加、减的情形.提示:

令定理4

.若则有提示:

利用极限与无穷小关系定理及本节定理2证明.说明:

定理4可推广到有限个函数相乘的情形.推论1.(C

为常数)推论2.(n