第2章 实数 知识清单、易错总结（原卷版）

2/2第二章实数一、实数的概念和性质和统称为实数.

1.实数的分类按定义分：按与0的大小关系分：实数实数2.实数与数轴上的点一一对应.数轴上的任何一个点都，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应.3.实数的三个非负性及性质：

在实数范围内，正数和零统称为非负数。我们已经学习过的非负数有如下三种形式：

（1）任何一个实数的绝对值是非负数，即；

（2）任何一个实数的平方是非负数，即；

（3）任何非负数的算术平方根是非负数，即().

非负数具有以下性质：

（1）非负数有最小值零；

（2）有限个非负数之和仍是非负数；

（3）几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0.二、平方根与立方根类型项目平方根立方根被开方数非负数任意实数符号表示性质一个正数有平方根，且互为相反数；零的平方根为零；负数没有平方根；一个正数有一个；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零；重要结论三、二次根式1.二次根式的概念:一般地，我们把形如的式子的式子叫做二次根式，称为称为二次根号．如都是二次根式.2.二次根式满足条件：（1）必须含有；（2）被开方数必须是.3.二次根式有无意义的条件①二次根式有意义：被开方数为，即；②二次根式无意义：被开方数为，即；4.二次根式的性质①二次根式（）的（）表示的算术平方根，也就是说，（）是一个非负数，即（）．②二次根式的性质：（）③二次根式的性质：四、最简二次根式与同类二次根式1.最简二次根式（1）最简二次根式的概念：（1）被开方数，（2）被开方数中2.同类二次根式（1）同类二次根式概念：化简后的二次根式叫做同类二次根式。（2）合并同类二次根式的方法：把，，合并的依据式乘法分配律，如五、二次根式的运算1.二次根式的乘法（1）二次根式的乘法法则：（二次根式相乘，把被开方数相乘，根的指数不变）（2）二次根式的乘法法则的推广:①②，即当二次根式前面有系数时，可类比单项式乘单项式的法则进行计算，即将系数之积作为系数，被开方数之积作为被开方数.（3）二次根式的乘法法则的逆用：（二次根式的乘法法则的逆用实为积的算数平方根的性质）（4）二次根式的乘法法则的逆用的推广：2.二次根式的除法（1）二次根式的除法法则：（二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变）（2）二次根式的除法法则的推广：.3.二次根式的加减法（1）二次根式加减法则：先将二次根式化成，再将的二次根式进行合并。（2）二次根式加减运算的步骤：①：将各个二次根式化成最简二次根式；②：找出化简后被开方数相同的二次根式；③：合并被开方数相同的二次根式——将”系数”相加作为和的系数，根指数与被开方数保持不变。4.二次根式的混合运算二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样：，，，有括号的先算（或先去掉括号）易错点1利用二次根式的性质化简易错点总结忽略二次根式中被开方数的非负性，比如在化简\sqrt{a^2}时，直接得出a，而未考虑a的正负；对二次根式性质的运用条件把握不准。注意事项化简前先明确被开方数的取值范围；运用性质时严格遵循条件。计算过程中仔细判断符号，多进行分类讨论，做完后检查化简结果是否符合二次根式的定义和性质。例1-1：已知，化简：．例1-2：把中根号外的a移入根号内，则．易错点2复合二次根式的化简易错点总结一是忽略对被开方数整体的分析，盲目拆分。二是没有考虑化简结果的形式，化简不彻底，或者在开方运算时，没有注意到算术平方根的非负性，出现符号错误。注意事项化简前仔细观察被开方数的特征，寻找合适的拆分组合；牢记算术平方根的非负性，在开方运算时，对结果进行符号判断和验证，确保化简结果最简且符合数学规则。例2：先阅读下列解答过程：材料一：形如的式子的化简，只要我们找到两个正数，使，即，，那么便有．例如：化简．解：首先把化为，这里，，由于，，即，，所以．材料科二：如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化．例如：，请根据材枓解答下列问题：(1)填空：①______；

②______．(2)化简：（诸写出计算过程）；(3)化简：．易错点3与二次根式运算有关的新定义型题易错点总结一方面，对新定义理解不透彻，没准确把握运算规则就盲目套用。比如新定义中规定了特定的运算优先级，却按常规四则运算顺序进行计算。另一方面，忽略新定义的适用条件，在不符合条件的情况下使用新定义运算，导致结果错误。注意事项拿到题目后，反复研读新定义，圈画关键信息，明确运算规则与适用范围。在解题过程中，每一步运算都对照新定义检查，做完后再次核对是否符合新定义的要求，确保运算的准确性。例3：定义：任意两个数、，按规则扩充得到一个新数，称所得的新数为“如意数”．(1)若，，求出、的“如意数”；(2)已知，且、的“如意数”，求的值．易错点4与二次根式运算有关的规律题易错点总结其一，归纳规律时样本数量不足，仅依据少数几个计算结果就匆忙得出结论，导致规律总结错误。例如，只计算了前两三个二次根式的运算结果就总结通用规律。其二，没有深入分析数字或式子结构的特征，忽略了隐藏条件或变化趋势，像没发现根式中被开方数的底数或指数的变化规律。注意事项尽可能多地列举运算结果，扩大观察样本，提高规律准确性。同时，仔细剖析二次根式的结构，包括被开方数、系数等部分的变化，从多角度思考，确保准确归纳出规律。例4：特例感知化简：；解：；(1)请在横线上直接写出化简的结果：①______；②______．观察发现(2)第个式子是（为正整数），请求出该式子化简的结果（需要写出推理步骤）．拓展应用(3)从上述结果中找出规律，并利用这一规律计算：①；②．一、单选题1．若，则可化简为（）A． B． C． D．2．现对实数，定义一种运算：，则等于（

）A． B． C． D．3．一组数据按一定规律排列：，2，，，，，，…这组数据的第n项是（

）A． B． C． D．二、填空题4．按规律排列的一组数：3，，，12，，则这组数的第9个数是．5．现定义一个新运算“※”，规定对于任意实数，都有，则的值为．6．已知实数a的取值范围是，化简代数式．的值为．三、解答题7．观察下列各式：；；．(1)请你根据上面三个等式提供的信息，猜想：________；(2)请你按照上面每个等式反映的规律，写出用m（m为正整数，）表示的等式：__________；(3)利用上述规律计算：．8．定义：若二次根式可以表式成的形式（其中，，，都是整数），则称为完整根式，是的完整平方根．例如：因为，所以是一个完整根式，是的完整平方根．(1)判断：是否是完整根式的完整平方根，并说明理由；(2)若完整根式的完整平方根是，请用含，的代数式分别表示，；(3)若是完整根式，证明：一定是完全平方数．9．阅读下列解题过程，解答问题．；；；…(1)，；(2)观察上面的解题过程，求（为自然数）；(3)计算：．10．【阅读理解】小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如．善于思考的小