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第一章量子理论基础1．设一电子为电势差V所加速，最后打在靶上，若电子的动能转化为一个光子，求当这光子相应的光波波长分别为5000（可见光），1（x射线）以及0.001（射线）时，加速电子所需的电势差是多少？[解]电子在电势差V加速下，得到的能量是这个能量全部转化为一个光子的能量，即（伏）当时，（伏）时（伏）时（伏）2．利用普朗克的能量分布函数证明辐射的总能量和绝对温度的四次方成正比，并求比例系数。[解]普朗克公式为单位体积辐射的总能量为令，则（★）其中（★★）（★）式表明，辐射的总能量U和绝对温度T的四次方成正比。这个公式就是斯忒蕃——玻耳兹曼公式。其中是比例常数，可求出如下：因为令，上式成为用分部积分法求后一积分，有又因无穷级数故因此，比例常数尔格/厘米3·度43．求与下列各粒子相关的德布罗意波长：（1）能量为100电子伏的自由电子；（2）能量为0.1电子伏的自由中子；（3）能量为0.1电子伏，质量为1克的质点；（4）温度T=1k时，具有动能（k为玻耳兹曼常数）的氦原子。[解]德布罗意公式为因为上述粒子能量都很小，故可用非相对论公式代入德布罗意公式得（1）尔格，克厘米=1.23（2）尔格，克（3）尔格，克（4）尔格，克4．利用玻尔——索末菲的量子化条件求：（1）一维谐振子的能量；（2）在均匀磁场中作圆周运动的电子轨道的可能半径。[解]（1）方法一：量子化条件，一维谐振子的能量为可化为上式表明，在相平面中，其轨迹为一椭圆。两半轴分别为，这个椭圆的面积为故上式表明，一维谐振子的能量是量子化的。方法二：一维谐振子的方程为其解为而而（2）设磁场方向垂直于电子运动方向，电子受到的洛仑兹力作为它作圆周运动的向心力，于是有故这时因为没有考虑量子化，因此R是连续的。应用玻耳—索末菲量子化条件这时，我们把电子作圆周运动的半径转过的角度作为广义坐标，则对应的广义动量为角动量其中可见电子轨道的可能半径是不连续的。讨论：①由本题的结果看出，玻尔—索末菲轨道量子化条件和普朗克能量量子化的要求是一致的。②求解本题的（1）时，利用方法（一）在计算上比方法（二）简单，但方法（一）只在比较简单的情况，例如能直接看出相空间等能面的形状时才能应用。而方法（二）虽然比较麻烦，但更有一般性。③本题所得的谐振子能量，与由量子力学得出的能量相比较，我们发现由玻尔—索末菲量子化条件不能得出零点能。但能级间的间隔则完全相同。前一事实说明玻尔理论的不彻底性，它是经典力学加上量

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