2025年大学《数理基础科学》专业题库- 导数算法在自动控制系统中的应用

2025年大学《数理基础科学》专业题库——导数算法在自动控制系统中的应用考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、简述导数的几何意义和物理意义，并分别举例说明。二、设函数\(f(x)=x^3-3x^2+2\)。1.求函数的导数\(f'(x)\)。2.求函数的驻点，并判断这些驻点是极大值点还是极小值点。3.求函数的拐点。4.求函数在区间\([-1,4]\)上的最大值和最小值。三、已知某自动控制系统的传递函数为\(G(s)=\frac{2}{s(s+1)}\)。1.求该系统的特征方程。2.分析该系统的稳定性。3.若对该系统施加单位阶跃输入，定性分析其输出响应的大致特点（如是否振荡、收敛速度等）。四、PID控制器是一种广泛应用于自动控制系统中的反馈控制器。简述比例（P）、积分（I）、微分（D）三种控制作用各自的功能和作用特点。为什么在实际应用中常常将这三种作用结合起来？五、考虑一个简单的二阶线性系统，其状态方程为\(\dot{\mathbf{x}}=\mathbf{A}\mathbf{x}\)，其中\(\mathbf{x}=\begin{bmatrix}x_1\\x_2\end{bmatrix}\)是状态向量，\(\mathbf{A}=\begin{bmatrix}-2&1\\0&-1\end{bmatrix}\)是系统矩阵。1.求系统矩阵\(\mathbf{A}\)的特征值。2.根据特征值判断该系统的稳定性。3.若希望将该系统的极点配置到\(-3\pmj2\)，简述状态反馈设计的基本思路，并说明需要引入什么样的状态反馈增益矩阵\(\mathbf{K}\)才能达到目的。（无需具体计算）六、在自动控制系统中，灵敏度是指系统输出对参数变化的敏感程度。设某系统的传递函数为\(G(s)=\frac{K}{s(s+a)}\)，其中\(K\)是增益参数。1.定义该系统在输入为单位阶跃时的稳态增益\(C(\infty)\)。2.计算稳态增益\(C(\infty)\)对参数\(K\)的灵敏度\(S_{K}^{C(\infty)}\)和对参数\(a\)的灵敏度\(S_{a}^{C(\infty)}\)。3.解释灵敏度的物理意义，并讨论如何调整参数\(K\)和\(a\)以降低系统对参数变化的敏感度。七、设一个自动控制系统的误差信号\(e(t)\)的二阶微分方程描述为\(\ddot{e}(t)+2\zeta\omega_n\dot{e}(t)+\omega_n^2e(t)=0\)，其中\(\omega_n\)是自然频率，\(\zeta\)是阻尼比。1.解释什么是超调量\(\sigma\%\)和上升时间\(t_r\)。2.写出超调量\(\sigma\%\)和上升时间\(t_r\)与阻尼比\(\zeta\)和自然频率\(\omega_n\)的关系式。3.若系统要求超调量不超过5%，且上升时间不大于2秒，试讨论\(\zeta\)和\(\omega_n\)应该满足什么条件。八、设函数\(f(x)=x^2\lnx\)（定义域为\(x>0\)）。1.求函数的导数\(f'(x)\)。2.求函数的极值。3.讨论函数的单调性。九、试解释什么是洛必达法则，并说明其在求解自动控制系统中哪些类型的极限问题时可能是有用的？（例如，讨论系统稳定性或响应特性时可能遇到的极限）十、比较隐函数求导法与参数方程求导法在处理复杂系统关系时的适用性。各举一个可能在自动控制系统分析中应用这两个方法的例子。试卷答案一、导数的几何意义是指函数在某一点切线的斜率。若\(y=f(x)\)，则\(f'(a)\)表示曲线\(y=f(x)\)在点\((a,f(a))\)处切线的斜率。例如，函数\(y=x^2\)在点\((2,4)\)处的导数\(y'(2)=4\)，即切线斜率为4。导数的物理意义是指函数随自变量变化的瞬时变化率。例如，匀加速直线运动中，速度\(v\)是位置\(s\)对时间\(t\)的导数\(v=\frac{ds}{dt}\)；加速度\(a\)是速度\(v\)对时间\(t\)的导数\(a=\frac{dv}{dt}=\frac{d^2s}{dt^2}\)。二、1.\(f'(x)=3x^2-6x\)。2.令\(f'(x)=0\)，得\(3x(x-2)=0\)，驻点为\(x=0\)和\(x=2\)。*\(f''(x)=6x-6\)。*\(f''(0)=-6\)，小于0，故\(x=0\)为极大值点。*\(f''(2)=6\)，大于0，故\(x=2\)为极小值点。