题型强化练：二次根式的加减法（原卷版）

2/2二次根式的加减法课程标准学习目标①同类（最简）二次根式的定义②掌握二次根式的加减法法则1．理解同类二次根式的定义；2．掌握合并化简后被开方数相同的最简二次根式的方法；3．掌握二次根式的加减法则，会运用法则进行二次根式的加减运算；4.能应用运算律及乘法公式熟练地进行二次根式的混合运算。知识点01同类二次根式1.同类二次根式概念：化简后被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式。2.合并同类二次根式的方法：把根号外的因数（式）相加，根指数和被开方数不变，合并的依据式乘法分配律，如【即学即练1】1．下列二次根式中与是同类二次根式的是（

）A． B． C． D．知识点02二次根式的加减1.二次根式加减法则：先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。2.二次根式加减运算的步骤：①化：将各个二次根式化成最简二次根式；②找：找出化简后被开方数相同的二次根式；③合：合并被开方数相同的二次根式——将”系数”相加作为和的系数，根指数与被开方数保持不变。【即学即练2】1．计算：(1)(2)知识点03二次根式的混合运算二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样：先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的（或先去掉括号）【即学即练3】1．计算下列各小题．(1)；(2)．2．计算：(1)；(2)；(3)．题型01同类二次根式的判断【典例1】下列根式中，与是同类二次根式的是（

）A． B． C． D．【变式1】下列二次根式中，与是同类二次根式的是（

）A． B． C． D．【变式2】下列各组二次根式中，属于同类二次根式的是（）A．和 B．和 C．和 D．和【变式3】下列各组二次根式中，为同类二次根式的是（

）A．和 B．和C．和 D．和题型02已知同类二次根式求参数【典例2】如果与最简二次根式是同类二次根式，那么．【变式1】当时，最简二次根式与可以合并．【变式2】若最简二次根式与可以合并，则，．【变式3】若与最简二次根式能合并，则的值为．题型03二次根式的加减运算【典例3】计算：(1)；(2)．【变式1】计算【变式2】计算：．【变式3】计算：(1)；(2)．题型04二次根式的混合运算【典例4】计算：(1)；(2)．【变式1】计算：(1)；(2)．【变式2】化简．(1)；(2)(3)(4)【变式3】计算：(1)(2)题型05比较二次根式的大小【典例5】比较大小：（1）8；（2）．【变式1】比较下列实数的大小：．【变式2】比较大小：．（填“”，“”，或“”）【变式3】比较大小：．（填“＞”“＜”或“＝”）题型06分母有理化【典例6】[核心素养]阅读下面的解答过程：；；……根据以上解答过程解决下列问题：(1)；(2)试求的值．【变式1】阅读材料：在解决问题“若，求的值”时，小俊是这样分析与解答的：∵，∴，∴，∴．∴．请你根据小俊的解答过程，解决如下问题：(1)化简：；(2)若，求的值．【变式2】阅读材料：像两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如，与、与、与等都是互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．根据以上阅读材料回答下列问题：(1)计算：；(2)计算：．【变式3】阅读下列材料，然后回答问题：在进行二次根式运算时，我们有时会碰上如、、一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）以上这种化简的步骤叫做分母有理化．还可以用以下方法化简：（Ⅳ）(1)请用不同的方法化简①参照（Ⅲ）式得；②参照（Ⅳ）式得；(2)化简：．题型07已知字母的值，化简求值【典例7】计算：已知，，，求的值．【变式1】若，，求下列各式的值．(1)；(2)．【变式2】已知，求下列代数式的值．(1)；(2)．【变式3】已知求下列各式的值：(1)和；(2)题型08已知条件式，化简求值【典例8】已知，，求的值．【变式1】已知实数满足，求的值．【变式2】若x，y为实数，且，求的值．【变式3】若x，y为实数，且．求的值．题型09二次根式的应用【典例9】我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了著名的秦九韶公式，也叫三斜求积公式，即若一个三角形的三边长分别为，，，则该三角形的面积满足公式：．现已知的三边长分别为1，3，，求的面积．【变式1】在一个长为，宽为的长方体塑料容器中装满水，然后将这个塑料容器内的一部分水倒入一个高为的圆柱形玻璃容器中，当玻璃容器装满水时，塑料容器中的水面下降了．求圆柱形玻璃容器的底面半径．【变式2】如图，木工师傅在一块长方形木料上截出两块面积分别为和的正方形木板．(1)截出的两块正方形木板中，小正方形木板的边长为，大正方形木板的边长为；（结果需化简）(2)求原长方形木料的面积；(3)木工师傅想从剩余矩形木料中截出一块正方形木板，这块正方形木板的边长是否可以是，请说明理由．【变式3】实数与数轴上的点是一一对应的，有理数中的相关概念，运算法则，运算律同样适合于实数，请根据实数的相关知识，解决下列问题：(1)如图①，数轴上表示1，的对应点分别为A，B，点B到点A的距离与点C到点O的距离相等，设点C所表示的数为x，求的值；(2)如图②，在一个长方形中无重叠放入面积分别为和的两张正方形纸片，求图中阴影部分的面积．题型10二次根式中的新定义型问题【典例10】定义：我们将与称为一对“对偶式”．因为，可以有效的去掉根号，所以有一些问题可以通过构造“对偶式”来解决．例如：已知，求的值，可以这样解答：因为，所以．(1)已知：，求的值；(2)结合已知条件和第①问的结果，解方程：；(3)计算：．【变式1】对于任意实数a，b，定义一种运算“”如下：．如：．(1)______，______；(2)已知，求的值．【变式2】定义：若两个二次根式a、b满足，且c是有理数，则称a与b是关于c的共轭二次根式．(1)若a与是关于10的共轭二次根式，则；(2)若与是关于12的共轭二次根式，求m的值．【变式3】定义：任意两个数，，按规则扩充得到一个新数，称所得的新数为“如意数”．(1)若，，求出，的“如意数”．(2)如果，，求，的“如意数”，并证明“如意数”．(3)已知，且，的“如意数”，求的值．一、单选题1．下列二次根式中，不能与合并的是（

