2025年大学《数学与应用数学》专业题库- 数学软件设计与应用研究

2025年大学《数学与应用数学》专业题库——数学软件设计与应用研究考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、选择题（每小题3分，共15分。请将正确选项的字母填在题后的括号内。）1.在数值计算中，为了减少误差累积，求解线性方程组时通常优先采用（）。A.高斯消元法B.矩阵分解法（如LU分解）C.迭代法（如Jacobi、Gauss-Seidel）D.以上皆非2.下列哪种数值方法适用于求解初值问题\(y'=f(t,y)\)，且能提供误差估计？（）A.欧拉法B.中点法C.改进欧拉法（梯形法则）D.龙格-库塔法（如RK4）3.在实现矩阵求逆算法时，若采用高斯消元法，则其计算量大致与（）成正比。A.\(n\)（矩阵维数）B.\(n^2\)C.\(n^3\)D.\(n^4\)4.下列关于插值的叙述，正确的是（）。A.插值多项式总是存在且唯一。B.插值节点越多，插值多项式的次数越高。C.牛顿插值比拉格朗日插值具有更好的性质。D.样条插值是分段线性插值。5.在使用MATLAB或Python等数学软件进行数据处理时，下列哪个库/模块通常用于执行统计分析和机器学习任务？（）A.NumPyB.SciPyC.PandasD.Matplotlib二、填空题（每小题4分，共20分。请将答案填在题后的横线上。）6.数值求解线性方程组\(Ax=b\)的直接法，其计算过程通常不会引入舍入误差，而迭代法则可能因迭代次数和计算顺序而引入误差，这种现象有时被称为______。7.对于求函数\(f(x)\)在点\(x_0\)处的导数问题，利用泰勒展开并忽略高阶项，可以得到多种数值微分公式，其中中心差分公式\(f'(x_0)\approx\frac{f(x_0+h)-f(x_0-h)}{2h}\)具有较高的精度，其局部截断误差（阶）为______。8.在求解常微分方程的初值问题时，欧拉法的局部截断误差（阶）为______，而改进欧拉法（梯形法则）的局部截断误差（阶）为______。9.设函数\(f(x)\)在区间\([a,b]\)上连续，若用\(n\)个等距节点对\([a,b]\)进行分割，则复合梯形公式和复合辛普森公式的代数精度分别为______次和______次。10.在设计数学软件时，选择合适的算法不仅要考虑其理论精度，还要考虑其______、______和稳定性。三、计算题（每小题10分，共30分。）11.给定线性方程组：\[\begin{cases}4x_1+x_2-2x_3=2\\x_1+2x_2+x_3=5\\-2x_1+x_2+5x_3=-1\end{cases}\]（1）尝试用高斯消元法（不进行行变换）对方程组的系数矩阵进行三角分解（LU分解），即找到下三角矩阵\(L\)和上三角矩阵\(U\)使得\(PA=LU\)（这里\(P\)是单位矩阵，可省略不写）。写出\(L\)和\(U\)矩阵。（2）假设通过LU分解得到\(L\)和\(U\)后，求解\(Ly=b\)和\(Ux=y\)得到方程组的解\(x\)。12.设函数\(f(x)=e^x\)，在区间\([0,1]\)上，用四个等距节点（分别取\(x_0=0,x_1=0.5,x_2=1\)）构造拉格朗日插值多项式\(L_3(x)\)。计算\(L_3(0.25)\)的值。13.编写一个MATLAB或Python函数（函数名自定），实现如下功能：输入一个非奇异矩阵\(A\)和向量\(b\)，利用LU分解（无需显式写出L和U，可直接调用库函数）求解线性方程组\(Ax=b\)的解\(x\)。要求在函数内部调用LU分解和回代求解的库函数（例如MATLAB的`lu`函数和`backslash`，或Python的`scipy.linalg.lu_factor`和`scipy.linalg.lu_solve`），并返回解向量\(x\)。四、算法设计题（每小题12分，共24分。）14.设计一个数值算法，用于求解函数\(f(x)=0\)在区间\([a,b]\)上的根。要求算法采用二分法思想，但每次迭代不是简单地取中点\(c=(a+b)/2\)，而是取当前区间\([a_k,b_k]\)的黄金分割点\(c_k=a_k+(b_k-a_k)\phi\)，其中\(\phi=(1+\sqrt{5})/2\)（黄金分割比）。请描述该算法的主要步骤，并分析其收敛性（收敛速度）。15.现需编写一个数学软件模块，用于计算给定函数\(f(x)\)在区间\([a,b]\)上的定积分\(\int_a^bf(x)dx\)。用户可以选择两种数值积分方法：复合梯形公式和复合辛普森公式。要求模块能接受用户输入的函数表达式（或函数句柄）、区间端点\(a,b\)以及节点数\(n\)（用于决定复合公式的分段数），然后根据用户选择的方法计算并返回积分的近似值。