湖南省常德市澧县2023-2024学年七年级下学期期末数学试题

湖南省常德市澧县2023-2024学年七年级下学期期末数学试题一、选择题（本小题共10个小题，每小题4分，共40分）1．下列说法不正确的是（）A．买一张电影票，座位号为奇数是不确定事件B．连续抛5次硬币，至少有一次国徽面朝上C．从一个装有2个红球，2个白球的密闭盒子里任取一个球，取出的球的颜色是红球或白球是等可能事件D．掷一枚均匀的骰子，掷出的点数是2的倍数的可能性大于掷出的点数是3的倍数的可能性2．若a>b，则下列不等式中成立的是（）A．a−5>b−5 B．a5<b5 C．3．某商场为吸引顾客设计了如图所示的自由转盘，当指针指向阴影部分时，该顾客可获奖品一份，那么（）A．12 B．15 C．184．不等式组−4x−8>−x+13x≤A． B．C． D．5．如图，直线l∥m，等边△ABC的两个顶点A，B分别在直线l和m上，若∠CAD=27∘，则A．27∘ B．33∘ C．63∘6．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，纸书大约在一千五百年前，其中一道题，原文是：“今三人共车，两车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？”意思是：现有若干人和车，若每辆车乘坐3人，则空余两辆车：若每辆车乘坐2人，则有9人步行，问人与车各多少？设有x人，y辆车，可列方程组为（）A．x3=y+2x2+9=yB．x37．如图所示，一次函数y=kx+b（k，b是常数，k≠0）与正比例函数y=mx（m是常数，m≠0）的图象相交于点M1,2A．关于x的方程mx=kx+b的解是x=1B．关于x的不等式mx<kx+b的解集是x>1C．当x<0时，函数y=kx+b的值比函数y=mx的值大D．关于x，y的方程组y−mx=0y−kx=b的解是8．如图，直线l过正方形ABCD的顶点B，点A，C到直线l的距离分别是1和2，则正方形ABCD的面积是（）A．5 B．4 C．5 D．39．某商场促销，小鱼将促销信息告诉了妈妈，假设某一商品的定价为x，并列出不等式为0.7×(2x−100)<1000，那么小鱼告诉妈妈的信息是（）A．买两件等值的商品可减100元，再打三折，最后不到1000元B．买两件等值的商品可打三折，再减100元，最后不到1000元C．买两件等值的商品可减100元，再打七折，最后不到1000元D．买两件等值的商品可打七折，再减100元，最后不到1000元10．如图，在△ABC中，以点A为圆心，AC的长为半径作弧，与BC交于点E，分别以点E和点C为圆心、大于12EC的长为半径作弧，两弧相交于点P，作射线AP交BC于点D．若∠B=45°，∠C=2∠CAD，则A．15° B．25° C．30° D．35°二、填空题（本小题共6个小题，每小题4分，共24分）11．一个口袋中有红球、白球共20个，这些球除颜色外都相同，将口袋中的球搅匀，从中任意摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，共摸了400次球，发现180次摸到红球，则这个口袋中红球的个数约为个．12．如图，直线a∥b，∠1=63∘，∠B=45∘，则13．如图，在△ABC中，AB=AC，∠C=30°，过点A作AD⊥AB，交BC边于点D，若AD=2，则BC的长为．14．《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽，问索长几何？”译文：“令有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺（1尺=13m15．若关于x的不等式组x≤1x>a有且仅有两个整数解，则a的取值范围为16．如图所示，点A1，A2，A3，……在x轴上，点点B1，B2，B3，……在直线y=12x上．已知B1O=B1三、解答题（本大题共8个小题，共86分）17．（1）解不等式：x+53（2）解不等式组：5x−2>3x+118．解方程组：（1）5x+y=2x−3y=4（2）5x−6y=97x−4y=−519．在一个不透明的袋子中装有5个红球和10个黄球，这些球除颜色外都相同，将袋子中的球充分摇匀后，随机摸出一球．（1）求出摸出的球是黄球的概率；（2）为了使摸出两种球的概率相同，再放进去9个同样的红球或黄球，那么这9个球中，红球和黄球的数量分别应是多少？20．△ABC中，DF垂直平分线段AB，交AB于点D，EF垂直平分线段BC，交BC于点E，D与EF的交点F恰好在△ABC的一边AC上．（1）求证：F是AC的中点；（2）求证：EF∥AB．21．某工作室制作工艺品并出售，当该工艺品的数量在60个以内时，该工作室制作的这种工艺品都能全部售完．图中的线段AB，OC分别表示该工作室每天的成本y1（单位：元），收入y2（单位：元）与销售量22．如图，是由边长为1个单位的正方形组成的小方格平面，线段AB的两个端点在小方格的格点上（小正方形的顶点），请你在该方格平面内仅用直尺画出一条线段BC，使AB=BC且AB⊥BC，垂足为点B，并证明作图合理的原因．23．近年来，电动自行车成为人们短距离出行的重要交通工具，但也存在较大安全隐患，骑行时合理佩戴头盔可有效降低安全隐患．某商店购进甲种头盔30个，乙种头盔20个共花费2700元、已知3个甲种头盔的总钱数与4个乙种头盔的总钱数相等．（1）求甲、乙两种头盔的单价各是多少元？（2）商店第一次进货很快售完，决定再次购进两种型号的头盔80个，且所购甲种头盔的数量不低于乙种头盔数量的2倍，求商店第二次购进头盔最少花费多少钱？24．已知△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D为直线BC上的一动点（点D不与点B、C重合），以AD为边作△ADE，使∠DAE=90°，AD=AE，连接CE．问题发现：如图1，当点D在边BC上时，（1）请写出BD和CE之间的位置关系为___________，并猜想BC和CE、CD之间的数量关系：__________．尝试探究：（2）如图2，当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，（1）中BD和CE之间的位置关系、BC和CE、CD之间的数量关系是否成立？若成立，请证明；若不成立，请写出新的数量关系，说明理由；拓展延伸：（3）如图3，当点D在边CB的延长线上且其他条件不变时，BC=7，BD=5，求线段ED的长．

