人教A版高一（上）数学必修第一册2.1等式性质与不等式性质【教学设计】

第第页人教A版高一（上）数学必修第一册2.1等式性质与不等式性质教学设计课题2.1等式与不等式性质课型新授课课时2学习目标能从情境中抽象出不等关系，并能写出相应的不等式(组)，发展数学抽象素养.理解两个实数大小关系的基本事实，体会其蕴含的数学思想方法，并能用基本事实作为理论支撑去比较两个代数式的大小.经历重要不等式a2学习重点掌握不等式性质及其应用．学习难点不等式性质的应用．学情分析学生在初中已经学习过等式与不等式，具备了一定的基础。等式性质与不等式性质是高中数学的主要内容之一，在高中数学中占有重要地位，它是刻画现实世界中量与量之间关系的有效数学模型，在现实生活中有着广泛的应，有着重要的实际意义.同时等式性质与不等式性质也为学生以后顺利学习基本不等式起到重要的铺垫.核心知识两个实数大小关系的基本事实的理解与运用不等式性质及其应用重要不等式的证明及其运用教学内容及教师活动设计（含情景设计、问题设计、学生活动设计等内容）教师个人复备一、情境引入问题1：生活中，我们经常在路上或桥上看到下列标志，你知道它们的含义吗？你能用一个数学式子表示下列关系吗？提示：①最低限速.②限制质量.③限制高度.④限制宽度.⑤通行时间.在数学中，我们用不等式来表示不等关系：二、探索新知问题1你能用不等式或不等式组表示下列问题中的不等关系吗？（1）某路段限速40km/h；（2）某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f应不少于2.5%，蛋白质的含量p应不少于2.3%；（3）三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；（4）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．对于（1），设在该路段行驶的汽车的速度为vkm/h，“限速40km/h”，就是v的大小不能超过40，于是．对于（2），由题意，得．对于（3），设的三条边为，则，．对于（4），如图2.1-1，设是线段外的任意一点，垂直于，垂足为，是线段上不同于的任意一点，则．以上我们根据实际问题所蕴含的不等关系抽象出了不等式．接着，就可以用不等式研究相应的问题了．问题2某种杂志以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本．据市场调查，杂志的单价每提高0.1元，销售量就可能减少2000本．如何定价才能使提价后的销售总收入不低于20万元？设提价后每本杂志的定价为元，则销售总收入为万元．于是，不等关系“销售总收入不低于20万元”可以用不等式表示为①求出不等式①的解集，就能知道满足条件的杂志的定价范围．如何解不等式①呢？与解方程要用等式的性质一样，解不等式要用不等式的性质．为此，我们需要先研究不等式的性质．关于实数大小的比较，有以下基本事实：如果a−b是正数，那么a>b；如果a−b等于0，那么a=b；如果a−b是负数，那么a<b．反过来也对．这个基本事实可以表示为：从上述基本事实可知，要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小．0是正数与负数的分界点，它为实数比较大小提供了“标杆”.等式性质与不等式性质图2.1-3是在北京召开的第24届国际数学大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客．你能在这个图中找出一些相等关系和不等关系吗？你能比较大正方形ABCD与四个相同的直角三角形的面积之和的大小吗？从中你能得出哪个不等式？它们之间有可能相等吗？如果相等，则应该满足什么条件呢？提示设直角三角形的两条直角边的长为a，b(a≠b)，则正方形的边长为a2+b2.这4个直角三角形的面积和为2ab，正方形的面积为a2当直角三角形变为等腰直角三角形，即a＝b时，正方形EFGH缩为一个点，这时有a2于是就有a2你能证明得到的不等式吗？一般地，，有，当且仅当时，等号成立．事实上，利用完全平方公式，得．因为，，当且仅当时，等号成立，所以．因此，由两个实数大小关系的基本事实，得，当且仅当时，等号成立．将图2.1-3中的“风车”抽象成图2.1-4．在正方形中有4个全等的直角三角形．设直角三角形的两条直角边的长为，那么正方形的边长为．这样，4个直角三角形的面积和为，正方形的面积为．由于正方形的面积大于4个直角三角形的面积和，我们就得到了一个不等式．当直角三角形变为等腰直角三角形，即时，正方形缩为一个点，这时有．于是就有.三、应用新知例1比较和的大小．分析：通过考查这两个多项式的差与0的大小关系，可以得出它们的大小关系．解：因为，所以．这里，我们借助多项式减法运算，得出了一个明显大于0的数（式）．这是解决不等式问题的常用方法．反思感悟作差法比较两个实数大小的基本步骤【变式】已知，比较与的大小.

