重难点06 四边形综合应用题型总结（平行四边形综合应用、菱形综合应用、矩形综合应用、正方形综合应用）（原卷版）

重难点06四边形综合应用题型总结（平行四边形综合应用、菱形综合应用、矩形综合应用、正方形综合应用）题型解读｜模型构建｜真题强化训练｜模拟通关试练本专题主要通过上一专题三角形知识的学习路径，类比学习平行四边形，构建知识树；掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的定义、性质和判定。清楚平行四边形、特殊平行四边形（矩形、菱形、正方形）的特征以及彼此之间的关系。经历从平行四边形到矩形、菱形、正方形的研究过程，体验“从一般到特殊”的研究方法；通过猜想、验证、归纳的过程，掌握矩形、菱形、正方形的性质定理，感悟类比思想；在考试中能利用它们的性质和判定进行推理和计算，提高主动探究的习惯和意识。模型01平行四边形综合应用考｜向｜预｜测平行四边形的性质与判定该题型主要以选择、填空形式出现，难度系数不大，在各类考试中得分率较高。掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的定义、性质和判定。清楚平行四边形、特殊平行四边形（矩形、菱形、正方形）的特征以及彼此之间的关系。能用平行四边形的判定定理和性质定理进行几何证明和计算是考试的重点。答｜题｜技｜巧1.认真分析题目，理解题意；2.根据题意，利用平行四边形的判定定理和性质定理进行几何证明和计算；3.注意是否引入其它知识点，例如三角形、平面直角坐标系、函数等；4.利用相关的性质和判定进行推理和计算。1．如图，将平行四边形ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在点E处．若∠1=56°，∠2=40°，则∠A的度数为（

）

A．68° B．70° C．110° D．112°1．下列四个命题中，假命题是（

）A．顺次连接四边形各边中点得到的四边形是平行四边形B．对角线平分一组对角的平行四边形是菱形C．对角线互相平分且垂直的四边形是矩形D．一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形2．如图所示，在平行四边形中，对角线，相交于点，，若，，则的长为（

）A． B． C． D．3．如图，在平行四边形中，对角线相交于点为的四等分点，为的中点．若，则的长是（

）A．8 B．10 C．14 D．164．如图，已知平行四边形．(1)尺规作图：请用无刻度的直尺和圆规作出的平分线．（要求：不写作法，保留作图痕迹）(2)E为上一点，设（1）中的平分线交于点F，连接，若，判断四边形的形状，并说明理由．5．如图，与的边，在同一条直线上，，且，求证：四边形是平行四边形．6．如图，在中，点，分别是，的中点，且于，于．求证：(1)；(2)四边形是平行四边形．模型02菱形综合应用考｜向｜预｜测菱形的性质与判定该题型主要是在综合性大题中考试较多，一般情况下出现在与圆结合或者利用相似求长度、类比探究题型，具有一定的综合性和难度。掌握菱形的性质与判定，菱形的面积公式，及一些特殊的菱形是解答本题的关键。注意菱形与平行四边形的区别，菱形与正方形的联系与区别，利用数形结合及方程的思想解题。答｜题｜技｜巧理解题意；根据题意，利用菱形的判定定理和性质定理进行几何证明和计算；注意菱形面积的求解，菱形与动点问题、圆及平面直角坐标系的结合；利用相关的性质和判定进行推理和计算。1．（2023·湖南）如图，菱形中，连接，若，则的度数为（

）

A． B． C． D．1．如图，在菱形中，于点E，，则菱形的周长是（）A．6 B．8 C．10 D．122．如图，是四边形的对角线，点分别是的中点，点分别是的中点．下列说法中不正确的是（

