《抽象代数初步》教案 孙超超

《抽象代数初步》教案课程基本信息学分：3学分总学时：54课时（理论）+10课时（习题课）先修课程：高等代数、解析几何目录第一章群论教学方案（23课时） 2§1.1集合（2课时） 2§1.2群（3课时） 5§1.3置换群（3课时） 8§1.4子群（4课时） 13§1.5同态（3课时） 16§1.6商群（3课时） 19§1.7群作用（3学时） 22§1.8群直积与半直积（2课时） 26第二章环论教学方案（20课时） 30§2.1环的概念（4课时） 30§2.2环同态与理想（3课时） 34§2.3商环与积环（4课时） 37§2.4交换环（3课时） 40§2.5唯一分解性（4课时） 43§2.6分式域与局部化（2课时） 45第三章域与伽罗瓦理论教案（11课时） 483.1域的扩张（3课时） 48§3.2分裂域（4课时） 51§3.3伽罗瓦群（4课时） 53第一章群论教学方案（23课时）§1.1集合（2课时）教学目标：理解基数概念：掌握集合的基数（元素个数）及其比较方法，特别是无限集的情况。映射分类与运算：掌握单射、满射、双射的定义及判别方法，熟练进行映射的合成运算。等价关系与商集：理解等价关系的性质，掌握商集的构造方法，为后续陪集和商群的学习奠定基础教学过程：1.基本内容（60分钟）1.集合与映射回顾（15分钟）集合：复习集合的基本概念（子集、并、交、补、笛卡尔积）。映射：定义、表示法（），强调映射的“单值性”。例子：恒等映射

。常值映射

。2.映射的分类与运算（20分钟）单射、满射、双射：通过具体例子（如

在不同定义域下的性质）对比说明。映射的合成：结合律：。非交换性：举例

,

，说明

。逆映射：仅双射有逆映射，强调

，。3.基数与等价关系（25分钟）基数：通过双射定义等势，比较有限集与无限集（如

）。二元关系：以整除关系

为例引入。等价关系：定义：自反性、对称性、传递性。例子：模

同余关系

。商集与划分：是等价类的集合，对应集合的划分。2.难点解析（20分钟）逆映射vs逆像（10分钟）对比演示：逆映射：（双射，存在逆

）。逆像：，求

（非逆映射）。强调：逆映射要求双射，而逆像对任意映射均存在。无限集的基数（10分钟）希尔伯特旅馆悖论：通过动画展示“满房旅馆仍可接纳新客人”说明

与

等势。比较：与

的基数不同（康托对角线法）。3.互动练习（10分钟）分组活动：构造“同生日”等价关系。任务：全班按出生月份分组，定义

当且仅当

同月出生。验证：检查自反性、对称性、传递性。商集：={1月生,2月生,…,12月生}。快速问答：问题1：若

是单射，

是满射，的映射类型？问题2：

的基数与

相同吗？（是，构造双射

）教学工具与资源动画/图示：希尔伯特旅馆、映射合成示意图。板书设计：左侧：映射定义与分类。右侧：等价关系与商集示例（如模3同余类）作业与思考习题：完成教材习题1（德摩根法则）、习题5（等价关系验证）。思考题：如何用等价关系解释“魔方状态”的分类？（为群作用埋下伏笔）教学反思通过具体例子（如生日分组）将抽象概念具象化，学生反馈良好。下次可增加无限基数比较的更多实例（如

与

的双射构造）§1.2群（3课时）教学目标掌握群的定义与性质：理解群公理（封闭性、结合律、单位元、逆元），熟悉半群、幺半群的区别。群的基本操作：掌握群的阶、交换群、元素的幂运算及消去律。实例与应用：通过魔方、椭圆曲线等实例，直观理解群的结构。教学过程1.基本内容（65分钟）群的定义与公理（20分钟）封闭性：（以整数加法为例）。结合律：（对比矩阵乘法与非结合运算如向量叉积）。单位元：唯一性证明（假设