【解析】因为

因为，所以，所以，

所以a3+b3≥ab2+a2b.

【练习1】用一段长为的篱笆围成一个一遍靠墙的矩形菜园，墙长，要求菜园的面积不小于100m2，靠墙的一边长为xm.试用不等式表示其中的不等关系.

【解析】由于矩形菜园靠墙的一边长为xm，而墙长为，

这时菜园的另一条边长为.

因此菜园的面积，依题意有S≥【练习2】已知，求证：≥2.【证明】方法一：利用a2+b∴a+1a=∴反思感悟在不等式的证明过程中，常将不等式中的字母作适当的代换，转换为重要不等式的形式，呈现其内在结构的本质．四、总结新知不等式与不等关系用不等式表示不等关系，注意文字语言与符号语言之间的转化．比较两个实数大小关系的依据作差比较法作差→变形→判断符号→作出结论重要不等式五、探究新知关于两个实数大小关系的基本事实为研究不等式的性质奠定了基础．那么，不等式到底有哪些性质呢？因为不等式与等式一样，都是对大小关系的刻画，所以我们可以从等式的性质及其研究中获得启发．思考请你先梳理等式的基本性质，再观察它们的共性．你能归纳一下发现等式基本性质的方法吗？等式有下面的基本性质：性质1如果，那么；性质2如果，，那么；性质3如果，那么；性质4如果，那么；性质5如果，，那么．问题：类比等式的性质，你可以猜想不等式的基本性质，并加以证明吗？性质1如果，那么；如果，那么．即．性质2如果，，那么．即，．证明：．性质3如果，那么．问题：你能从其他角度描述这个不等式的性质吗？如图，把数轴上的两个点与同时沿相同方向移动相等的距离，得到另两个点与，与的左右位置关系不会改变．用不等式的语言表示，就是．根据性质3可以得出，．也就是不等式中任何一项可以改变符号后移到不等号的另一边．性质4如果，，那么；如果，，那么．这就是说，不等式两边同乘一个正数，所得不等式与原不等式同向；不等式两边同乘一个负数，所得不等式与原不等式反向．利用性质2，3可以推出：性质5如果，，那么．事实上，由和性质3，得；由和性质3，得．再根据性质2，即得．利用性质4和性质2可以推出：性质6如果，，那么．性质7如果，那么（）．实数大小关系的基本事实和不等式的性质是解决不等式问题的基本依据．注意点：(1)若，则；若，则.(2)不等式只有加法和乘法运算，没有减法和除法运算.六、应用新知例1证明不等式性质1，3，4，6.证明：性质1的证明：由a>b，可得a−b>0.所以−(a−b)<0即b−a<0，所以b<a.性质3的证明：由a>b，可得a−b>0，于是(a+c)−(b+c)=0，所以a+c>b+c.性质4的证明：由a>b，可得a−b>0，因为同号相乘得正，负号相乘得负，所以由c>0，可得c(a−b)>0，即ac−bc>0，所以ac>bc，由c<0，可得c(a−b)<0，即ac−bc<0，所以ac<bc.性质6的证明：由a>b，c>0，可得ac>bc；由c>d，b>0，可得bc>bd，所以ac>bd.例2用不等号“>”或“<”填空：（1）如果a>b，c<d，那么a−cb−d；如果a>b>0，c<d<0，那么acbd；（3）如果a>b>0，那么1a2（4）如果a>b>c>0，那么cac解析：（1）>（2）<（3）<（4）<例3对于实数a，b，c有下列结论：①若a>b，则ac<bc；②若ac2>b③若a<b<0，则a2④若c>a>b>0，则ac−a>bc−b；

⑤若a>b，1a其中正确结论的有____________．解析：对于①，当c=0时，ac=bc，故①为假命题；对于②，ac2>bc2，得c≠0对于③，由a<b<0，则a2>ab，且ab>对于④，由c>a>b>0，得ca<c