【八年级下册数学】全册知识点总结（人教版）

人教版八年级数学下册知识点总结

第16章二次根式

一、二次根式的定义

形如画（^>0）的式子叫做二次根式.其中叫做二次根号，巴叫做被开方数.

（1）二次根式有意义的条件是蛆之数为韭负数.据此可以确定字母的取值范围；

（2）判断一个式子是否为二次根式,应根据以下两个标准判断：

①是否含有二次根号

②被开方数是否为韭负量.

若两个标准都符合，则是二^根式;若只符合其中一个标准，则不是二次根式.

（3）形如2®（^>0）的式子也是二次根式，其中土叫做二次根式的星数,它表示的是：（。川）；

（4）根据二次根式有意义的条件，若二次根式dA-B与y/B-A都有意义，则有A=3.

二、二次根式的性质

（1）双重非负性:'K）,“汕（主要用于字母的求值）

（2）回归性：（、份）（。对）；（主要用于二次根式的计算）

后=冏=卜（心⑴

（3）转化性:（主要用于二次根式的化简）

三、重要结论：

（1）若几个非负数的和为。，则每个非负数分别等于0.

若MI+B2+兀=0.则A=0,8=0,C=0.

应用与书写规范:V|A|+fi2+Vc=0,|A|>0,B2>0,Vc>0

:.4=0,3=0,C=0.

该性质常与配方法结合求字母的值.

（2）&A_B）2=|A—B|=-j?；主要用于二次根式的化简.

I15—ASU）

,、r-[J-2.8（A>0）

（3）Ay/B=\__L，其中BK）；

[-ylA2B（A<0）

该结论主要用于某些带系数的二次根式的化简:可以考虑把二次根号外面的系数根据符号以平方的形式移到根号内,

以达到化简的目的.

（4）（A标）2=A?•B,其中B>0.该结论主要用于二次根式的计算.

第17章勾股定理

一、勾股定理

文字语言符号语言图示变式应用

如果直角三角形的两条

直角三角形两c=\/a2+b2\

a2=c2-

B

直角边长分别为。力，斜

直角边的平方广/a勾

b2;b2=a=c2—b2;

边长为C,那么

和等于斜边的A^-_________If

b弦c2-a2.22

平方b=\Jc-a.

二、勾股定理的逆定理与勾股定理的联系与区别

勾股定理勾股定理的逆定理

条件在RtAABC中，“=90。二在AABC中，”2+从=。2：

结论a2+及=/ZC=90°

勾股定理以“一个三角形是直角三角勾股定理的逆定理以“一个三角形的三边满

形”为条件，进而得到数量关系

区别足H+b2=。2”为条件，进而得到“这个三角

222,,

“a+b=ct即由“形”到“数”形是直角三角形”，即由"数''到"形

联系两者都与三角形的三边有关系

【延伸】

设三角形的三边长分别为"/c（C为最长边的长）.如果/+从入2,那么这个三角形是直角三角形；如果“2+弁

那么这个三角形是迪鱼三角形；如果/+从,C?,那么这个三角形是银鱼三角形.

第18章平行四边形

一、平行四边形的性质

tltt、、/、=.

性质数学语百图示

边平行四边形的对四边形ABCD是平行四边形，AD

边相等/.AD=BC,AB=CD口

BC

角平行四边形的对四边形ABC。是平行四边形，

角相等.\ZA=ZC,ZB=ZD

对角线平行四边形的对四边形ABCD是平行四边形，AD

角线互相平分：.OA=OC^^AC,OB^OD=^BD

BC

【拓展延伸】

（1）证明平行四边形的性质时，一般通过作对角线把四边形转化为三角形来解答.

（2）平行四边形的性质为证明线段垩行或相箜、角相等提供了理论依据.

（3）平行四边形的每条对角线都将平行四边形分成两个全等的三角形.

2

（4）平行四边形被两条对角线分成的四个小三角形的醛相等，每个小三角形的面积都等于平行四边形面积亚.；相

邻两个三角形周长叁的绝对值等于平行四边形两邻边之差的绝对值.

【规律方法】

（1）平行四边形的邻角互补；

（2）若一条直线经过平行四边形两条对角线的交直，则该直线垩分平行四边形的整和面积.

