题型强化练：一定是直角三角形吗（原卷版）

2/2一定是直角三角形吗课程标准学习目标①理解勾股定理逆定理；②掌握勾股数。1．经历勾股定理的逆定理的探索过程，知道勾股定理与逆定理的联系与区别；2．能用勾股定理的逆定理解决一些简单的实际问题；3．初步认识勾股定理的逆定理的重要意义，会用勾股定理就解决一些几何问题.知识点01勾股定理逆定理1.定义：如果三角形的三条边长，满足，那么这个三角形是直角三角形.注意：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形.（2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形.2.如何判定一个三角形是否是直角三角形（1）首先确定最大边（如）.（2）验证与是否具有相等关系.若，则△ABC是∠C＝90°的直角三角形；若，则△ABC不是直角三角形.注意：当时，此三角形为钝角三角形；当时，此三角形为锐角三角形，其中为三角形的最大边.【即学即练1】1．已知的三边分别为a，b，c，下列条件不能判定为直角三角形的是（

）A． B．C． D．2．如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，(1)求网格上的的周长．(2)请判断是不是直角三角形，并说明理由．(3)点P是边上的一个动点，则线段的最小值为．知识点02勾股数像15，8，17这样，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数.勾股数满足两个条件：①满足勾股定理②三个正整数【即学即练1】1．下列各组数是勾股数的是（）A．，， B．，， C．，，52 D．，，题型一勾股数的判断【典例1】下列四组数中，是勾股数的是（

）A．5，12，13 B．4，5，6 C．2，5，6 D．1，2，3【变式1】我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中，是“勾股数”的是（

）A．7，8，9 B．5，12，13 C．4，5，6 D．2，3，4【变式2】下列各组数是勾股数的是（

）A． B． C． D．【变式3】下列各组数中，为勾股数的是（

）A．9，40，41 B．5，6，7 C．，， D．，，题型二判断能否构成直角三角形【典例1】在中，，，的对边分别是a，b，c．下列条件不能说明是直角三角形的是（

）A． B．C． D．，，【变式1】满足下列条件的，其中是直角三角形的为（）A． B．C． D．【变式2】下列条件中，不能判断为直角三角形的是（）A．，， B．C． D．【变式3】中，、、的对边分别为、、，下列条件中，不能判定是直角三角形的是（

）A． B．C． D．题型三在网格中判断直角三角形【典例1】如图，在每个小正方形边长都为1的网格图中，顶点都在格点上，下列结论不正确的是（

）A． B．的面积为5C． D．点到的距离为【变式1】如图，在四个均由十六个小正方形组成的正方形网格中，各有一个三角形，那么这四个三角形中，不是直角三角形的是（

）A． B． C． D．【变式2】如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1．

(1)求的周长；(2)若点为直线上任意一点，则线段的最小值为________．【变式3】如图，四边形的四个顶点都在网格上，且每个小正方形的边长都为1．

(1)求四边形的面积；(2)判断线段和的位置关系，并说明理由．题型四利用勾股定理的逆定理求解【典例1】在四边形中，已知，，，．(1)连接，试判断的形状，并说明理由；(2)求的度数．【变式1】如图，在中，，垂足为．

(1)求的长；(2)判断的形状，并说明理由．【变式2】如图，在四边形中，已知，，，，．(1)求线段的长；(2)求证：是直角三角形．【变式3】如图，四边形中，，为对角线，于E，．(1)确定的度数；(2)求线段的长．题型五勾股定理逆定理的实际应用【典例1】如图，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（，，）在同一条直线上），并新修一条路，测得千米，千米，千米．问是否为从村庄到河边最近的路？请说明理由．

【变式1】如图，阳光中学有一块四边形的空地，为了绿化环境，学校计划在空地上种植草皮．经测量，若每平方米草皮需要100元，种植这块草皮需要投入多少资金?（其他费用不计）【变式2】如图，在笔直的公路旁有一座山，从山另一边的C处到公路上的停靠站A的距离为，与公路上另一停靠站B的距离为，停靠站A，B之间的距离为，为方便运输货物现要从公路上的D处开凿隧道修通一条公路到C处，且．(1)求证：；(2)求修建的公路的长．【变式3】如图，某社区有一块四边形空地，，，．从点A修了一条垂直的小路（垂足为E），E恰好是的中点，且．(1)求边的长；(2)连接，判断的形状；(3)求这块空地的面积．题型六勾股定理逆定理的拓展问题【典例1】在中，，设为最长边，当时，是直角三角形；当时，利用代数式和的大小关系，探究的形状（按角分类）．(1)当三边分别为6、8、9时，为________三角形；当三边分别为6、8、11时，为________三角形；(2)猜想：当________时，为锐角三角形；当________时，为钝角三角形；（填“>”或“<”或“=”）(3)判断：当时，当为直角三角形时，则的取值为___________；当为锐角三角形时，则的取值范围___________；当为钝角三角形时，则的取值范围___________．【变式1】定义：如图，点M，N（点M在N的左侧）把线段AB分割成AM，MN，NB．若以AM，MN，NB为边的三角形是一个直角三角形，则称点M、N是线段AB的购股分割．(1)已知M、N把线段AB分割成AM，MN，BN，若，，，则点M、N是线段AB的勾股分割点吗？请说明理由；(2)已知点M、N是线段AB的勾股分割点，且AM为直角边，若，，求BN的长．【变式2】阅读下列内容：设a，b，c是一个三角形的三条边的长，且a是最长边，我们可以利用a，b，c三条边长度之间的关系来判断这个三角形的形状：①若，则该三角形是直角三角形；②若，则该三角形是钝角三角形；③若，则该三角形是锐角三角形．例如：若一个三角形的三边长分别是4，5，6，则最长边是6，，故由③可知该三角形是锐角三角形，请解答以下问题：（1）若一个三角形的三边长分别是7，8，9，则该三角形是________三角形．（2）若一个三角形的三边长分别是5，12，x．且这个三角形是直角三角形，求的值．（3）当，时，判断的形状，并求出对应的的取值范围．【变式3】定义：若a，b，c是的三边，且，则称为“方倍三角形”．(1)对于①等边三角形②直角三角形，下列说法一定正确的是．A．①一定是“方倍三角形”