答案解析部分1．【答案】B【知识点】事件的分类；可能性的大小【解析】【解答】解：买一张电影票，座位号为奇数是不确定事件，正确，故A不符合题意；连续抛5次硬币，至少有一次国徽面朝上，是可能发生也可能不发生的，错误，故B符合题意；从一个装有2个红球，2个白球的密闭盒子里任取一个球，取出的球的颜色是红球或白球是等可能事件，正确，故C不符合题意；掷一枚均匀的骰子，掷出的点数是2的倍数的可能有2，4，6三种结果，掷出的点数是3的倍数的可能性有3，6两种结果，故掷出的点数是2的倍数的可能性大于掷出的点数是3的倍数的可能性，正确，故D不符合题意；故答案为：B．【分析】（1）根据不确定事件的概念求解；

（2）根据抛1次硬币，出现正反面的机会均等求解；

（3）根据摸到每个球的机会相同求解；

（4）分别求得掷出点数是2的倍数与3的倍数的可能性大小，比较后得出结论．2．【答案】A【知识点】不等式的性质【解析】【解答】解：∵a＞b，∴a−5>b−5，a+5<b+5，故A符合题意，C不符合题意；∵a＞b，∴a5>b故答案为：A.

【分析】根据不等式的性质一即可判断A和C，根据不等式的性质二可判断B，根据不等式的性质三即可判断D.3．【答案】D【知识点】几何概率【解析】【解答】解：∵阴影部分圆心角为36°，∴该顾客获奖的概率为：36360故答案为：D．【分析】根据概率公式，求出阴影部分的圆心角与整个圆的圆周角的比值即可．4．【答案】A【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组【解析】【解答】解：−4x−8>−x+1解不等式①得：x<−3，解不等式②得：x≤1，在数轴上表示不等式的解集如图，故答案为：A．