二、平行四边形的判定方法

判定方法数学语百图形

两组对边分别垩行的四边AD//BQAB//CD,

形是平行四边形.（定义）四边形ABCQ是平行四边形.

两组对边分别相箜的四边AD=BC,AB=CD,

边

形是平行四边形.四边形ABCD是平行四边形.

一组对边平行且相等的四AD//BC（或4他CD）,

边形是平行四边形.口

四边形ABCD是平行四边形.

ZDAB=ZDCB,ZABC=

两组对角分别粗箜的四边

角ZADC,

形是平行四边形.

四边形ABCD是平行四边形.

对

对角线互相平分的四边形OA=OC,OB=OD,

角

是平行四边形.四边形ABC。是平行四边形.

线

三、三角形的中位线

A

DE〃BCn

中位线所截得的三角形与原三角形

中位线

DE=-BC相似，其相似比为b2,面积比为L4

2

BLA--------

四、两条平行线之间的距离

1.两条平行线之间的距离：两条平行线中，一条直线上任意二直到另一条直线的距离，叫做这两条平行线之间的距离.

2.性质：如果两条直线平行，那么一条直线上所有的点到另一条直线的距离都相箜，即平行线间的距离处处够.

五、矩形的定义及其性质

1.矩形：有一个角是直鱼的生疝四边形叫做矩形.

【注意】

（1）矩形是特殊的西四边形，但王任四边形不一定是矩形.

（2）矩形必须具备两个条件：①是平行四边形;②有一个角是直鱼.这两个条件缺一不可.

（3）矩形的定义可以作为判定一个四边形是矩形的方法.

2.矩形的性质：矩形是特殊的平行四边形，它除了具有平行四边形的所有性质外，还具有自身独特的性质（见下表）.

性质数学语占图形

矩形的四个角都是直四边形ABC。是矩形，D

角

角

:.ZA=ZB=ZC=ZD=90°AB

四边形ABC。是矩形，

对角线矩形的对角线相差DC

.\AC=BDX

对称性矩形是轴对称图形,它有两条对称轴

【注意】

（1）矩形的性质可归结为三个方面.①边：矩形的对边平行且相等，邻边互相垂直.②角：矩形的四个角都是直角.③对

角线：矩形的对角线互相平分且相等.

（2）矩形的两条对称轴分别是两对对边中点连线所在的直线，对称轴的交点就是对角线的交点.

（3）矩形的两条对角线将矩形分成两对全等的等腰三角形，这四个三角形的面积相等.

六、直角三角形斜边上中线的性质

wr—i—

性质数学语占主要应用图示

如图所示，在中，

直角三角形斜边

ZACB=9Qo,AD=BD,证明线段倍

上的中线等于斜

(或CD=AD分、相等关系

边的一半2

=BD)

【拓展】该性质的逆命题“如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形''仍然成立,

它可以用来判断一个三角形是否为直角三角形.

矩形的判定

4〃、、，XT-、

判定方法数学语百图形

在ABCD中，

有一个角是直鱼的平行四L

ZABC=90°,

边形是矩形（定义）

角AfiCZ)是矩形.

有三个角是直鱼的四边形在四边形中，

B------------7■»

是矩形•.NA=N8=NC=90。，

..四边形A8CD是矩形.

在ABCD41.AD

对角线相签的垩行四边形

对角线AC=BD,

是矩形

MABC。是矩形区

BC

七、菱形的定义及其性质

1.菱形：有一组邻边相等平行四边形叫做菱形.

【注意】

(1)菱形必须具备两个条件：①是垩如四边形；②是有一组邻边相签.这两个条件缺一不可.

(2)菱形的定义既是菱形的性质，也是菱形的判定方法.

2.菱形的性质：菱形是特殊的平行四边形，它除了具有平行四边形的所有性质外，还具有自身独特的性质，总结见下表.

山，、、，XT-,4.

性质数学语百图形

菱形的四条边都四边形ABC。是菱形，

边

相等:.AB=BC=CD=AD.A

菱形的两条对角四边形ABC。是菱形，

巷互相垂直,并且:.BD±AC,

对角线5令。

每一条对角线平Z.DAC=ABAC,ZACD=NAC仇

分一组对角ZABD=/CBD,ZADB=ZCDB.c

对称性菱形是轴对称图形,有两条对称轴

【注意】

(1)菱形的两条对称轴分别是两条对角线所在直线.

