题型强化练：估算、比较无理数的大小（解析版）

2/2估算、比较无理数的大小课程标准学习目标①掌握估算的方法②会利用估算法比较大小1.会估算一个无理数的大致范围；2.比较两个无理数的大小．知识点01估算【微点拨】日常生活中有些数据不需要十分精确时，可以通过应用所学知识进行估算，但要尽可能地减小误差，方法要科学．估算法：（1）若，则；（2）若，则；根据这两个重要的关系，我们通常可以找距离a最近的两个平方数和立方数，来估算和的大小．例如：，则；，则．常见实数的估算值：，，．【即学即练1】1.估计的值在（

）A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间【答案】A【分析】根据无理数估算大小的方法即可求解．【详解】解：∵，且，∴，∴，故选：．【点睛】本题主要考查无理数比较大小，掌握无理数估算大小，比较大小的方法是解题的关键．2.若a和b为两个连续整数，且，那么，．【答案】34【分析】根据，可得：的值，进而即可求解．【详解】，又为两个连续整数，，故答案为：3；4．【点睛】本题主要考查算术平方根的估算，掌握算术平方根的意义，是解题的关键．知识点02比较无理数的大小①平方（立方）②估算法注意：还有其他比较实数大小的方法，如数形结合法（数轴上右边的实数始终比左边的大），作差法，作商法等．【即学即练1】1.比较大小：-32-【答案】>【分析】此题主要考查了实数的大小的比较，要比较的两个数都是带根号的无理数时，应把根号外的数整理到根号内，然后比较被开方数．也可以采用求近似值的方法来进行比较．因为相比较的两个数都带根号，所以应把根号外的数整理到根号内，然后比较被开方数的大小即可．【详解】解：32∵18<∴-3故答案为：>题型01估计算术平方根的取值范围【典例1】（2024九年级下·新疆·专题练习）估计5的值在（）A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间【答案】A【分析】本题考查了估算无理数的大小，熟练掌握平方数，算术平方根，是解题的关键．根据4<5<9，得到4<5<【详解】解：∵4<5<9，∴4<5<故选：A．【变式1】（23-24七年级下·重庆秀山·阶段练习）估计27+1的值应在（

A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间【答案】D【分析】本题主要考查了无理数的估算，根据25<27<36得到5<27<6，则【详解】解：∵25<27<36，∴5<27∴6<27故选：D．【变式2】（23-24八年级下·安徽淮北·期末）估算17×3-4A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间【答案】C【分析】本题考查无理数的估值计算．根据题意可得17×【详解】解：∵17×∴17×3-4的结果在3故选：C．【变式3】（23-24七年级下·重庆·期末）估算4-5的值（