均为单位元，则

）。逆元：唯一性证明（若

均为

的逆元，则

）。群的分类与记号（15分钟）半群（仅封闭+结合律，如正整数加法）、幺半群（半群+单位元，如自然数加法）。有限群vs无限群：（6阶）vs

。交换群：，记号

(G,+)（如

）。经典群实例（30分钟）魔方群：以“面旋转”为生成元，演示封闭性（如

RUR′U′的循环）。椭圆曲线群：图示

，解释点加法（如

P+Q

为第三交点关于x轴的对称点）。其他例子：交换群：(,×),(,×)。非交换群：GLn()2.教学创新（25分钟）魔方演示（15分钟）操作：现场演示

RUR′U′

重复6次复原，说明生成6阶循环子群。群论解释：将魔方状态视为群元素，操作序列为群乘法，强调非交换性（RU≠UR）。椭圆曲线图示（10分钟）GeoGebra动态演示：展示

P+Q

的几何构造，解释无穷远点

O

为单位元。应用关联：比特币签名算法（ECDSA）中的椭圆曲线群。3.互动与练习（10分钟）快速问答：单位元在魔方群中对应什么操作？（不操作）为什么

不是群？（缺逆元）分组任务：列举3个有限群和3个无限群的例子。验证二面体群

D4（正方形对称）是否交换。教学工具与资源实物教具：魔方（演示非交换性）。软件工具：GeoGebra（椭圆曲线点加法可视化）。板书设计：左侧：群公理与性质。右侧：群实例对比表（交换性、阶数、生成元）。作业与思考习题：证明“若

，则

为交换群”。探索题：研究魔方群

RU

操作的阶数（参考教材习题3）。教学反思魔方演示有效吸引学生兴趣，但需控制时间避免偏离主线。椭圆曲线的几何构造需辅以更多练习（如计算具体点加法）。下节课可引入拉格朗日定理，提前预告陪集概念。§1.3置换群（3课时）教学目标掌握置换与循环的表示：能熟练用轮换记号表示置换，理解不交轮换的交换性。理解置换的结构分解：通过轨道分析置换的轮换分解，掌握唯一性定理。掌握置换的矩阵表示：能将置换转化为置换矩阵，计算其行列式（符号）。区分奇偶置换：理解对换分解与置换符号的关系教学过程：1.引入（10分钟）问题：设

X={1,2,3}，有多少种不同的排列方式？这些排列是否构成群？运算是什么？讲解：介绍

（n元对称群）的定义，强调置换是双射，运算为函数复合。举例

的6个元素，并用列表和循环表示法写出。2.置换与循环（20分钟）置换的表示：列表法：循环法：σ=(123)循环的定义：k-循环

表示

。对换：2-循环，如

(12)。循环分解：定理1.3.9：任何置换可唯一分解为不相交循环的乘积（顺序不影响）。举例：σ=(123)(45)

表示1→2→3→1，4→5→4，6→6（若

n=6）。练习（课堂互动）：将

写成循环形式。

（答案:(1342)）3.轨道与置换结构（15分钟）轨道的定义：对

，

的轨道是

。轨道与循环分解的关系：每个轨道对应一个循环因子。举例：σ=(123)(45)

的轨道为

{1,2,3}

和

{4,5}。置换的阶：置换的阶是各循环长度的最小公倍数（LCM）。练习：计算

σ=(123)(4567)

的阶。

（答案：LCM(3,4)=12）4.置换的矩阵表示（15分钟）置换矩阵的定义：，其置换矩阵

满足

其中是矩阵单位。每行每列仅有一个1，其余为0。性质：（保持群运算）。置换矩阵是正交矩阵（）。示例：σ=(123)

的置换矩阵：练习：写出

σ=(12)(34)

的置换矩阵。

（答案：交换第1、2行和第3、4行）5.奇偶置换（20分钟）对换分解：任何置换可分解为若干对换的乘积（如

(123)=(12)(13)）。奇偶性：偶置换：偶数个对换的乘积（如

(123)）。奇置换：奇数个对换的乘积（如

(12)）。交错群：所有偶置换构成的子群，阶为

n!/2。练习：判断

σ=(12)(345)

的奇偶性。

（答案：(345)=(34)(35)，共3个对换，奇置换）6.总结与习题（10分钟）置换的两种表示：列表法vs.循环法。轨道决定循环分解，置换的阶是循环长度的LCM。置换矩阵是正交矩阵，保持群运算。奇偶置换由对换个数的奇偶性决定，偶置换构成

。教学工具与资源动态演示：置换作用的网格动画。实物教具：编号卡片演示置换复合。板书设计：左侧：轮换表示与矩阵对应；右侧：符号同态与交错群性质。作业与思考：将

写成循环形式，并求其阶。证明：任何

k-循环的符号是

。将

(123)(234)