【分析】先分别解两个不等式，再在数轴上表示不等式的解集，即可求得．5．【答案】B【知识点】平行线的性质；等边三角形的性质【解析】【解答】解：如图所示，过点C作CF∥l，∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°，∵直线l∥m，∠CAD=27∴∠ACF=∠CAD=27∴∠FCB=∠ACB−∠ACF=60°−27∵直线l∥m，CF∥l，∴CF∥m，∴∠CBE=∠FCB=33°，故答案为：B．【分析】先根据△ABC是等边三角形求得∠ACB=60°，再根据平行线的性质求得∠ACF=∠CAD=27∘，从而可得∠FCB=33°，然后根据直线l∥m，CF∥l，可得CF∥m，再根据两直线平行，内错角相等可得6．【答案】B【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题【解析】【解答】解：设有x人，y辆车，依题意得：x3故答案为：B．【分析】根据若每辆车乘坐3人，则空余两辆车：若每辆车乘坐2人，则有9人步行，列二元一次方程组．7．【答案】B【知识点】一次函数与一元一次方程的关系；一次函数与不等式（组）的关系；一次函数与二元一次方程（组）的关系【解析】【解答】解：∵一次函数y=kx+b(k,b是常数k≠0)与正比例函数y=mx(m是常数，m≠0)的图象相交于点M(1,2)，A．∴关于x的方程，mx=kx+b的解是x=1，故A不符合题意；B．关于x的不等式mx<kx+b的解集是x<1，故B符合题意；C．当x<0时，函数y=kx+b的值比函数y=mx的值大，故C不符合题意；D．关于x,y的方程组y−mx=0y=kx−b的解是x=1故答案为：B．

【分析】根据两个一次函数图象的交点的坐标即为一元一次方程的解，二元一次方程的解，即可判断A和D；根据图象可得，当x＞1时，y=mx在y=kx+b图象的上方，即为mx＞kx+b，当x＜1时，y=mx在y=kx+b图象的下方，即为mx＜kx+b，即可判断B和C.8．【答案】A【知识点】勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-AAS；同侧一线三垂直全等模型【解析】【解答】解：如图，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠ABE+∠CBF=90°，又∵∠EAB+∠ABE=90°，∴∠EAB=∠CBF，

在△AEB与△BFC中，∴∠AEB=∠CFB∠EAB=∠CBF∴△AEB≌△BFC∴EB=FC=2，AE=BF=1，∵AB∴AB∴正方形ABCD的面积为AB故答案为：A．【分析】先利用正方形的性质，根据AAS证明△AEB≌△BFC，再利用全等三角形的性质，得出EB=FC=2，AE=BF=1，然后再根据勾股定理得出AB2，即可得出正方形9．【答案】C【知识点】一元一次不等式组的应用【解析】【解答】解：A、买两件等值的商品可减100元，再打三折，最后不到1000元

所列的方程为：0.3（2x-100）＜1000，故A不符合题意；

B、买两件等值的商品可打三折，再减100元，最后不到1000元

所列的方程为：0.3×2x-100＜1000，故B不符合题意；

C、买两件等值的商品可减100元，再打七折，最后不到1000元

所列的方程为：0.7（2x-100）＜1000，故C符合题意；

D、买两件等值的商品可打七折，再减100元，最后不到1000元

所列的方程为：0.7×2x-100＜1000，故D不符合题意；

故答案为：C【分析】利用打折后的售价＜1000，分别列出各选项中的不等式，可得出判断。10．【答案】A【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；尺规作图-垂直平分线【解析】【解答】解：根据题意可得AP是EC的垂直平分线，即∠ADB＝∠ADC＝90°，AE=AC，

∵∠B＝45°，

∴∠BAD＝45°，

∵AE=AC，

∴AP也是∠CAE的角平分线，∵∠C＝2∠CAD，∴3∠CAD＝90°，即∠CAD＝30°，∴∠EAD＝30°，∴∠BAE=45°-30°=15°．故答案为：A．

【分析】根据作图可知AP是EC的垂直平分线，可得AE＝AC，∠ADB＝∠ADC＝90°，再根据∠B＝45°，∠C＝2∠CAD，等腰三角形的性质可得∠CAD的度数，根据∠BAE=∠BAD-∠EAD即可求得.11．【答案】9【知识点】利用频率估计概率【解析】【解答】解：∵共摸了400次球，发现180次摸到红球，∴摸到红球的概率约是180400∴这个口袋中红球的个数约为20×9故答案为：9．