*极大值\(f(0)=2\)，极小值\(f(2)=-2\)。3.令\(f''(x)=0\)，得\(x=1\)。*\(f'''(x)=6\)，在\(x=1\)处不为0。*故拐点为\((1,0)\)。4.端点值：\(f(-1)=6\)，\(f(4)=18\)。*比较驻点值和端点值：最大值为\(\max\{6,2,-2,18\}=18\)（在\(x=4\)处取得）。*最小值为\(\min\{6,2,-2,18\}=-2\)（在\(x=2\)处取得）。三、1.系统的特征方程为\(s(s+1)-2=0\)，即\(s^2+s-2=0\)。2.特征方程的根为\(s_1=1\)，\(s_2=-2\)。由于两个根均具有负实部，系统是稳定的。3.由于系统有一个正实部的特征根\(s_1=1\)，若施加单位阶跃输入，其输出响应将包含一个单调递增的项\(1-e^{-t}\)，并且由于该根的实部为正，整体响应将随时间发散。因此，该系统在当前状态下不稳定，施加单位阶跃输入将导致输出无限增大。定性特点是有指数发散成分。四、比例（P）控制作用：根据当前误差大小成正比地产生控制作用。功能是提供基本的反馈校正，误差越大，控制作用越强。特点是响应速度快，但可能导致超调和振荡。积分（I）控制作用：根据误差对时间的积累产生控制作用。功能是消除稳态误差，使系统最终能无误差地跟踪目标。特点是能消除稳态误差，但可能导致响应迟缓和增加超调。微分（D）控制作用：根据误差的变化率产生控制作用。功能是预测误差未来的趋势，提供阻尼作用，加快响应速度，减少超调。特点是能提供阻尼，抑制超调，但对噪声敏感。将三种作用结合的原因：*P作用解决稳态误差，但可能超调。*I作用消除稳态误差，但可能导致迟缓和超调。*D作用提供阻尼，减少超调，加快响应，但敏感于噪声。结合使用可以取长补短，同时抑制超调、消除稳态误差并加快响应速度，获得更好的控制性能。五、1.系统矩阵\(\mathbf{A}\)的特征方程为\(\det(\mathbf{A}-s\mathbf{I})=0\)。*\(\det\begin{bmatrix}-2-s&1\\0&-1-s\end{bmatrix}=(-2-s)(-1-s)=0\)。*特征值为\(s_1=-2\)，\(s_2=-1\)。2.由于特征值\(s_1=-2\)和\(s_2=-1\)均具有负实部，系统是稳定的。3.状态反馈设计思路：通过选择合适的反馈增益矩阵\(\mathbf{K}\)，使得闭环系统矩阵\(\mathbf{A}-\mathbf{B}\mathbf{K}\)的特征值位于期望的位置（即期望的极点）。在本例中，期望极点为\(-3\pmj2\)，因此需要设计\(\mathbf{K}\)使得\(\mathbf{A}-\mathbf{B}\mathbf{K}\)的特征多项式为\((s+3-j2)(s+3+j2)=s^2+6s+13\)。由于题目未给出输入矩阵\(\mathbf{B}\)，无法具体计算\(\mathbf{K}\)，但确定\(\mathbf{K}\)的原则是使其与\(\mathbf{B}\)相乘后，能将\(\mathbf{A}\)的特征值修改为期望值。六、1.稳态增益\(C(\infty)\)是指系统在输入为单位阶跃信号\(u(t)=1\)（\(t\ge0\)）时，输出信号\(c(t)\)在\(t\to\infty\)时的值。根据终值定理，\(C(\infty)=\lim_{s\to0}sG(s)=\lim_{s\to0}s\frac{K}{s(s+a)}=\frac{K}{a}\)。2.灵敏度定义为输出对参数的相对变化率与参数的相对变化率之比，即\(S_{\theta}^{y}=\frac{dy/y}{d\theta/\theta}\)。*\(S_{K}^{C(\infty)}=\frac{dC(\infty)/C(\infty)}{dK/K}=\frac{d(K/a)/K/a}{dK/K}=\frac{(1/a)K/a}{K}\cdotK=\frac{1}{a}\)。*\(S_{a}^{C(\infty)}=\frac{dC(\infty)/C(\infty)}{da/a}=\frac{d(K/a)/K/a}{da/a}=\frac{(K/a)(-1/a)}{K/a}\cdot\frac{1}{a}=-\frac{1}{a^2}\)。3.灵敏度的物理意义是衡量系统输出对参数变化的敏感程度。