请设计该模块的算法流程，明确需要处理的不同情况（例如，选择不同积分方法，处理奇数节点数等）。五、应用与编程题（共31分。）16.（15分）考虑如下常微分方程初值问题：\[y'=-2ty,\quady(0)=1,\quadt\in[0,1]\]其精确解为\(y(t)=e^{-t^2}\)。（1）请使用改进欧拉法（梯形法则），取步长\(h=0.1\)，手动计算该初值问题在\(t=0.1,0.2,0.3\)三个时间点的近似解\(y(0.1),y(0.2),y(0.3)\)。（2）编写一个MATLAB或Python脚本，利用改进欧拉法（梯形法则）求解该初值问题，步长\(h=0.1\)。脚本应计算并输出\(t=0.1,0.2,...,1.0\)时刻的近似解\(y(t)\)，并绘制出\(y(t)\)的近似解曲线与精确解\(y(t)=e^{-t^2}\)的曲线在同一张图上。请在图上添加标题、坐标轴标签和图例。17.（16分）给定一组数据点\((x_i,y_i)\)如下：\[\begin{array}{c|cccccc}x&1&2&3&4&5&6\\\hliney&2.2&2.8&3.6&4.5&5.5&6.4\\\end{array}\]这些数据点大致呈现指数增长趋势。（1）尝试用最小二乘法拟合一个指数函数模型\(y=ae^{bx}\)。请写出求解参数\(a\)和\(b\)的标准方程组（不需要求解）。（2）为了便于使用线性最小二乘法求解，通常对指数模型进行线性化处理。请推导出线性化后的模型形式（即新的自变量和因变量形式），并写出对应的线性模型方程\(Y=MX\)中\(Y,M,X\)的具体形式。（3）编写一个MATLAB或Python函数（函数名自定），实现线性最小二乘法。该函数的输入参数应为数据点的\(x\)值列表和\(y\)值列表，输出应为线性模型的最小二乘解向量（即斜率和截距）。利用此函数拟合上述数据，计算参数\(a\)和\(b\)的估计值。最后，在同一张图上绘制原始数据点、拟合的指数曲线\(y=ae^{bx}\)以及线性化模型（即\(\lny\)对\(x\)的拟合直线）。---试卷答案一、选择题1.B2.C3.C4.A5.B二、填空题6.舍入误差传播（或累积）7.\(O(h^2)\)8.\(O(h^2)\),\(O(h^2)\)9.2,410.效率，可维护性三、计算题11.（1）对系数矩阵\(A\)进行高斯消元（不交换行）：\[\begin{pmatrix}4&1&-2\\1&2&1\\-2&1&5\end{pmatrix}\xrightarrow{R2\leftarrowR2-\frac{1}{4}R1}\begin{pmatrix}4&1&-2\\0&\frac{7}{4}&\frac{3}{2}\\-2&1&5\end{pmatrix}\xrightarrow{R3\leftarrowR3+\frac{1}{2}R1}\begin{pmatrix}4&1&-2\\0&\frac{7}{4}&\frac{3}{2}\\0&\frac{3}{2}&4\end{pmatrix}\xrightarrow{R3\leftarrowR3-\frac{6}{7}R2}\begin{pmatrix}4&1&-2\\0&\frac{7}{4}&\frac{3}{2}\\0&0&\frac{82}{21}\end{pmatrix}\]对应的\(L\)和\(U\)矩阵为：\[L=\begin{pmatrix}1&0&0\\\frac{1}{4}&1&0\\-\frac{1}{2}&\frac{6}{7}&1\end{pmatrix},\quadU=\begin{pmatrix}4&1&-2\\0&\frac{7}{4}&\frac{3}{2}\\0&0&\frac{82}{21}\end{pmatrix}\]（2）计算\(y=Lb\):\[\begin{pmatrix}1&0&0\\\frac{1}{4}&1&0\\-\frac{1}{2}&\frac{6}{7}&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2\\5\\-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\\frac{9}{4}\\-\frac{1}{14}\end{pmatrix}\]计算\(x=Uy\):\[\begin{pmatrix}4&1&-2\\0&\frac{7}{4}&\frac{3}{2}\\0&0&\frac{82}{21}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2\\\frac{9}{4}\\-\frac{1}{14}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{127}{14}\\\frac{123}{28}\\-\frac{1}{14}\end{pmatrix}\]方程组的解为\(x_1=\frac{127}{14},x_2=\frac{123}{28},x_3=-\frac{1}{14}\)。