【分析】根据多次试验发生的频率稳定值来估计概率，再用总数乘以概率，即可求得红球的个数．12．【答案】108°【知识点】三角形外角的概念及性质；两直线平行，同位角相等【解析】【解答】解：∵a∥b，∴∠1=∠DCB=63°，∴∠2=∠B+∠DCB=45°+63°=108°，故答案为：108°．

【分析】根据两直线平行，同位角相等，得∠1=∠DCB=63°，再根据三角形的一个外角等于与之不相邻的两个内角的和得出∠2=∠B+∠DCB，从而代值计算可得答案．13．【答案】6【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；等腰三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形【解析】【解答】解：∵AB=AC，∠C=30°，∴∠B=∠C=30°，∵AD⊥AB，∴∠BAD=90°，∴AD=1∵AD=2，∴BD=4，

∵∠ADB=60°，

∴∠CAD=∠ADB-∠C=60°-30°=30°，∴CD=AD=2，∴BC=BD+CD=4+2=6，故答案为：6．

【分析】利用等角对等边的性质求得∠B，再根据30度角所对的直角边等于斜边一半求得BD，根据三角形的外角性质求得∠CAD=∠C，推出CD=AD，即可求得.14．【答案】x−3【知识点】勾股定理的实际应用-其他问题【解析】【解答】解：设绳索长为x尺，木柱高（x-3）尺，根据题意得，x−32故答案为：x−32+82=15．【答案】−1≤a<0【知识点】一元一次不等式组的含参问题【解析】【解答】解：依题得：a<x≤1有且仅有两个整数解，则整数解为0，1，∴−1≤a<0．故答案为：−1≤a<0．【分析】先根据口诀“大小小大中间找”得出该不等式组的解集，再根据该不等式组仅有两个整数解为0、1，可得字母a的取值范围.16．【答案】32,16【知识点】等腰三角形的判定与性质；用代数式表示图形变化规律；探索规律-点的坐标规律【解析】【解答】解：∵∴∠又∵B1∴O∵A2∴∠B1A∴∠∴△OB2同理，△OB3A4，∴OOO∴当x=32时，y=∴点B6的坐标为故答案为：32,16．

【分析】由等边对等角得∠B1OA2=∠B1A2O17．【答案】解：（1）x+5去分母得：2(x+5)−6>9x+12，去括号得：2x+10−6>9x+12，移项、合并同类项得：−7x>8系数化为1得：x<−8（2）5x−2>3x+1由①得：x>5由②得：x≥6，则不等式组的解集为x≥6．【知识点】解一元一次不等式；解一元一次不等式组【解析】【分析】（1）利用去分母、去括号，移项，合并同类项，系数化为1解不等式求出解集即可；（2）分别求出两个不等式的解集，然后根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”得到公共部分解题．18．【答案】（1）解：5x+y=2①x−3y=4②

①×3+②，得：16x=10，解得：x=58；

把x=58，代入②，得：58（2）解：5x−6y=9①7x−4y=−5②，

①×2−②×3，得：−11x=33，解得：x=−3；

把x=−3，代入①，得：−15−6y=9，解得：y=−4；

∴【解析】【分析】（1）利用加减消元法解二元一次方程组即可；（2）利用加减消元法解二元一次方程组即可.（1）解：5x+y=2①×3+②，得：16x=10，解得：把x=58，代入②，得：58∴方程组的解为：x=5（2）解：5x−6y=9①①×2−②×3，得：−11x=33把x=−3，代入①，得：−15−6y=9，解得：y=−4；∴方程组的解为：x=−3y=−419．【答案】（1）解：∵袋子中装有5个红球和10个黄球，

∴随机摸出一球是黄球的概率为105+10（2）解：设红球有x个，则黄球为9−x个，5+x5+10+9解得，x=7，9-x=2，答：这9个球中红球有7个，则黄球为2个．【知识点】一元一次方程的其他应用；概率公式【解析】【分析】（1）根据概率公式直接计算即可；（2）设红球有x个，则黄球为9−x个，根据摸出两种球的概率相同列出方程，解方程即可．20．【答案】（1）证明：连接BF，∵DF垂直平分线段AB，