\(S_{K}^{C(\infty)}=1/a\)表示稳态增益对增益\(K\)的相对变化率是\(K\)相对变化率的\(1/a\)倍；\(S_{a}^{C(\infty)}=-1/a^2\)表示稳态增益对参数\(a\)的相对变化率是\(a\)相对变化率的\(-1/a^2\)倍。绝对值越小，系统越不敏感。为降低系统对参数变化的敏感度，应选择较大的\(a\)值。七、1.超调量\(\sigma\%\)是指系统阶跃响应超出最终稳态值的百分比，定义为\(\sigma\%=\frac{c(\infty)-c(t_{p})}{c(\infty)}\times100\%\)，其中\(c(\infty)\)是稳态值，\(c(t_p)\)是峰值。*上升时间\(t_r\)是指系统阶跃响应从0上升至并首次达到稳态值\(c(\infty)\)所需的时间。2.对于二阶系统，若\(0<\zeta<1\)（欠阻尼），超调量和上升时间的关系为：*\(\sigma\%=e^{\frac{-\zeta\pi}{\sqrt{1-\zeta^2}}}\times100\%\)。*\(t_r\approx\frac{\pi}{\omega_d}=\frac{\pi}{\omega_n\sqrt{1-\zeta^2}}\)，其中\(\omega_d=\omega_n\sqrt{1-\zeta^2}\)是阻尼振荡频率。3.要求\(\sigma\%\leq5\%\)，即\(e^{\frac{-\zeta\pi}{\sqrt{1-\zeta^2}}}\leq0.05\)。*取对数得\(\frac{-\zeta\pi}{\sqrt{1-\zeta^2}}\leq\ln(0.05)\approx-2.9957\)。*解得\(\zeta\geq\frac{2.9957}{\pi}\sqrt{1-\zeta^2}\approx0.946\)。为满足超调量要求，阻尼比\(\zeta\)至少应为0.946。*要求\(t_r\leq2\)秒，即\(\frac{\pi}{\omega_n\sqrt{1-\zeta^2}}\leq2\)。*解得\(\omega_n\geq\frac{\pi}{2\sqrt{1-\zeta^2}}\)。*将\(\zeta\geq0.946\)代入上式，得到\(\omega_n\)的下限。因此，为同时满足两个要求，\(\zeta\)应大于0.946，且\(\omega_n\)应足够大，具体大小取决于选定的\(\zeta\)值。例如，若取\(\zeta=0.95\)，则\(\omega_n\geq\frac{\pi}{2\sqrt{1-0.95^2}}\approx8.5\)rad/s。八、1.\(f'(x)=2x\lnx+x^2\cdot\frac{1}{x}=2x\lnx+x=x(2\lnx+1)\)。2.令\(f'(x)=0\)，得\(x(2\lnx+1)=0\)。*由于\(x>0\)，必有\(2\lnx+1=0\)，即\(\lnx=-\frac{1}{2}\)。*解得\(x=e^{-1/2}=\frac{1}{\sqrt{e}}\)。*\(f''(x)=(2\lnx+1)+x\cdot\frac{2}{x}=2\lnx+3\)。*\(f''(\frac{1}{\sqrt{e}})=2\ln(\frac{1}{\sqrt{e}})+3=2(-\frac{1}{2})+3=2\)，大于0。*故\(x=\frac{1}{\sqrt{e}}\)处函数取得极小值\(f(\frac{1}{\sqrt{e}})=(\frac{1}{\sqrt{e}})^2\ln(\frac{1}{\sqrt{e}})=\frac{1}{e}\cdot(-\frac{1}{2})=-\frac{1}{2e}\)。*由于\(x>0\)时\(f'(x)=x(2\lnx+1)\)在\(x=\frac{1}{\sqrt{e}}\)左侧为负，右侧为正，故\(x=\frac{1}{\sqrt{e}}\)为极小值点。3.函数\(f'(x)=x(2\lnx+1)\)。*当\(0<x<\frac{1}{\sqrt{e}}\)时，\(\lnx<-\frac{1}{2}\)，\(2\lnx+1<0\)，故\(f'(x)<0\)，函数在区间\((0,\frac{1}{\sqrt{e}})\)上单调递减。*当\(x>\frac{1}{\sqrt{e}}\)时，\(\lnx>-\frac{1}{2}\)，\(2\lnx+1>0\)，故\(f'(x)>0\)，函数在区间\((\frac{1}{\sqrt{e}},+\infty)\)上单调递增。*综上所述，函数\(f(x)\)在\(x=\frac{1}{\