2025年大学《数学与应用数学》专业题库- 图论与网络分析的研究

2025年大学《数学与应用数学》专业题库——图论与网络分析的研究考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、填空题（每空3分，共15分）1.一个具有n个顶点的连通无向图中，至少有________条边。一个具有n个顶点的无向图，其邻接矩阵是一个________矩阵。2.设无向图G=(V,E)，|V|=6,|E|=10。若G是欧拉图，则G中欧拉回路的长度为________。若G是哈密顿图，则G中哈密顿回路的长度为________。3.Prim算法和Kruskal算法都是用于求解无向连通图的最小生成树的算法。Prim算法适用于边稀疏的图，通常使用________来实现；Kruskal算法适用于边稠密的图，通常使用________来实现。4.在有向图G=(V,A)中，如果从顶点u到顶点v存在一条有向路径，则称u是v的________，v是u的________。5.设网络N=(V,A,C)中，|V|=6，|A|=10。若N的最大流量为30，根据最大流最小割定理，N中至少存在一个割集S，使得|{(u,v)∈A|u∈S,v∈S^}|=________。二、选择题（每题3分，共15分）1.下列关于树的说法中，错误的是：A.树是连通且无圈的无向图。B.树的任意两个顶点之间都存在唯一的一条路径。C.树的顶点数n和边数e之间满足关系n=e+1。D.任何一棵非平凡的树至少有两个度数为1的顶点。2.对于有向图G=(V,A)，如果从任意顶点u∈V到任意顶点v∈V（u≠v）都存在一条有向路径，则称G是：A.强连通图。B.弱连通图。C.半连通图。D.不连通图。3.Dijkstra算法用于求解有向带权图中，从源点s到所有其他顶点的：A.最长路径长度。B.短路长度。C.最小路径长度。D.平均路径长度。4.在Ford-Fulkerson算法中，用于寻找增广路径的搜索方法通常是：A.深度优先搜索（DFS）。B.广度优先搜索（BFS）。C.并行搜索。D.随机搜索。5.下列图论问题中，属于NP完全问题的是：A.最小生成树问题。B.最短路径问题。C.判定一个图是否是哈密顿图。D.判定一个图是否是连通图。三、判断题（每题2分，共10分，请在题后括号内打√或×）1.任何无向图的最小生成树都是唯一的。（）2.如果一个无向图是欧拉图，那么它一定包含一条欧拉回路。（）3.如果一个有向图是强连通的，那么它也是弱连通的。（）4.Floyd-Warshall算法能够求解有向带权图中任意两个顶点之间的最短路径。（）5.在网络流问题中，增广路径上的瓶颈容量就是该路径能够增加的最大流量。（）四、计算题（每题8分，共32分）1.给定无向图G的邻接矩阵如下：```v0v1v2v3v00101v11010v20101v31010```（1）画出该图G。（2）求图G的一棵最小生成树，请给出构造过程（Prim算法或Kruskal算法）。2.给定有向带权图G=(V,A)如下，其中V={v0,v1,v2,v3}，A包含以下边及其权重（<u,v,w>表示从u到v的边权重为w）：A={<v0,v1,4>,<v0,v2,1>,<v1,v2,2>,<v1,v3,1>,<v2,v3,3>}（1）使用Dijkstra算法求从源点v0到所有其他顶点的最短路径长度。（2）写出算法执行过程中，得到的最短路径长度集合dist和已确定最短路径的顶点集合S的变化情况（只需记录关键步骤）。3.给定网络N=(V,A,C)，其中V={s,a,b,t},A包含以下边及其容量（<u,v,c>表示从u到v的边的容量为c）：A={<s,a,10>,<s,b,5>,<a,b,2>,<a,t,10>,<b,t,10>}（1）画出该网络N。（2）使用Ford-Fulkerson算法求网络N的最大流量，请给出至少一个增广路径的寻找过程和相应的流量调整过程。4.给定有向图G=(V,A)，其中V={v0,v1,v2,v3,v4},A包含以下边：A={<v0,v1>,<v0,v2>,<v1,v3>,<v2,v3>,<v3,v4>,<v4,v0>}（1）画出该图G。（2）判断图G是否是强连通图。如果是，请给出一个强连通分量；如果不是，请说明理由，并找出所有强连通分量。五、证明题（每题10分，共20分）1.证明：任何无向连通图至少包含n-1条边，其中n是图的顶点数。2.证明：如果无向图G是哈密顿图，那么对于G中任意两个不相邻的顶点u和v，G-u和G-v都包含哈密顿回路（其中G-u表示从G中删除顶点u及其关联的所有边得到的图）。---试卷答案一、填空题1.n-1;零一2.|E|+1;n3.优先队列;并查集4.前驱;后继5.4二、选择题1.D2.A3.C4.B5.C三、判断题1.×2.√3.√4.√5.√四、计算题1.（1）画出的图G如下（顶点标为v0,v1,v2,v3）：```v0---v1|/||/||/|1v3---v2```（2）使用Prim算法（以v0为起始点）构造最小生成树过程：*初始化：U={v0},V-U={v1,v2,v3},最小生成树边集T={}。*在边集{(u∈U,v∈V-U)|<u,v>∈E}中选最小权重边：边<v0,v2>(权重1)。U={v0,v2},V-U={v1,v3},T={<v0,v2>}.