∴AF=BF．

∵EF垂直平分线段BC，

∴BF=CF，

∴AF=CF，

∴F是AC的中点；

（2）证明：∵AF=BF，∴∠A=∠ABF．

∵BF=CF，EF⊥BC，

∴∠CFE=∠BFE．

∵∠CFB=∠CFE+∠BFE=∠A+∠ABF，

∴∠CFE=∠A，

∴EF∥AB．【知识点】线段垂直平分线的性质；同位角相等，两直线平行；等腰三角形的性质-三线合一【解析】【分析】（1）连接BF，根据线段垂直平分线的性质可得AF=BF，BF=CF，即可得到AF=CF证明结论；（2）根据等边对等角得到∠A=∠ABF，然后根据三线合一得到∠CFE=∠BFE，即可得到∠CFE=∠A，再根据同为还哦相等，两直线平行证明结论．（1）连接BF，∵DF垂直平分线段AB，∴AF=BF．∵EF垂直平分线段BC，∴BF=CF，∴AF=CF，∴F是AC的中点；（2）∵AF=BF，∴∠A=∠ABF．∵BF=CF，EF⊥BC，∴∠CFE=∠BFE．∵∠CFB=∠CFE+∠BFE=∠A+∠ABF，∴∠CFE=∠A，∴EF∥AB．21．【答案】设工作室每天的成本y1与销售量x之间的函数关系式为y1=k1x+b∵该函数图象过点A0,240，B60,480

∴b=24060k1+b=480

解得k1=4b=240

∴y1=4x+240

设工作室每天的收入y2与销售量x之间的函数关系式为y2=k2x

【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的其他应用【解析】【分析】利用待定系数法求出来年各个函数解析式，根据题意得到y122．【答案】如图，取格点C，连接BC，则线段BC即为所求．取格点M和N，

在△ABM和△BCN中

AM=BN∠M=∠N=90°BM=CN，

∴△ABM≌△BCNSAS，

∴AB=BC，∠A=∠CBN，

∵∠A+∠ABM=90°，

∴∠CBN+∠ABM=90°，

∴∠ABC=90°，

∴AB⊥BC【知识点】三角形全等的判定-SAS【解析】【分析】取格点C，连接BC，则线段BC即为所求．取格点M和N，然后根据SAS得到△ABM≌△BCN，然后根据全等三角形的性质证明结论即可．23．【答案】（1）解：设甲种头盔的单价为x元，购买乙种头盔的单价为y元，根据题意，得30x+20y=27003x=4y解得：x=60y=45答：甲种头盔的单价是60元，乙种头盔的单价是45元；（2）解：设购m只甲种头盔，则购80−m只乙种头盔，则m≥2(80−m)，

解得：m≥1603，

花费的钱数为：60m+4580−m=15m+3600，

m越大，费用越高，

∴取m=54时，花费最少，最少为：【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题【解析】【分析】（1）设甲种头盔的单价为x元，购买乙种头盔的单价为y元，根据“甲种头盔30个，乙种头盔20个共花费2700元、已知3个甲种头盔的总钱数与4个乙种头盔的总钱数相等”列方程组求解即可；（2）设购m只甲种头盔，根据题意列出不等式求出m的取值范围，表示出花费的钱数，然后根据取值范围得到最小值即可．（1）解：设甲种头盔的单价为x元，购买乙种头盔的单价为y元，根据题意，得30x+20y=27003x=4y解得：x=60y=45答：甲种头盔的单价是60元，乙种头盔的单价是45元；（2）解：设购m只甲种头盔，则购80−m只乙种头盔，则m≥2(80−m)，解得：m≥160花费的钱数为：60m+4580−mm越大，费用越高，∴取m=54时，花费最少，最少为：15×54+3600=4410，答：商店第二次购进头盔最少花费4410元．24．【答案】（1）BD⊥CE，CE+CD=BC（2）当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，（1）中BD和CE之间的位置关系BD⊥CE仍然成立，BC和CE、CD之间的数量关为：CE=BC+CD，理由如下：∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAC+∠DAC=∠DAE+∠DAC，即∠BAD=∠CAE，又∵AB=AC，AD=AE