）A．四边形一定是平行四边形B．若，则四边形是矩形C．若，则四边形是菱形D．若，则四边形是矩形3．如图，四边形是菱形，，，则点C的坐标为（

）A． B． C． D．4．如图，在中，F是的中点，E是线段的延长线上一动点，连接，过点C作，与线段的延长线交于点D，连接．(1)求证：四边形是平行四边形．(2)若，则在点E的运动过程中，①当为何值时，四边形是矩形；②当为何值时，四边形是菱形．5．（1）【提出问题】数学课上，老师提出问题：如图1，在等腰中，，点E在边上，以为边作正方形，点F在边上，连接，点P为线段的中点，连接．以点P为对称中心，画出关于点P对称的图形，并直接写出与的位置及大小关系_____；（2）【类比探究】在等边中，D、E分别是边上一点，且，以、为邻边作菱形，再将菱形绕C点顺时针旋转一定角度后得到新的菱形如图2，连接，点P为线段的中点，连接、，判断与的位置及大小关系，并证明你的结论；（3）【迁移运用】在（2）的条件下，若，，菱形在旋转过程中，当最小时，直接写出的值_________．模型03矩形综合应用考｜向｜预｜测矩形的性质与判定该题型近年主要以填空及综合性大题的形式出现，一般属于多解型问题，难度系数较大。矩形或其它特殊平行四边形的折叠问题注意折叠前后对应边相等、对应角相等，在多解题型中，准确画出折叠后的图形是我们解题的关键。结合矩形的相关性质及判定定理与推论和其它几何的相关知识点进行解题。答｜题｜技｜巧1.确定试题考点方向，折叠、旋转、判定等；2.应用矩形相关的性质与判定进行解题；3.注意矩形的折叠、旋转、矩形与坐标系结合等题型的解法；4.进行相关计算解决问题.1.（2023•安徽）如图，在矩形ABCD中，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为E、F．求证：AF＝CE．1．如图，矩形中，为中点，连接．点为点关于的对称点，连接，，．设，的面积为，则与的函数图象大致为（

）A．B． C． D．2．如图，矩形中，是边上一动点，，，若，那么的长度为（

）A． B． C． D．3．如图，在矩形中，，点分别在边上，将矩形沿折叠，得到四边形，且点恰好为边的中点，则的长为（

）A． B． C． D．4．已知，矩形中，点为边上一点．

(1)如图1，将沿直线翻折，点落在点处，当，且时，求的度数；(2)如图2，将沿直线翻折，点落在点处，连接，，若，且平分，判断的形状，并证明；(3)如图3，点为上一点，将沿直线翻折，点落在点处，若，，且，直接写出的最短距离．5．如图，在中，过点D作于点E，点F在边上，，连接．(1)求证：四边形是矩形；(2)已知，平分，若，求的长度．模型04正方形综合应用考｜向｜预｜测正方形的性质与判定该题型主要以解答题的形式出现，综合性较强，有一定难度，本专题重点分析正方形与平面直角坐标系相结合、正方形的折叠等题型。结合各类模型展示旋转中的变与不变，并结合经典例题和专项训练深度分析基本图形和归纳主要步骤，同时规范了解题步骤，提高数学的综合解题能力。答｜题｜技｜巧1.确定正方形所考查知识点；2.利用正方形的特殊性分析题目信息，根据已知条件得出相关结论；3.结合各类模型中解题技巧和方法，综合运用；4.结合其它几何的相关知识点进行解题；1．（2023•湖南）如图，点、为正方形边的点，，点、分别为线段、的中点，连接，若，，则的长为．1．如图是我国古代著名的赵爽弦图的示意图，其由四个全等的直角三角形拼接成一个正方形，其中，连结，若，则正方形的边长是（