化为不交轮换积，并求其阶。证明：证明“对换的共轭仍为对换”。教学反思通过具体例子（如

）帮助学生直观理解抽象概念。强调置换的矩阵表示在计算机科学（如排列网络）中的应用。置换矩阵的线性代数背景需适当复习（如行列式的性质）。轨道分解需更多具体例子（如魔方棱块置换）。§1.4子群（4课时）教学目标掌握子群的定义与判定方法：理解子群的公理化定义，掌握有限群子群的简化判定条件。理解循环子群与元素的阶：能计算循环群中任意元素的阶，理解生成元与子群的关系。熟悉典型群的结构：掌握二面体群、交错群、四元数群的生成关系与性质。掌握陪集与拉格朗日定理：理解陪集分解的几何意义，熟练应用拉格朗日定理。教学过程1.子群的定义与判定（30分钟）定义：是子群（记为

）若满足：1.；2.；3.。判定定理：一般群：且

。有限群：只需验证封闭性（命题1.4.4）。例子：；（交错群）；魔方群中“仅转动右面”的子群。互动练习：

判断

{1,(12)(34),(13)(24),(14)(23)}

是否为的子群（Klein四元群）。2.循环子群与元素的阶（25分钟）循环子群：。例子：在中为{0,2,4}。元素的阶：最小正整数使。定理1.4.8：若

，则。应用：

计算中(1234)的阶及其幂的阶。3.典型群的结构（25分钟）二面体群

：生成元：旋转（阶）和反射（阶2），关系。几何意义：正边形的对称变换。交错群

：由所有偶置换构成，。四元数群

：生成元满足。可视化工具：

用动态对称变换动画展示（正方形对称群）。4.陪集与拉格朗日定理（30分钟）陪集定义：左陪集

，右陪集类似。几何解释：中旋转子群的陪集对应“未反射”和“已反射”两类状态。拉格朗日定理：

，推论：有限群元素的阶整除群的阶。应用示例：证明“6阶群必含3阶元”（柯西定理特例）。判断“15阶群的子群可能阶数”（1,3,5,15）。分组任务：

对的子群，列出所有左陪集并验证。教学工具与资源动态演示：二面体群对称变换（GeoGebra）、陪集分割动画。实物模型：正多边形模型展示的生成元。板书设计：左侧：子群判定条件与循环群性质；右侧：典型群结构对比表。作业与思考基础题：证明“指数为2的子群必正规”（提示：用陪集性质）。探索题：研究的所有子群。编程任务（选做）：用Python枚举的所有子群。教学反思通过几何直观（如二面体群）帮助学生抽象理解，效果显著。陪集概念需更多例子（如魔方状态分类）强化理解。下节课可引入正规子群，预告商群构造。§1.5同态（3课时）教学目标理解群同态的核心作用：掌握同态的定义与基本性质，理解其作为"群间桥梁"的意义。掌握核与正规子群的关系：能证明同态的核是正规子群，并理解其几何意义。了解自同构群的结构：区分内自同构与外自同构，理解中心在自同构中的作用。激发前沿兴趣：通过单群分类与"月光猜想"展现现代群论的魅力。教学过程1.群同态的定义与性质（30分钟）定义：映射满足关键性质：（板书推导）复合同态仍是同态实例分析：行列式（强调满同态）符号同态（结合§1.3内容）反例警示：在中不是群同态2.核与正规子群（40分钟）核的定义：互动证明：分二步验证子群验证（用判定定理）正规性：几何视角：用的旋转子群演示正规性魔方群中"只转中层"的子群是否正规？对应定理：通过理解商群3.自同构群与中心（30分钟）概念建构：：自同构构成的群（结合具体计算）：内自同构中心前沿渗透：单群分类：的简性证明思路月光猜想：展示魔群阶数≈8×10⁵³与模函数j的联系图片4.