(2)菱形的两条对角线互相垂直，且把菱形分成四个全等的直角三角形.把菱形的性质与勾股定理相联系，可得对角线

与边之间的关系，即边长的平方等于两条对角线一半的平方和.

(3)如果菱形的一个内角为60。，那么菱形的两条边与较短的对角线构成的三角形为等边三角形.

3.菱形的面积

Uft、、/、=、，

公式由来文字语言数学语百图示

菱形是平行菱形的面积=

菱形S菱形ABCD=BC.AE/D

四边形.底乂局.

的面

菱形的面积=

积公菱形的对角

对角线长的S菱形AB。。=5A。•BD

式线互相垂直BEC

乘积的一半

【拓展】对角线互相垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半.

八、菱形的判定

、、，、T-、

判定方法数学语百图示

有一组邻边相等的在，ABCD,

军任四边形是菱形AB=BC,

A

(定义)..・“ABCD是菱形.

边

在四边形A8CO中，

四条边粗箜的四边

AB=BC=CD=AD,C

形是菱形.

..四边形ABC。是菱形.

在中，/

对角对角线互相垂直的

ACYBD,P_____

线西四边形是菱形

,•,(A8CD是菱形.(r

九、正方形的定义及其性质

1.正方形：有一组邻边相箜且有一个角是直鱼的西四边形叫做正方形.

【注意】

(1)正方形必须具备三个条件：①是平行四边形;②有一组邻边相等；③有一个角是直鱼.这三个条件缺一不可.

(2)正方形的四条边都相等，说明正方形时特殊的菱形；正方形的各个角都是直角，说明正方形时特殊的短形.即正方

形不仅是特殊的平行四边形，也是特殊的翅形和菱形.

2.正方形的性质

正方形具有平行四边形、矩形和菱形的所有性质.

元素性质

边对边平行,四条边都相等

角四个角都是直鱼

对角线两条对角线互相垂直平分且相等,每条对角线平分一组对通

对称性是轴对称图形,有四条对称轴

【注意】

(1)矩形、菱形，正方形都是特殊的平行四边形，它们之间的关系如图所示.

(2)正方形的面积=边长的平方=两条对角线长乘积的一半.

(3)正方形被两条对角线分成四个全等的等腰直角三角形，因此，在正方形中解决问题时常用到等腰三角形和直角三

角形的性质.

十、正方形的判定

1.先证明是矩形，再从矩形出发：(1)有一组邻边相等的矩形是正方形;(2)对角线互相垂直的维是正方形.

2.先证明是菱形，再从菱形出发：(1)有一个角是直角的菱形是正方形;(2)对角线担差的菱爬是正方形.

【注意】

(1)由上面的判定方法可以得到判定一个四边形为正方形的一般顺序为：先判定四边形是平行四边形，再判定该平行

四边形是矩形或菱形，最后判定该矩形或菱形是正方形.

第19章一次函数

一、一次函数的概念及性质

概念一般地，形如丫="+6_(幺，是常数，*#01_的函数,叫做一次函数(特别

地，当％=0时,y=一是正比例函数)

k的作用k的符号O函数增减性或图象的倾斜方向;内o直线的倾斜程度

/2的作用b的符号o直线与y轴交点的位置

图象女>0k<0

y[b>0

吃

经过的象b>Qb=0b<Qb>0b=0b<0

限\-------一、三、四一、二、四二、ra二、三、四

增减性y随的增大而增大y随的增大而减小

与坐标轴令广。，求对应的值，与轴的交点坐标为2;

的交点

令x=0,求对应的y值，与y轴的交点坐标为”.