12.插值节点为\(x_0=0,x_1=0.5,x_2=1,x_3=1.5\)（在\([0,1]\)上需补节点）。拉格朗日插值多项式：\[L_3(x)=\frac{(x-0.5)(x-1)(x-1.5)}{(0-0.5)(0-1)(0-1.5)}e^0+\frac{(x-0)(x-1)(x-1.5)}{(0.5-0)(0.5-1)(0.5-1.5)}e^{0.5}+\frac{(x-0)(x-0.5)(x-1.5)}{(1-0)(1-0.5)(1-1.5)}e^1+\frac{(x-0)(x-0.5)(x-1)}{(1.5-0)(1.5-0.5)(1.5-1)}e^{1.5}\]简化并代入\(x=0.25\)：\[L_3(0.25)=\frac{(-0.25)(-0.75)(-1.25)}{(-0.5)(-1)(-1.5)}\cdot1+\frac{(0.25)(-0.75)(-1.25)}{0.5\cdot(-0.5)\cdot(-1)}\cdote^{0.5}+\frac{(0.25)(0.25)(-1.25)}{1\cdot0.5\cdot(-0.5)}\cdote^1+\frac{(0.25)(0.25)(-0.75)}{1.5\cdot1\cdot0.5}\cdote^{1.5}\]\[=\frac{0.234375}{0.75}+\frac{-0.234375}{-0.25}\cdote^{0.5}+\frac{-0.078125}{-0.25}\cdote^1+\frac{-0.046875}{0.375}\cdote^{1.5}\]\[=0.3125+0.9375e^{0.5}+0.3125e^1-0.125e^{1.5}\]计算数值：\[L_3(0.25)\approx0.3125+0.9375\cdot1.6487+0.3125\cdot2.7183-0.125\cdot4.4817\approx0.3125+1.5537+0.8481-0.5610\approx2.1513\]13.MATLAB函数示例：```matlabfunctionx=solve_linear_system(A,b)%使用LU分解求解Ax=b[~,LU,P]=lu(A);%获取LU分解和行置换矩阵Py=P*b;%变换右端项x=lu_backslash(LU,y);%使用LU分解结果回代求解%或者使用:%[L,U,P]=lu(A);%y=P*b;%x=U\y;%x=L\x;end```Python函数示例：```pythonimportnumpyasnpfromscipy.linalgimportlu_factor,lu_solvedefsolve_linear_system(A,b):#使用LU分解求解Ax=blu,piv=lu_factor(A)#获取LU分解和置换向量pivx=lu_solve((lu,piv),b)#使用LU分解结果回代求解returnx```四、算法设计题14.算法步骤：（1）输入区间端点\(a,b\)和容差\(\epsilon\)。（2）计算黄金分割比\(\phi=(1+\sqrt{5})/2\)。（3）计算当前区间长度\(L=b-a\)。（4）计算新区间端点：\[c_1=a+L\phi,\quadc_2=a+L(1-\phi)\]（5）计算函数值\(f(c_1)\)和\(f(c_2)\)。（6）判断\(|L|<\epsilon\)或\(|f(c_1)|<\epsilon\)或\(|f(c_2)|<\epsilon\)：-如果是，则\(c_1\)或\(c_2\)（通常取二者之一或平均）可作为根的近似值，算法结束。-如果不是，则进入下一步。（7）判断\(f(c_1)\cdotf(c_2)<0\)：-如果是，说明根位于区间\([a,c_1]\)或\([c_2,b]\)：-如果\(f(c_1)<0\)，则令\(b=c_1\)。-如果\(f(c_2)<0\)，则令\(a=c_2\)。-否则，令\(a=c_2\)且\(b=c_1\)。-如果不是，说明根位于区间\([c_1,c_2]\)，则令\(a=c_1\)且\(b=c_2\)。（8）返回步骤（3）。收敛性：该算法的收敛速度与二分法相同，都是线性的。每次迭代将区间长度缩短为原来的\(\phi^2=(3-\sqrt{5})/2\approx0.3819\)倍，收敛速度比简单的二分法慢，但每次迭代的计算量通常更小（只计算两个函数值，而不是一个）。15.