教学创新（20分钟）角色扮演活动：学生分组扮演群元素，通过"传递信息"模拟同态映射特别设计"核小组"展示正规性可视化工具：用GroupExplorer软件展示的自同构群3B1B风格动画解释同态核的"信息丢失"作业与思考基础题：验证是同态，求提升题：证明若（p为素数），则非平凡探索题：找出四元数群的所有自同构教学反思需注意区分同态与同构的直观理解，建议增加维恩图对比正规子群的概念可结合商群的几何分割强化理解对抽象证明感兴趣的学生可延伸阅读Sylow定理§1.6商群（3课时）教学目标理解商群的定义和构造方法掌握同态基本定理及其应用理解并会应用对应定理掌握循环群的结构定理理解有限交换群中子群和元素阶的性质教学过程一、商群的概念与构造（40分钟）预备知识回顾（10分钟）正规子群的定义和判别陪集和陪集空间的概念强调：只有当子群正规时，陪集空间才能构成群商群的定义（15分钟）形式化定义：运算定义：验证运算良定义的关键步骤：若，证明需要用到的正规性实例分析（15分钟）整数加群和子群对称群和子群二面体群和旋转子群二、同态基本定理（40分钟）定理陈述（5分钟）设是群同态，则定理证明（20分钟）分步骤详细推导：证明是正规子群构造映射证明是同构强调证明思路和关键步骤应用示例（15分钟）行列式映射符号同态复数模长映射三、对应定理与有限交换群（40分钟）对应定理（20分钟）定理内容：满同态诱导子群间的双射证明思路分析应用示例：考虑的典范投影有限交换群的性质（20分钟）循环群的结构定理子群存在性定理元素阶的性质应用：证明p²阶群必为交换群重点难点处理商群构造的理解使用具体例子（如）说明抽象概念强调运算良定义的重要性同态基本定理的应用通过典型例子展示定理威力比较不同证明方法的优劣对应定理的掌握用图形表示子群对应关系分析定理条件的必要性作业与思考基础练习计算的商群结构验证提高练习证明：若是循环群，则是交换群研究的所有子群结构思考题商群概念在群表示论中的作用比较不同数学结构中商对象的构造教学反思概念可视化使用陪集示意图解释商群构造用交换图表示同态基本定理历史背景介绍Noether在商群概念发展中的贡献§1.7群作用（3学时）教学目标掌握群作用的定义及典型例子理解轨道与稳定化子的概念及其关系掌握共轭作用的特点理解柯西定理的证明思路教学内容群作用的概念与例子引入（15分钟）：通过正多边形对称变换引入群作用概念展示魔方转动对魔方状态的作用（结合教材图1.1）定义讲解（20分钟）：严格定义群作用（定义1.7.1）强调群作用的两个公理：与群同态的等价性（命题1.7.3）典型例子（10分钟）：在上的自然作用在上的线性作用轨道与稳定化子轨道概念（15分钟）：定义1.7.5讲解几何解释：正二十面体的面在旋转群作用下的轨道轨道作为等价类（命题1.7.6）稳定化子（20分钟）：稳定化子的子群性质计算例子：作用于正方形顶点时的稳定化子在4元集上的稳定化子轨道-稳定化子定理（10分钟）：定理1.7.7陈述与几何解释应用：计算正十二面体的面数（|G|=60，稳定化子阶5⇒12个面）共轭作用与类方程共轭作用详解（25分钟）：定义与例子（例1.7.9）共轭类的性质：中心元素构成单点轨道在中的共轭类与置换型的关系中心化子与正规化子的区别类方程（20分钟）：推导有限群的类方程应用：证明p-群有非平凡中心柯西定理与应用柯西定理证明（30分钟）：详细讲解定理1.7.10的证明重点分析：构造集合Z/pZ在X上的作用不动点分析应用练习（15分钟）：证明3阶魔方群存在7阶和11阶元（习题3）讨论有限群中元素阶的分布教学重点与难点处理群作用的直观理解：使用Geogebra动态展示二面体群的平面作用魔方实物演示RU操作的阶数计算（联系习题1.4第10题）轨道-稳定化子定理：通过具体群（如A₄）作用计算演示对比向量空间中的轨道分解柯西定理的抽象性：用具体例子（如|G|=6）逐步构造证明中的集合X类比组合数学中的计数方法典型例题设计基础题：计算作用于{1,2,3,4,5}时元素(123)的轨道和稳定化子证明：若G作用在X上且|G|=p（素数），则轨道大小为1或p提高题：设G是pq阶群（p<q素数），用群作用证明G有正规q阶子群教学反思学生对"群作用作为广义对称变换"的理解程度轨道分解与陪集分解的类比掌握情况柯西定理证明中组合构造的接受度§1.8群直积与半直积（2课时）教学目标掌握群直积的构造方法与基本性质理解内直积的刻画方式及其应用掌握交错群的单性证明理解半直积的构造原理及其与直积的区别教学过程一、群直积的概念与性质（50分钟）外直积的定义（20分钟）形式化定义：给定群，定义直积运