B．②一定是“方倍三角形”C．①②都一定是“方倍三角形”

D．①②都一定不是“方倍三角形”(2)如图，中，，，P为边上一点，将沿直线进行折叠，点A落在点D处，连接，．若为“方倍三角形”，且，求的面积．一、单选题1．下列是勾股数的是（

）A．1.5，2，2.5 B．11，12，23 C．9，40，41 D．6，7，82．在中，的对边分别为a，b，c，下列条件中，不能判定是直角三角形的是（）A． B．，，C． D．3．如图，小正方形组成的网格中，每个小正方形的顶点称为格点．点A，B，C，D，M，N均在格点上，其中点A，B，C，D能与点M，N构成一个直角三角形的是（

）A．点A B．点B C．点C D．点D4．如图，某港口M位于东西方向的海岸线上，胜利号，智能号两轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，胜利号、智能号两轮船每小时分别航行12海里和16海里，1小时后胜利号、智能号两轮船分别位于点A，B处，且相距20海里，如果知道胜利号轮船沿北偏西方向航行，则智能号轮船的航行方向是（

）A．北偏东 B．北偏西 C．北偏东 D．北偏西5．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，且点A，B，C均在格点上，则点B到线段的距离为（

）A．5 B． C．2 D．二、填空题6．若一个三角形的三边长之比为8∶15∶17，则它为三角形．7．如图，边长为1的正方形组成的方格网中，A、B、C都在格点上，则的度数为．8．在中，、、的对边分别为、、，且，若，则的大小是．9．我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题目：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块三角形沙田，三条边长分别为5里，12里，13里，问这块沙田面积有多大？题中的“里”是我国市制长度单位，1里，则该沙田的面积为．10．如图，在的正方形网格，其中每个小正方形的边长均为1，点A、B、C都在格点上，于点D，则的长为．三、解答题11．如图，在中选一点D，连接，使．已知，，，．(1)求的度数．(2)求阴影部分的面积．12．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题：(1)判断的形状，并说明理由；(2)求边上的高．13．如图，网格是由小正方形拼成的，每个小正方形的边长都为1，四边形的四个点都在格点上．(1)四边形的周长为，面积为．(2)求证：是直角．14．台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，在周围200千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心由西向东，从移动到，已知点是一个海港，且点与两点的距离分别为两点的距离为：．(1)求的度数；(2)海港会受到这次台风的影响吗？请说明理由．15．有一段关于古代藏宝图的记载（如图）：“从赤石（点A）向一棵杉树（点B）笔直走去，在其连线上的点D处向右转前进，到达唐伽山山脚下的一个洞穴（点C），宝物就在洞穴中．”若米，米，米．

(1)判断赤石、杉树、唐伽山形成的的形状，并说明理由；(2)求出洞穴到点D的距离．16．边长为1的正方形的顶点称为格点，如图1，图2中点A，B，C，D，E均为格点．(1)在图1中，的度数为______；(2)如图1，请仅用无刻度直尺作图，在上取一点M，使；(3)在图2中，请仅用无刻度直尺作图，作，，并直接写出的面积为______．17．综合与实践主题：检测雕塑(下图)底座正面的边和边是否分别垂直于底边．素材：一个雕塑，一把卷尺．步骤1：利用卷尺测量边，边和底边的长度，并测量出点之间的距离；步骤2：通过计算验证底座正面的边和边是否分别垂直于底边．解决问题：(1)通过测量得到边的长是60厘米，边的长是80厘米，的长是100厘米，边垂直于边吗？为什么？(2)如果你随身只有一个长度为的刻度尺，你能有办法检验边是否垂直于边吗？如果能，请写出你的方法，并证明．18．综合与实践【提出问题】学习完勾股定理后，思考它的逆命题：两边平方和等于第三边的平方的三角形是直角三角形，这个命题正确吗？教材是没有证明的．【先贤智慧】相传我国古代大禹在治水测量工程时，曾用下列的方法确定