算法流程：（1）输入：函数\(f(x)\)，区间端点\(a,b\)，节点数\(n\)，积分方法选择（例如，'trapezoidal'或'simpson'）。（2）计算区间长度\(h=(b-a)/n\)。（3）初始化积分和\(S=0\)。（4）根据方法选择，计算积分和：-如果选择复合梯形公式：-对\(i\)从0到\(n-1\)：\[x_i=a+ih\]\[S=S+f(x_i)\]-计算积分值：\(\text{Integral}=\frac{h}{2}[f(a)+2S+f(b)]\)-如果选择复合辛普森公式：-检查\(n\)是否为偶数，如果不是，提示错误或返回提示信息。-初始化\(S0=f(a)+f(b)\)，\(S1=0\)，\(S2=0\)。-对\(i\)从1到\(n-1\)：\[x_i=a+ih\]如果\(i\)是偶数：\[S2=S2+f(x_i)\]否则（\(i\)是奇数）：\[S1=S1+f(x_i)\]-计算积分值：\(\text{Integral}=\frac{h}{3}[S0+4S1+2S2]\)（5）返回计算得到的积分近似值。五、应用与编程题16.（1）改进欧拉法（梯形法则）公式：\[y_{n+1}=y_n+\frac{h}{2}[f(t_n,y_n)+f(t_{n+1},y_{n+1})]\]这里\(f(t,y)=-2ty\)，且\(y(0)=1\)。步长\(h=0.1\)。在\(t=0\)处：\(y_0=1\)。在\(t=0.1\)处：\[y_1=y_0+\frac{0.1}{2}[f(0,1)+f(0.1,y_1)]=1+0.05[-2\cdot0\cdot1+(-2\cdot0.1\cdoty_1)]\]\[y_1=1-0.01[0-0.2y_1]=1+0.002y_1\]解此方程得\(y_1=\frac{1}{0.998}\approx1.002004\)。在\(t=0.2\)处：\[y_2=y_1+\frac{0.1}{2}[f(0.1,y_1)+f(0.2,y_2)]\]\[y_2=1.002004+0.05[-2\cdot0.1\cdot1.002004+(-2\cdot0.2\cdoty_2)]\]\[y_2=1.002004-0.01[-0.2004008-0.4y_2]\]\[y_2=1.002004+0.00200408+0.004y_2\implies(1-0.004)y_2=1.00400808\]\[y_2=\frac{1.00400808}{0.996}\approx1.008008\]在\(t=0.3\)处：\[y_3=y_2+\frac{0.1}{2}[f(0.2,y_2)+f(0.3,y_3)]\]\[y_3=1.008008+0.05[-2\cdot0.2\cdot1.008008+(-2\cdot0.3\cdoty_3)]\]\[y_3=1.008008-0.01[-0.4032032-0.6y_3]\]\[y_3=1.008008+0.004032032+0.006y_3\implies(1-0.006)y_3=1.01204\]\[y_3=\frac{1.01204}{0.994}\approx1.016016\]手动计算结果：\(y(0.1)\approx1.002004\),\(y(0.2)\approx1.008008\),\(y(0.3)\approx1.016016\)。（2）MATLAB脚本示例：```matlab%清屏clc;%参数设置a=0;b=1;h=0.1;TOL=1e-6;%容差设为较小值以提高精度t=a:h:b;y_true=exp(-t.^2);%精确解y_approx=zeros(size(t));%存储近似解y_approx(1)=1;%初始条件%改进欧拉法（梯形法则）forn=1:(length(t)-1)tn=t(n);yn=y_approx(n);f_val=-2*tn*yn;%计算预测值y_pred=yn+h*f_val;%计算修正值f_val_pred=-2*t(n+1)*y_pred;yn_new=yn+h/2*(f_val+f_val_pred);%存储近似解y_approx(n+1)=yn_new;end%绘图figure;plot(t,y_true,'b-','LineWidth',1.5);holdon;plot(t,y_approx,'ro','MarkerSize',5,'MarkerFaceColor','r');title('改进欧拉法求解y''=-2ty,y(0)=1');xlabel('t');ylabel('y(t)');legend('精确解y(t)=e^{-t^2}','近似解（改进欧拉法）');gridon;holdoff;```Python脚本示例：```pythonimportnumpyasnpimportmatplotlib.pyplotaspltfromegrateimportsolve_ivp#定义微分方程defode_system(t,y):return-2*t*y#参数设置a=0b=1h=0.1t_span=(a,b)y0=[1]#初始条件#使用改进欧拉法（梯形法则）手动实现t_points=np.arange(a,b+h,h)y_approx=np.zeros(len(t_points))y_approx[0]=y0[0]forninrange(1,len(t_points)):tn=t_points[n-1]yn=y_approx[n-1]f_val=-2*tn*yn#预测步y_pred=yn+h*f_val#校正步f_val_pred=-2*t_points[n]*y_predy_approx[n]=yn+0.5*h*(f_val+f_val_pred)#计算精确解用于绘图t_true=np.linspace(a,b,1000)y_true=np.exp(-t_true2)#绘图plt.figure(figsize=(8,5))plt.plot(t_true,y_true,'b-',linewidth=1.5,label='精确解y(t)=e^{-t^2}')plt.plot(t_points,y_approx,'ro',markersize=5,markerfacecolor='r',label='近似解（改进欧拉法）')plt.title('改进欧拉法求解y''=-2ty,y(0)=1')plt.xlabel('t')plt.ylabel('y(t)')plt.legend()plt.grid(True)plt.show()```17.（1）最小二乘法拟合\(y=ae^{bx}\)。对数变换：令\(z=\lny\)，则模型变为\(z=\lna+bx\)，即\(z=c_0+c_1x\)。最小二乘法要求\(\sum_{i=1}^n(z_i-(c_0+c_1x_i))^2\)最小。对应的法方程组为：\[\begin{pmatrix}n&\sumx_i\\\sumx_i&\sumx_i^2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}c_0\\c_1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\sumz_i\\\sumx_iz_i\end{pmatrix}\]其中\(z_i=\lny_i\)。（2）线性化模型\(z=c_0+c_1x\)中：\[Y=\begin{pmatrix}\lny_1\\\lny_2\\\vdots\\\lny_6\end{pmatrix},\quadX=\begin{pmatrix}1&x_1\\1&x_2\\\vdots\\1&x_6\end{pmatrix},\quadC=\begin{pmatrix}c_0\\c_1\end{pmatrix}\]即：\[Y=XC\]其中：\[X=\begin{pmatrix}1&1\\1&2\\1&3\\1&4\\1&5\\1&6\end{pmatrix},\quadY=\begin{pmatrix}\ln(2.2)\\\ln(2.8)\\\ln(3.6)\\\ln(4.5)\\\ln(5.5)\\\ln(6.4)\end{pmatrix}\approx\begin{pmatrix}0.788\\1.029\\1.280\\1.504\\1.705\\1.856\end{pmatrix}\]（3）MATLAB函数示例：```matlabfunction[a_est,b_est]=fit_exponential(x,y)%线性最小二乘法拟合z=c0+c1*x，其中z=ln(y)%输入：x,y-数据点%输出：a_est,b_est-拟合参数估计值%对y取对数z=log(y);%构建设计矩阵XX=[ones(length(x),1),x];%使用线性最小二乘法计算参数估计C_est=(X'*X)\(X'*z);%提取参数c0_est=C_est(1);c1_est=C_est(2);%还原参数a=exp(c0)a_est=exp(c0_est);b_est=c1_est;end%使用数据x=[1;2;3;4;5;6];y=[2.2;2.8;3.6;4.5;5.5;6.4];%调用函数进行拟合[a_est,b_est]=fit_exponential(x,y);%计算拟合参数估计值a_est=exp(0.7885);%c0的估计值b_est=0.2777;%c1的估计值%拟合曲线y=a_est*exp(b_est*x)y_fit=a_est*exp(b_est*x);%绘图figure;plot(x,y,'bo','MarkerFaceColor','b','DisplayNam