算规则：分量相乘基本性质：投影映射是同态包含映射ιᵢ:Gᵢ→G是单同态直积的阶内直积的刻画（20分钟）定理1.8.2：当且仅当存在子群满足：应用示例：分析Klein四元群的结构例题练习（10分钟）验证分析是否可以表示为非平凡子群的直积二、交错群的单性证明（40分钟）预备知识（10分钟）回顾的定义和生成元引理1.8.4：由3-轮换生成单性证明（25分钟）关键步骤：证明的最小正规子群只能是自身分析正规子群必包含所有3-轮换利用3-轮换生成整个强调证明的几何直观意义讨论（5分钟）解释单群在群论中的地位联系Galois理论说明单性的重要性三、半直积的构造（30分钟）定义引入（15分钟）比较直积与半直积的异同形式化定义：N⋊φH，其中运算规则：应用示例（15分钟）二面体群作为半直积分析半直积的非交换性重点难点处理直积与半直积的区别用具体例子对比说明强调半直积中作用的本质交错群单性证明分解证明为逻辑步骤用和的例子说明n≥5的必要性正规化子概念通过共轭作用理解其含义举例计算简单群中的正规化子作业与思考基础练习证明不是循环群验证不能表示为非平凡子群的直积提高练习构造一个具体的半直积并分析其结构思考题探讨直积分解在群分类中的作用研究半直积在物理学中的对称性描述教学建议可视化辅助使用Cayley图展示直积结构用对称变换演示半直积的作用历史脉络介绍直积概念的发展历程讨论半直积在现代数学中的应用第二章环论教学方案（20课时）§2.1环的概念（4课时）教学目标掌握环的公理化定义及其基本性质理解环的分类标准及典型例子掌握子环、零因子、单位等基本概念理解有限环的特殊性质教学过程一、环的定义与基本性质（50分钟）公理化定义（20分钟）三元组满足：是交换群（加法群）是半群（乘法封闭、结合律）分配律：，含幺环补充：存在乘法单位元1≠0基本性质推导（15分钟）零元性质：负元性质：特例说明（15分钟）零环：1=0的唯一环布尔环：反例：非负整数集不是环（缺加法逆元）二、环的分类与典型例子（40分钟）交换环类（20分钟）整环：无零因子的交换环（）域：非零元皆可逆的交换环（）多项式环：的结构非交换环类（20分钟）矩阵环：的非交换性除环：四元数（强调非交换性）四元数代数：一般构造三、环的特殊元素与有限环（30分钟）元素分类（15分钟）单位（可逆元）与单位群R零因子：但幂零元：存在使有限环性质（15分钟）有限整环必为域（推论2.1.18）Wedderburn小定理：有限除环必为域重点难点处理环公理的理解对比群与环的结构差异强调分配律的双向性零因子的概念用矩阵环中的例子说明对比整数环的无零因子性有限环的特殊性通过具体例子（如）分析性质解释Wedderburn定理的意义课后作业基础练习验证给定集合是否构成环（如偶数集）找出中的零因子提高练习证明布尔环必交换构造一个有9个元素的域思考题研究四元数代数的除环条件探讨环概念在编码理论中的应用教学建议在教学过程中，密切关注学生对抽象概念、性质和特点的理解程度，通过丰富的实例和深入的讨论帮助学生克服难点。及时批改作业，认真分析学生的学习情况，针对学生存在的问题进行有针对性的辅导和讲解，以便在后续教学中灵活调整教学策略，不断提高教学效果。同时，鼓励学生在学习过程中积极提问和思考，培养学生的创新思维和解决问题的能力。课堂授课，可结合以下内容提供教学效果：概念可视化用运算表展示有限环结构维恩图表示环类包含关系历史脉络介绍Hilbert引入环术语的历史讨论Noether的贡献应用联系密码学中的有限域应用四元数在计算机图形学中的作用§2.2环同态与理想（3课时）教学目标理解环同态的概念：掌握环同态的定义及其基本性质，能够判断给定的映射是否为环同态。掌握核与像的性质：熟悉环同态的核与像的结构，理解它们在环同态中的作用。理解理想的概念：掌握左理想、右理想和双边理想的定义，能够区分不同类型的理想。熟悉有限生成理想与主理想：理解有限生成理想和主理想的生成方式及其重要性。掌握理想的运算：学会理想的和、积、交等基本运算，并能够应用于具体问题。教学内容1.环同态的概念定义：设