A．在0到1之间 B．在1到2之间C．在2到3之间 D．在3到4之间【答案】B【分析】本题考查无理数的估算，夹逼法求出无理数的范围即可．【详解】解：∵4<∴2<5∴-3<-5∴1<4-5故选B．题型02无理数的大小估算【典例2】（22-23八年级上·河南开封·期末）把无理数17，11，5，3表示在数轴上，在这四个无理数中，被墨迹（如图所示）覆盖住的无理数是．【答案】11【分析】本题考查了实数与数轴，估算无理数的大小即可得出答案，估算无理数的大小是解题的关键．【详解】解：∵4<17<5，∵3<11<4，∵2<5<3，∵1<3<2，故答案为：11．【变式1】（23-24八年级上·全国·单元测试）估算下列数的大小：（1）3120≈(结果精确到1（2）14.8≈(结果精确到0.1)【答案】53.8【分析】此题主要考查了无理数的估算能力，解决本题关键会用“夹逼法”．（1）由43（2）由于9<14.8<16，由此即可找到所求的无理数在哪两个和它接近的有理数之间，然后即可判断出所求的无理数的大小．【详解】解：（1）∵4120更接近125，∴3（2）∵9<14.8<16，∴3<14.8∵3.814.8更接近14.44，∴14.8故答案为：5；3.8．【变式2】（23-24八年级下·山东烟台·期末）写出一个介于-3和-10之间的整数【答案】-2【分析】本题考查了估算无理数的大小，熟知估算无理数大小要用逼近法是解题的关键．直接根据无理数比较大小即可得出结果．【详解】解：∵-10∴介于-3和-10之间的数为：故答案为：-2．【变式3】（22-23七年级下·四川广安·阶段练习）28在两个连续整数a和b之间，a<28<b，那么a+b的立方根是【答案】3【分析】本题考查的是无理数的估算，立方根；此题的关键在于估算28的大小，并找出其两侧的连续整数．通过比较28与完全平方数的大小来确定28的范围，进而求得a,b的值，即可求解．【详解】∵5的平方等于25，6的平方等于36，25即：5<由此可知，a和b分别是28两侧的连续整数，即a=5，b=6∴a+b=5+6=11，∴a+b的立方根是311故答案为：311题型03无理数大小的比较【典例3】（23-24七年级下·辽宁葫芦岛·期末）比较大小：7-1【答案】<【分析】本题考查的是实数的大小比较，先确定7-1【详解】解：∵2<7∴1<7∴7故答案为：<．【变式1】（22-23八年级上·内蒙古兴安盟·开学考试）比较大小：2-21（填“>”“<”或“=”【答案】<【分析】此题主要考查了实数比较大小，正确估算无理数的大小是解题关键．直接利用估算无理数的大小方法分析可得出答案．【详解】解：∵1<2∴0<2-2故答案为：<．【变式2】（23-24七年级下·甘肃武威·期末）比较大小：1.55+1【答案】＜【分析】本题考查了实数比较大小，熟练掌握无理数的估算是解题的关键．根据无理数的估算方法得出5＜2.5，再比较大小即可．【详解】∵4<5，∴2<5∴2+1<5∴32<故答案为：＜【变式3】（23-24七年级下·山东济宁·期末）比较大小：5+13．(填“>”“<”或“=【答案】>【分析】本题考查的是无理数的估算，根据2<5【详解】解：∵2<5∴3<5∴5+1>3故答案为：>题型04无理数整数部分的有关计算【典例3】（23-24七年级下·内蒙古通辽·期末）已知5+7的小数部分为a，5-7的小数部分为b，则a+b【答案】1【分析】本题主要考查估算无理数的大小，求得a，b的值是解题的关键．先估算出5+7的整数部分，然后可求得a的值，在估算出5-7的整数部分，可求得【详解】解：∵4<7<9，∴2<∴7<5+7<8，∴a=5+7-7=7∴a+b2024故答案为：1．【变式1】（23-24七年级下·山东临沂·期末）设4+5的整数部分是a，小数部分是b，则a-b=【答案】8-5/【分析】考查了估计无理数，得出a，b的值是解题关键．根据无理数大小可得出a，b的值，再代入计算即可．【详解】解：∵4<5<9，∴2<5∴4+2<4+5<4+3∵4+5的整数部分是a，小数部分是b∴a=6，b=5则a-b=6-5故答案是8-5【变式2】（23-24七年级下·安徽马鞍山·期末）已知a的立方根是2，b是12的整数部分，则a+b的算术平方根是．【答案】11【分析】本题考查了立方根与算术平方根、无理数的估算，熟练掌握立方根与算术平方根的性质是解题关键．先根据立方根的性质求出a的值，再根据无理数的估算可得b的值，然后根据算术平方根的性质求解即可得．【详解】解：∵a的立方根是2，∴a=2∵9<12<16，∴9<12<∵b是12的整数部分，∴b=3，∴a+b=8+3=11，则a+b的算术平方根是11，故答案为：11．【变式3】（22-23七年级下·湖北黄冈·期中）阅读下面的文字，解答问题：大家知道2是无理数，因此2的小数部分我们不可能全部地写出来2-1来表示2的小数部分，小明的表示方法是有道理的，因为2，将这个数减去其整数部分，差就是2，又例如∵22<72<32，即2<请解答：(1)11的整数部分是，小数部分．(2)如果5的小数部分为a，41的整数部分为b，则a+b-5(3)已知x是3-5的整数部分，y是其小数部分，直接写出x-y【答案】(1)3，11(2)4(3)5【分析】本题考查了估算无理数的大小和求代数式的值，能估算出无理数的大小是解此题的关键．（1）先估算出11的范围，再求出即可；（2）先估算出5和41的范围，再求出a、b的值，最后求出代数式的值即可；（3）先求出3-5的范围，再求出x、y【详解】（1）解：∵9∴3<11∴11的整数部分是3，小数部分是11故答案为：3，11-3（2）解：∵4<5∴2<5<3，∴a=5-2，∴a+b-5（3）解：∵2<5∴-2>-5∴1>3-5∴x=0，y=3-5∴x-y=0-3-一、单选题1．（23-24七年级下·广东珠海·期中）估计的值是在（