*在边集{(u∈U,v∈V-U)|<u,v>∈E}中选最小权重边：边<v0,v1>(权重1)。U={v0,v1,v2},V-U={v3},T={<v0,v2>,<v0,v1>}.*在边集{(u∈U,v∈V-U)|<u,v>∈E}中选最小权重边：边<v2,v3>(权重1)。U={v0,v1,v2,v3},V-U={},T={<v0,v2>,<v0,v1>,<v2,v3>}.*结束。得到一棵最小生成树，边集为{T={<v0,v2>,<v0,v1>,<v2,v3>}}，总权重为1+1+1=3。（注：使用Kruskal算法构造过程类似，最终得到的最小生成树边集可能不同，但总权重相同）。2.（1）使用Dijkstra算法求从v0到所有顶点的最短路径长度（假设图中不存在负权重边）：*初始化：dist={d(v0)=0,d(v1)=∞,d(v2)=∞,d(v3)=∞}，S={v0}。*考虑v0的邻接点v1,v2：选择d(v2)=1最小。u=v2。dist={d(v0)=0,d(v1)=∞,d(v2)=1,d(v3)=∞}，S={v0,v2}。*考虑v2的邻接点v1,v3：选择d(v1)=2（d(v1)更新为min(∞,1+2)=2）。u=v1。dist={d(v0)=0,d(v1)=2,d(v2)=1,d(v3)=∞}，S={v0,v2,v1}。*考虑v1的邻接点v2,v3：选择d(v3)=1（d(v3)更新为min(∞,2+1)=3）。u=v3。dist={d(v0)=0,d(v1)=2,d(v2)=1,d(v3)=3}，S={v0,v2,v1,v3}。*考虑v3的邻接点v1（v0已在S中）：无需更新。u=v1（下一个未确定顶点）。dist不变，S={v0,v2,v1,v3}。*所有顶点已在S中，算法结束。最短路径长度为：dist(v1)=2,dist(v2)=1,dist(v3)=3。（2）关键步骤变化记录：*初始：dist={0,∞,∞,∞},S={v0}。*扩展v2：dist={0,∞,1,∞},S={v0,v2}。*扩展v1：dist={0,2,1,∞},S={v0,v2,v1}。*扩展v3：dist={0,2,1,3},S={v0,v2,v1,v3}。*结束。3.（1）画出的网络N如下（顶点标为s,a,b,t，边旁标注容量）：```s---a(10)|/||/||/|5b---t(10)\/|\/|10a(2)```（2）使用Ford-Fulkerson算法求最大流量：*初始流量f=0，所有边流量为0。寻找增广路径P1：s->a->t(残容量分别为10,10)。瓶颈容量c_P1=min(10,10)=10。调整流量：f=f+c_P1=10。更新残容量：边(s,a)为0，边(a,t)为0。边(a,s)为10，边(t,a)为10。网络变为：```s---a(0/10)|/||/||/|5b---t(10)\/|\/|10a(2)```*寻找增广路径P2：s->b->t(残容量分别为5,10)。瓶颈容量c_P2=min(5,10)=5。调整流量：f=10+5=15。更新残容量：边(s,b)为0，边(b,t)为5。边(b,s)为5，边(t,b)为5。网络变为：```s---a(0/10)|/||/||/|0/5b---t(10/5)\/|\/|10a(2)```*寻找增广路径P3：s->a->b(残容量分别为10,5)。瓶颈容量c_P3=min(10,5)=5。调整流量：f=15+5=20。更新残容量：边(s,a)为5，边(a,b)为0。边(a,s)为15,边(b,a)为5。边(b,s)为0,边(t,b)为10。网络变为：```s---a(5/10)|/||/||/|0/5b---t(10/5)\/|\/|10a(2)```*寻找增广路径P4：s->a->t(残容量分别为5,5)。瓶颈容量c_P4=min(5,5)=5。调整流量：f=20+5=25。更新残容量：边(s,a)为0，边(a,t)为0。边(a,s)为20,边(t,a)为10。边(a,b)为5，边(b,a)为5。边(b,s)为0,边(t,b)为10。网络变为：```s---a(0/5)|/||/||/|0/5b---t(10/5)\/|\/|10a(2)```*无法找到更多增广路径（s到t的路径被阻断）。算法结束。最大流量为25。4.（1）画出的图G如下（顶点标为v0,v1,v2,v3,v4）：```v0->v1^||vvv2->v3->v4->v0```（2）判断强连通性：*检查是否存在从每个顶点到其他所有顶点的有向路径：*从v0：能到v1,v2，不能到v3,v4。*从v1：能到v0,v2,v3，不能到v4。*从v2：能到v0,v1,v3,v4。*从v3：能到v0,v1,v2,v4。*从v4：能到v0,v1,v2,v3。*由于存在顶点（如v0）无法到达所有其他顶点，图G不是强连通图。*找出所有强连通分量：*强连通分量1：{v2,v3,v4}。在这个子图中，每个顶点都可以到达其他两个顶点。*强连通分量2：{v0,v1}。在这个子图中，v0可以到达v1，v1可以到达v0。*（注：{v0,v1}也是一个强连通分量）。五、证明题1.证明：设无向连通图G=(V,E)，|V|=n。要证明G至少有n-1条边。*反证法：假设G的边数e<n-1。*考虑从G中删除任意一条边e。由于G是连通的，删除一条边后，剩下的图G'仍然是连通的（否则原图就不是连通的