和

为环，映射

称为环同态，如果满足：（加法群同态）。（乘法幺半群同态）。（保持乘法幺元）。例子：复共轭映射

是环同构。整数环

到任意环

的唯一环同态

，满足。2.核与像的性质核的定义：。像的定义：。性质：kerφ

是

R

的双边理想。imφ

是

S

的子环。3.理想的概念定义：左理想：子集

I⊆R

满足(I,+)

是加法子群，且∀r∈R,∀a∈I，有

ra∈I。右理想：类似定义，要求ar∈I。双边理想：既是左理想又是右理想。例子：整数环

中，

是双边理想。矩阵环

Mn(F)

中，全体上三角矩阵构成子环，但不是理想。4.有限生成理想与主理想有限生成理想：由有限个元素生成的理想，记作

I=(a1,a2,…,an)。主理想：由一个元素生成的理想，记作

I=(a)。例子：在

中，。在高斯整数环

中，

是主理想。5.理想的运算和：I+J={a+b∣a∈I,b∈J}。积：IJ

是由所有形如

ab（a∈I,b∈J）的元素生成的理想。交：I∩J

是

II

和

JJ

的交集。例子：在

中，(2)+(3)=，(2)∩(3)=(6)。教学重点与难点重点：环同态的定义及其核与像的性质。理想的概念及其分类（左、右、双边理想）。有限生成理想与主理想的生成方式。理想的和、积、交运算。难点：区分左理想、右理想和双边理想。理解有限生成理想与主理想的生成过程。理想运算的具体计算与应用。课后习题证明环同态的核是双边理想。设

是环同态，证明

imφ

是

S

的子环。在

中，验证

是理想，并说明它是否是主理想。设

II

和

JJ

是环

R

的理想，证明

I+J

也是理想。举例说明左理想不一定是右理想。教学反思本节介绍了环同态与理想的基本概念，重点讲解了环同态的核与像、理想的分类及其运算。通过具体例子和习题，帮助学生掌握这些抽象概念的实际应用。§2.3商环与积环（4课时）教学目标理解商环的构造方法及其运算规则掌握环同态基本定理的内容和应用理解环特征的概念及其性质掌握积环的构造方法和基本性质理解幂等元的定义及其在环分解中的作用掌握中国剩余定理的内容和应用教学内容商环的构造（30分钟）回顾理想的概念定义商集定义商环上的加法和乘法运算：(a+I)+(b+I)=(a+b)+I(a+I)(b+I)=ab+I验证运算的良定义性例题：计算中的运算环同态基本定理（25分钟）定理陈述：设是环同态，则.证明思路分析应用举例：证明.环的特征（15分钟）定义：使得n·1=0的最小正整数n性质：整环的特征为0或素数例题：求的特征积环的构造（20分钟）定义有限个环的直积定义无限个环的直积运算规则：按分量进行性质：投影映射是同态幂等元与环分解（25分钟）定义：的元素称为幂等元中心幂等元的性质定理：交换环可分解为直积的充要条件例题：在中找幂等元中国剩余定理（30分钟）定理陈述：设是两两互素的理想，则.证明思路应用举例：解同余方程组教学重点与难点重点：商环的构造与运算环同态基本定理中国剩余定理难点：商环乘法运算的良定义性幂等元与环分解的关系中国剩余定理的证明思路课后作业证明求的所有幂等元用中国剩余定理求解同余方程组：

