2025年大学《数理基础科学》专业题库- 数论中的难题求解思路

2025年大学《数理基础科学》专业题库——数论中的难题求解思路考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、选择题（每题4分，共20分）1.设整数n≥2，则n的奇数幂d(n)=Σ_{d|n,d为奇数}d定义为n的“奇数幂和”。若p为奇素数，q为奇素数，且p≠q，则d(pq)等于？A.p+qB.p²+q²C.pqD.p²q+pq²2.已知整数x满足x²≡1(mod15)，则x可能的取值模15有？A.4个B.5个C.8个D.10个3.设a,b为正整数，且gcd(a,b)=1。若a²+b²能被4整除，则a和b中奇数的个数一定是？A.0个B.1个C.2个D.无法确定4.费马小定理指出，若p是素数，a是整数且p∤a，则aⁿ⁻¹≡1(modp)。该定理在a≡0(modp)时是否仍然成立？A.成立B.不成立C.部分成立D.取决于n的值5.下列哪个数一定是合数？（注：合数指大于1且非素数的正整数）A.2ⁿ-1，其中n为正整数B.2ⁿ+1，其中n为正整数C.p²+1，其中p为素数D.p²-1，其中p为素数二、填空题（每题3分，共15分）1.设n为正整数，若n²+n被7整除，则n模7的取值范围是________。2.已知x≡3(mod5)且x≡2(mod7)，则x模35的解是________。3.设p为奇素数，则p²-1可以分解为________两个整数的乘积。4.一个整数能被6整除，但被9不能整除，则它被18整除的情况是________（填“可能”、“不可能”或“必然”）。5.欧拉函数φ(n)表示小于n的正整数中与n互素的数的个数。若n=p₁ᵃ¹p₂ᵃ²...pₖᵃᵏ为素数幂乘积形式，则φ(n)=n(1-1/p₁)(1-1/p₂)...(1-1/pₖ)的证明通常基于________性质。三、计算题（每题5分，共25分）1.计算：Σ_{k=1}^{10}(5+2k)mod7。2.求满足x²≡4(mod13)的所有整数x。3.已知a=17,b=31，计算gcd(17,31)和lcm(17,31)。4.求满足x≡3(mod5)且x≡1(mod6)的最小正整数x。5.对于正整数n，计算φ(n)的值。例如，n=12时，φ(12)=?；n=18时，φ(18)=?四、证明题（每题10分，共20分）1.证明：若正整数n能被4整除，则n²除以4的余数总是0。2.证明：若p是素数，且a²≡b²(modp)，则a≡b(modp)或a≡-b(modp)。五、综合应用题（共20分）已知整数n≥2，考虑以下两个条件：（1）n²-1能被6整除；（2）n²-1能被n+1整除。证明：若n同时满足条件（1）和（2），则n一定是合数。试卷答案一、选择题1.C2.B3.C4.A5.D二、填空题1.{0,2,4}2.233.(p-1)(p+1)4.可能5.互素三、计算题1.计算：Σ_{k=1}^{10}(5+2k)mod7。解析思路：首先计算和Σ_{k=1}^{10}(5+2k)=5*10+2*(1+2+...+10)=50+2*(10*11/2)=50+110=160。然后计算160mod7。160÷7=22余6。所以结果为6。答案：62.求满足x²≡4(mod13)的所有整数x。解析思路：尝试x=0,1,2,...,12，计算x²mod13。0²=0,1²=1,2²=4,3²=9,4²=16≡3,5²=25≡12,6²=36≡10,7²=49≡10,8²=64≡9,9²=81≡3,10²=100≡9,11²=121≡3,12²=144≡1。所以x≡2或x≡11(mod13)。答案：x≡2(mod13),x≡11(mod13)3.已知a=17,b=31，计算gcd(17,31)和lcm(17,31)。解析思路：17和31都是素数，且互不相同。根据算术基本定理，它们的最大公约数gcd(17,31)=1。最小公倍数lcm(17,31)=a*b=17*31=527。答案：gcd(17,31)=1,lcm(17,31)=5274.求满足x≡3(mod5)且x≡1(mod6)的最小正整数x。解析思路：使用同余方程的解法。设x=5k+3。将其代入第二个同余方程：5k+3≡1(mod6)。化简得5k≡-2(mod6)，即5k≡4(mod6)。因为5≡-1(mod6)，所以-k≡4(mod6)，即k≡-4(mod6)，k≡2(mod6)。所以k=6j+2。x=5(6j+2)+3=30j+13。令j=0，得到最小正整数x=13。答案：x=135.对于正整数n，计算φ(n)的值。例如，n=12时，φ(12)=?；n=18时，φ(18)=?解析思路：使用欧拉函数公式φ(n)=n(1-1/p₁)(1-1/p₂)...(1-1/pₖ)，其中p₁,p₂,...,pₖ为n的互异素因数。n=12=2²*3¹。素因数为2和3。φ(12)=12*(1-1/2)*(1-1/3)=12*(1/2)*(2/3)=12*1/3=4。n=18=2¹*3²。素因数为2和3。φ(18)=18*(1-1/2)*(1-1/3)=18*(1/2)*(2/3)=18*1/3=6。答案：φ(12)=4,φ(18)=6四、证明题1.证明：若正整数n能被4整除，则n²除以4的余数总是0。解析思路：使用数学归纳法或直接利用整除定义。设n=4k，其中k为整数。则n²=(4k)²=16k²。由于16k²是4的倍数，所以16k²mod4=0。因此，n²除以4的余数总是0。答案：证明过程如上所述。2.证明：若p是素数，且a²≡b²(modp)，则a≡b(modp)或a≡-b(modp)。解析思路：由a²≡b²(modp)，可得a²-b²≡0(modp)，即(a-b)(a+b)≡0(modp)。由于p是素数，根据素数性质，若p整除ab，则p整除a或p整除b。因此，p整除(a-b)或p整除(a+b)。若p整除(a-b)，则a≡b(modp)。若p整除(a+b)，则a≡-b(modp)。故结论成立。答案：证明过程如上所述。五、综合应用题已知整数n≥2，考虑以下两个条件：（1）n²-1能被6整除；（2）n²-1能被n+1整除。证明：若n同时满足条件（1）和（2），则n一定是合数。解析思路：n²-1=(n-1)(n+1)。条件（1）表明(n-1)(n+1)能被6整除。因为6=2*3，所以(n-1)(n+1)必须能被2和3同时整除。条件（2）表明(n-1)(n+1)能被n+1整除。假设n为素数。则n+1是合数（因为素数大于1，n+1至少为2*2=4）。设n+1=ab，其中a,b>1。根据条件（2），(n-1)(n+1)能被n+1=ab整除。即(n-1)*ab能被ab整除。所以n-1能被a或b整除。设n-1=ak或n-1=bm。则n=ak+1或n=bm+1。若n=ak+1，代入n+1=ab得ak+1+1=ab，即ak+2=ab，即a(k-b)=-2。因为a,k,b为正整数，a(k