）A． B． C． D．2．估计的值应在（）A．5和6之间 B．4和5之间 C．7和8之间 D．6和7之间3．下列计算正确的是（）A． B．C． D．4．如图，矩形内有两个相邻的正方形，其面积分别为和，则图中阴影部分的面积为（

）A． B． C． D．5．对于任意的正数m，n，定义运算※：，计算的结果为（

）A． B． C．4 D．32二、填空题6．计算：．7．比较下列各数大小：①；②；③．8．若最简二次根式和可以合并，则．9．如图是一个简单的数值运算程序，若输入x的值为的小数部分，则输出的数值为．10．若，，则的值为．三、解答题11．计算：(1)(2)12．计算题：(1)(2)13．计算：(1)；(2)；(3)．14．我们知道式子，不是最简结果，我们可以这样进行化简，如：，．这样的化简过程叫做分母有理化．我们把叫做的有理化因式，叫做的有理化因式，完成下列各题．(1)的有理化因式是，的有理化因式是；(2)请你尝试化简：．15．我们规定用表示-对数对，给出如下定义：记，（，），将与称为数对的一对“对称数对”，例如：的一对“对称数对”为与．(1)数对的一对“对称数对”是________和________；(2)若数对的一对“对称数对”的一个数对是，求x的值；(3)若数对的一对“对称数对”的一个数对是，求的值．16．观察下列各式及其验证过程．；．验证：；．(1)按照上面两个等式及其验证过程的基本思路，猜想：_______，______；(2)通过上述探究，猜想______（，且n为整数），并验证你的结论；(3)计算：17．我们将、称为一对“对偶式”，因为，所以构造“对偶式”再将其相乘可以有效的将和中的“”去掉于是二次根式除法可以这样解：如，像这样，通过分子，分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫做分母有理化根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答以下问题：(1)比较大小__________用“”、“”或“”填空；(2)已知，，求的值；(3)计算：．18．文化我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三