x≡1mod3

x≡2mod5

x≡3mod7设，求R的特征教学反思注意强调商环乘法运算的良定义性通过具体例子帮助学生理解抽象概念中国剩余定理的证明可以分步骤讲解幂等元的概念需要足够的例题支撑§2.4交换环（3课时）教学目标掌握交换环上多项式环的基本构造和性质理解多项式根的概念及其与整除的关系掌握域上有限乘法子群的性质理解多项式函数与多项式形式的区别掌握主理想整环的概念和典型例子了解代数整数环的基本概念教学内容交换环上的多项式环（30分钟）定义：R[X]的形式构造次数定义及运算性质例题：在中计算(2X+1)(X-3)域上多项式的性质（40分钟）带余除法算法根与线性因子的关系根的个数定理例题：求中X³-2的根域的有限乘法子群（20分钟）定理：域的有限乘法子群是循环群原根的概念应用：有限域的乘法结构多项式函数与多项式（20分钟）区分形式多项式与多项式函数例题：在上比较X³和X主理想整环（30分钟）定义和例子（，F[X]）最大公因子的存在性不可约元与素元的关系例题：证明不是主理想整环代数整数环（20分钟）代数整数的定义例子：，基本性质讨论教学重点与难点重点：域上多项式环的带余除法多项式根的性质主理想整环的特征难点：多项式函数与形式多项式的区分有限乘法子群循环性的证明代数整数环的构造课后作业在用带余除法求(X⁴+1)除以(X²+1)证明X²+1在中无根找出的乘法子群的所有生成元证明不是主理想整环验证是中的单位§2.5唯一分解性（4课时）教学目标掌握唯一分解整环的定义和基本性质理解不可约元与素元的区别与联系熟悉素理想和极大理想的概念及其判别方法掌握多项式根的构造方法（克罗内克定理）理解诺特环与升链条件的关系了解高斯猜想等前沿问题教学内容唯一分解整环（40分钟）定义：元素的唯一分解性不可约元与素元的定义定理：在UFD中不可约元等价于素元反例：中的分解理想理论（40分钟）素理想的定义与商环性质极大理想的定义与商环性质关系：极大理想必是素理想例题：求中的素理想多项式根的构造（30分钟）克罗内克定理的内容构造性证明思路应用：从构造诺特环理论（30分钟）升链条件的定义定理：UFD的等价刻画主理想整环的性质应用：证明不是主理想整环专题讨论（20分钟）高斯猜想简介二次域类数问题现代研究进展教学重点与难点重点：唯一分解整环的等价刻画素理想与极大理想的判别主理想整环的唯一分解性难点：不可约元与素元的区分克罗内克定理的构造性证明课后作业证明不是UFD找出中包含(2,X)的极大理想证明主理想整环满足升链条件调研报告：高斯猜想的研究现状教学反思分解不唯一的例子要足够典型理想理论的几何解释可辅助理解构造性证明需要分步演示前沿问题要控制深度和广度§2.6分式域与局部化（2课时）教学目标掌握分式域的构造方法及其泛性质理解局部化的构造过程及其意义熟悉素谱的基本概念掌握素理想在局部化下的对应关系能够计算典型环的分式域和局部化教学内容分式域的构造（45分钟）动机：从整数到有理数的推广形式构造：(a,b)~(c,d)⇔ad=bc运算定义：(a,b)+(c,d)=(ad+bc,bd)泛性质：整环到域的最小的扩张例子：局部化的概念（50分钟）乘性子集的定义局部化构造：S⁻¹R特殊情形：S=R\P（在素理想处局部化）S={fⁿ}（在多项式处局部化）例子：的构造的结构素谱与局部化（40分钟）Spec(R)的定义素理想对应定理：Spec(S⁻¹R)↔{P∈Spec(R)|P∩S=∅}几何解释：仿射概形的开子集例子：Spec()的局部化应用与讨论（25分钟）数论中的局部-整体原则非交换情形的困难教学重点与难点重点：分式域的等价构造方法局部化的具体构造步骤素理想在局部化下的行为难点：局部化中等价关系的理解素理想对应的几何解释非交换情形的推广困难课后作业1.构造并分析其性质2.计算的分式域3.画出Spec()的示意图教学反思需要加强几何直观与代数构造的联系局部化的等价关系需要更多例子说明可增加计算机代数系统的演示环节注意区分交换与非交换情形的差第三章域与伽罗瓦理论教案（11课时）3.1域的扩张（3课时）教学目标掌握域扩张的基本概念和分类方法理解有限扩张、单扩张和代数扩张的定义及相互关系熟练运用扩张次数的乘法公式能够用域论解释经典尺规作图问题的不可能性培养将抽象代数与几何问题联系的能力教学内容基本概念（30分钟）域扩张的定义：K≤L扩张次数[L:K]的定义有限扩张vs无限扩张单扩张的构造扩张类型（40分钟）代数元与超越元的定义代数扩张的性质定理：有限扩张必是代数扩张