）A．1到2之间 B．2到3之间 C．3到4之间 D．4到5之间【答案】B【分析】本题考查估算无理数大小，解题的关键是掌握算术平方根的定义，能估算无理数大小．由，可得，即可得到答案．【详解】解：，，故选：B2．（23-24七年级下·安徽安庆·期末）估计的值应在（

）A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间【答案】C【分析】本题主要考查了无理数的估算，根据题意得到是解题的关键．先估算出的范围，再得到的范围，即可求解．【详解】解：，，，估计的值应在5和6之间，故选：．3．（2024·四川资阳·中考真题）若，则整数m的值为（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】此题考查了无理数的估算，解题的关键是熟练掌握无理数的估算方法．首先确定和的范围，然后求出整数m的值的值即可．【详解】解：∵，即，，即，又∵，∴整数m的值为：3，故选：B．4．（23-24八年级上·全国·单元测试）若一个正方体水晶砖的体积为100，则它的棱长约在（

）A．之间 B．之间 C．之间 D．之间【答案】D【分析】本题考查无理数的估算，熟练掌握估算无理数大小的方法是解题的关键．由题意可得正方体的棱长为，然后进行估算即可．【详解】解：∵一个正方体的水晶砖的体积为100，其棱长为，，，，，即它的棱长大约在之间，故选：D．5．（22-23八年级上·河南南阳·期中）若是的算术平方根，是的小数部分，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查了算术平方根的概念和无理数的估算，根据算术平方根的概念和无理数的估算求出，即可，熟练掌握算术平方根的概念和无理数的估算是解题的关键．【详解】解：∵是的算术平方根，∴，∵，即，∴，∴，故选：．二、填空题6．（22-23七年级上·浙江宁波·期中）请写出一个大于而小于的无理数．【答案】（答案不唯一）【分析】本题考查了无理数的定义和实数的大小比较，能熟记无理数的定义的内容是解此题的关键．本题是一道开放型的题目，答案不唯一，根据无理数的定义和已知写出一个即可．【详解】解：大于而小于，即符合题意的有：，故答案为：（答案不唯一）．7．（23-24九年级上·海南省直辖县级单位·期末）与最接近的整数是．【答案】7【分析】本题考查估算无理数的大小．估算无理数的大小，再确定更接近的整数，进而得出答案．【详解】解：∵，∴，∴，∴最接近的整数是7，故答案为：7．8．（23-24七年级下·新疆伊犁·期末）比较大小：（1），（2）【答案】【分析】本题考查实数的大小比较，根据平方法和估算法，进行判断即可．【详解】解：∵，∴，∴；∵，∴，∴，∴，即：；故答案为：；．9．（22-23八年级上·广西南宁·开学考试）已知a，b为两个连续整数，且，则．【答案】7【分析】本题主要考查了无理数大小的估算以及代数式求值，先估算出即可得出，，，再代入代数式求值即可．【详解】解：∵，∴，∵a，b为两个连续整数，且，∴，，∴．故答案为：7．10．（23-24八年级下·内蒙古鄂尔多斯·期末）已知，，，．若n为整数且，则n的值是．【答案】44【分析】本题考查的是估算无理数的大小，熟练掌握无理数估算的方法是解题的关键．根据题意可知：，，为整数且，即，因此，即可得出结果．【详解】解：，，为整数且，，，，，故答案为：44．三、解答题11．（23-24八年级上·山西运城·期末）已知，的平方根是，是的整数部分．(1)求的算术平方根；(2)求的立方根．【答案】(1)4(2)【分析】（1）根据平方根的定义以及估算无理数大小的方法得出，，的值，进而得出代数式的值，根据算术平方根（2）先求出a，b，c的值，再利用立方根的定义求出答案．【详解】（1）解：，，解得，的平方根是，，解得，，的整数部分．把，，代入得，原式，的算术平方根是4，的算术平方根为4；（2）解：由（1）知：，，，∴．的立方根是，的立方根为．【点睛】本题考查了算术平方根、平方根、立方根及估算无理数的大小等知识点，能够理解和明确已知中相关概念及其性质是解答问题的关键．12．（23-24七年级下·江西宜春·期末）根据表回答问题：x1616.116.216.316.416.516.616.716.8256259.21262.44265.69268.96272.25275.56278.89282.24(1)272.25的平方根是；(2)，；(3)设的整数部分为m，求的立方根．【答案】(1)(2)163；1.66(3)【分析】本题主要考查无理数的估算和平方根：（1）根据平方根的定义进行计算即可；（2）开二次方时，被开方数的小数点每向右或向左移动两位时，结果小数点向右或向左移动一位，由此计算即可；（3）根据可得，则的整数部分，，再求出的立方根为【详解】（1）解：∵，∴272.25的平方根是，故答案为：；（2）解：∵开二次方时，被开方数的小数点每向右或向左移动两位时，结果小数点向右或向左移动一位，∴，，故答案为：163，1.66；（3）解：，，的整数部分，，的立方根为．13．（22-23七年级上·浙江·期中）请回答下列问题：(1)介于连续的两个整数和之间，且，那么__________，____________．(2)是的小数部分，是的整数部分，求____________，____________．(3)求的立方根．【答案】(1)2；3(2)；3(3)2【分析】本题考查无理数的估算及立方根的定义，结合已知条件求得对应字母的值是解题的关键．（1）估算出在哪两个连续整数之间即可；（2）结合（1）中所求，估算出，分别在哪两个连续整数之间即可求得，的值；（3）将，的值代入中计算后，根据立方根的定义即可求得答案．【详解】（1），，介于连续的两个整数和之间，且，，，故答案为：2；3；（2），，，则，，故答案为：；3；（3）结合（2）可得，故的立方根为：2．14．（23-24七年级下·河南安阳·期末）观察：∵，即，∴的整数部分为2，小数部分为．规定符号表示实数m的整数部分，例如：，，请你运用上述规律解决下面的问题：(1)按此规定________；(2)如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值．【答案】(1)(2)【分析】此题考查了无理数的估算．（1）先估算出，得到，根据定义即可得到答案；（2）先估算出的小数部分，的整数部分为，进一步计算即可得到答案．【详解】（1）解：∵，∴，∴，∴，故答案为：（2）∵，即，∴的整数部分为2，小数部分．