二、一次函数图象的平移

平移情况解析式变化情况【温馨提示】

向上平移"(〃>0)个单位y=kx+b^>y=kx+b^n(1)简记为“左加右减自变量,上加下

向下平移〃(〃>0)个单位y=kx+h=>y=kx+b—n减常数项”;

向左平移m(m>0)个单位y=kx+b=>y=k(x+in)+b(2)直线y=fcr+b可以看作由直线

向右平移向加>0）个单位y=kX+b^y=k{x-m）+b,=履向上或向下平移回个单位得到

【拓展】

同一平面直角坐标系中两直线4：y=ktx+bt（kt*0）,/2：y=&川+久（内片0）的位置关系

%,右,々也的关系4与的关系

k\*42/,与/，相交

/,与/,相交于轴上的一点

k、—k-,,b、手Zz,/国垩任

三、一次函数的解析式

（1）谩：设所求一次函数的解析式为y=^+〃;

（2）代：将图象上的点4（西,乂）,8（巧,坊）的横坐标、纵坐标分别代换x,y,

待定系数法

得到方程组「=一+?

的步骤

[必=KX2+b;

（3）解：解关于幺〃的值代入尸质+8中，从而得到函数解析式

（1）两点型：直接运动技鳏数法求解；

常见类型（2）平移型：由平移前后”不变,设出平移后的函数解析式，再代入已知点

坐标即可

四、一次函数与一元一次方程的关系

1.一次函数与一元一次方程的关系

（1）从“数''上看：函数丫=日+次女*0）中，当y=0时，的值。方程.+Z?=°（.x°）的解.

（2）从“形”上看：函数v=fcr+仇1巨0）的图象与轴的交点的横坐标o方程"+°=°仅70）的解

2.利用一次函数的图象解一元一次方程的步骤

（1）转化：将一元一次方程转化为一次函数

（2）画图象：画出一次函数的图象

（3）找交直：找出一次函数图象与轴的交点，则交点的横坐标即一元一次方程的解.

【注意】

对于一次函数y="+8,已知的值，求y的值，或已知y的值求的值，就是把问题转化为关于，或的一元一次方程来求

解.

【拓展】

方程履+〃=n（kxO）的解=函数y=kx+l?{kNO）中，y=〃时的值；方程Ax+Z>="（A丰0）的解o函数y=kx+b[k#0）的

图象与直线y=〃的交点的横坐标.

五、一次函数与一元一次不等式的关系

因为任何一个以为未知数的一元一次不等式都可以变形为"+6>0或反+b<0（/*0）的形式，所以解一元一次不等式

可以看成求一次函数丫=依+）的函数值大于0或小于0时，自变量的取值范围.

一次函数>=履+匕与一元一次不等式Ax+6>0（或Ax+%<0）的关系如下：

不等于kx+b>0（A:H0）的解集O在函数y=Ax+b（kw0）中，

y>°时的取值范围

数的角度

不等式Ax+〃vO（Aw0）的解集O在函数y=Ax+〃（AwO）中，

一次函数与

里1时的取值范围

一元一次不

等式的关系不等式立+Z?>0（%。0）的解集O直线y=履+〃（女工0）在x

轴上方的部分所对应的的取值范围

形的角度

不等式丘+6<0（4片0）的解集Q直线y=心:+仇4=0）在x

轴上方的部分所对应的的取值范围

【拓展】

直线X=£x+4与直线=k2x+b2的交点的横坐标即为方程勺x+4=42*+2的解；不等

式凹>力（或乂<%）的解集就是直线乂=匕》+々在直线N=&x+么上（或下）方部分对

应的的取值范围.如图所示，方程A[x+伪=k2x+b2的解为x=a；不等式勺x+4>k2x+b2的

解集为x>a；不等式k]x+bl<k2x+b2的解集为x<a.

六、一次函数与二元一次方程（组）的关系

------------------------相互转化—LT——―---------------

一次函数一A"，屋V----~~►二兀一次方程Ih-/〃工川

一次函数U+h（A40）图——对应：二元一次方程I二

象上点的坐标<’的解

2.二元一次方程组,"4,巴也都不为0,且/也,心也,酒都是常数）的解是一次函数尸-尹+藁

和）•=_会詈图象的交点坐标.

b2b2

【注意】每个二元一次方程都对应一个一次函数，也就是对应一条直线，因此每个二元一次方程组都对应两个二亚

数，也就是对应两条直线.

3.用图象法求二元一次方程组的解的一般步骤

\kx—v4-b—0

(1)变函数：把方程组J''1一八,化为一次函数v=4x+々与，=%/+久.

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