）A． B．2 C． D．2．如图，点是正方形的边上一点，把绕点顺时针旋转到的位置．若四边形的面积为，，则的长为（

）A．6 B． C．8 D．3．小曼和他的同学组成了“爱琢磨”学习小组，有一次，他们碰到这样一道题：“已知正方形，点E、F、G、H分别在边上，若，则．”为了解决这个问题，经过思考，大家给出了以下两个方案：方案一：过点A作交于点M，过点B作交于点N；方案二：过点A作交于点M，过点A作交边的延长线于点N．…(1)对小曼遇到的问题，请在两个方案中任选一个加以证明（如图（1））．(2)如果把条件中的“正方形”改为“长方形”，并设（如图（2）），试探究之间有怎样的数量关系，并证明你的结论．(3)如果把条件中的“”改为“与的夹角为”，并假设正方形的边长为2，的长为（如图（3）），试求的长度．4．点是正方形所在平面内一点．(1)如图，若为边上一点，为延长线上一点，且，判断与之间的关系，说明理由；(2)如图，若点在边下方，当时，过点作的垂线交的延长线于点，猜想线段，，之间的数量关系，并证明；(3)在（）的条件下，连接，延长交于点.当，时，求的面积．5．已知正方形中，，点是正方形内动点，且始终保持．(1)如图1，绕顺时针旋转得，请在图中画出并求的长；(2)在（1）的条件下，如图2，当、、三点共线时，求的度数及的长；(3)在（1）的条件下，是否存在某时刻使得，请求出的长；若不存在，请说明理由．1．如图，在平行四边形中，，．按下列步骤作图：①以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点；②分别以点为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点；③连接并延长交于点．则的长是（

）A． B． C． D．2．如图，点是平行四边形内一点，与轴平行，与轴平行，，．若反比例函数的图象经过、两点，则的值是（

）A．3 B．6 C． D．123．如图，将菱形纸片折叠，使点落在边的点处，折痕为，若，为的中点，，则四边形的面积是（

）A． B． C． D．4．如图（1），在正方形中，点是对角线上一动点，点是上的点，且．设，，已知与之间的函数关系图象如图（2）所示，点是图象的最低点，那么的值为（

）A． B． C． D．5．如图，是的外接圆，是的直径，点D在上，，过点D作的切线并交的延长线于点E，且．(1)求证：四边形是平行四边形；(2)，求的长．6．如图，在正方形中，为对角线上一点（不与、重合），连接，过点作交边于点，连接、．(1)判断的形状，并说明理由；(2)若，直接写出的取值范围是________；(3)延长交射线于点，请将图形补充完整，猜想线段和线段的数量关系，并说明理由．7．综合与实践在综合实践课上，老师组织同学们以“图形的旋转”为主题开展数学活动，下面是同学们进行相关问题的研究：如图1，已知△ABC是等腰直角三角形，，点D是的中点，作正方形，使点A，C分别在和上，连接，．(1)试猜想线段与的关系为；(2)将正方形绕点D逆时针方向旋转一定角度（旋转角度大于，小于或等于）．如图2，在旋转过程中，请判断（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请予以证明；如果不成立，请说明理由；(3)若，．①将正方形绕点Ｄ逆时针方向旋转到如图3位置，即A、B、G三点在一条直线上，且点B在A、G之间，求的长；②在图2中，若，过点G作中边的高线，与的延长线交于点P，请直接写出的长．1．如图，矩形的对角线相交于点，点分别是边上的点，且．若，，则的值是（

）A． B． C． D．2．如图，是矩形的对角线，是边上的中点，连接，于点，连接，分析下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个3．如图，在正方形中，E，F是对角线上两点，，的延长线分别交于点G，H，则的值为（

）A． B． C． D．3．如图，在边长为3的正方形的外侧，作等腰三角形，．若F为的中点，连接并延长，与相交于点G，则的长为（

）A． B．4 C． D．4．【问题初探】（1）李老师给出如下问题：如图1，在平行四边形中，，且，点E是的中点，点F为对角线上的点，且，连接线段，若，求的长．小鹏同学考虑到点E是的中点，从中点的角度思考，想办法构造另一个中点，从而形成中位线，所以想到连接，与交于点O．请你利用李老师的提示，帮助小鹏同学解决这个问题．【类比拓展】李老师为了帮助学生更好地感悟中点的解题策略，李老师提出了下面问题，请你解答．（2）如图2，在中，平分，过点A作延长线的垂线，垂足为点D，，求证：．【学以致用】（3）如图3，在中，，点D在上，，点E，F分别是，的中点，连接并延长，与的延长线交于点G，连接，若，求证：．5．如图，菱形的对角线与相交于点，的中点为，连接并延长至点，使得，连接，．(1)求证：四边形是矩形；(2)若，，求菱形的面积．6．如图，菱形的边长为5，，，垂足分别为点，连接，已知．(1)