∵，即，∴的整数部分．

∴．

∴．∴．15．（23-24七年级下·新疆乌鲁木齐·期中）根据表回答下列问题：x1717.117.217.317.417.517.617.717.817.918x2289292.41295.84299.29302.76306.25309.76313.29316.84320.41324(1)316.84的平方根是；(2)＝，＝；(3)若介于17.6与17.7之间，则满足条件的整数n有个；(4)若小数部分为m，求的值．【答案】(1)；(2)171；1.77(3)4(4)315【分析】本题考查平方根，算术平方根，估算无理数大小，无理数小数部分有关的计算．（1）根据平方根的定义求解即可；（2）根据算术平方根的规律求解即可；（3）根据，得，（4）根据，得出，则，所以小数部分，再代入计算即可．【详解】（1）解：∵，∴316.84的平方根是，故答案为：；（2）解：开二次方时，被开方数的小数点每向右或左移动两位时，结果小数点每向右或左移动一位，∵，∴，∵，∴，故答案为：171；1.77．（3）解：∵介于17.6与17.7之间，∴，∴，∴满足条件的整数n有310，311，312，313，∴整数n有4个，故答案为：4．（4）解：∵，∴17.7，∴，∴小数部分，∴．16．（23-24七年级下·广东珠海·期中）先阅读下面的文字，然后解答问题．大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，因为的整数部分是1，差就是小数部分．由此我们还可以得到一个真命题：如果，其中x是整数，那么，请解答下列问题：(1)如果，其中是整数，且，那么，；(2)已知，其中是整数，且，求的值．【答案】(1)3，(2)【分析】此题考查了估算无理数的大小，解题关键是确定无理数的整数部分即可解决问题．（1）估算出，可得，依此即可确定出，的值；（2）根据题意确定出与的值，代入求出即可．【详解】（1）解：，其中是整数，且，，，，，则；（2）解：，其中是整数，且，，，则．17．（23-24七年级下·山西忻州·期末）下面是小明在学习“无理数的估算”时做的学习笔记．无理数的估算：大家知道