2025年大学《数学与应用数学》专业题库- 偏微分方程与偏微分方程组

2025年大学《数学与应用数学》专业题库——偏微分方程与偏微分方程组考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、1.试述二阶线性偏微分方程的分类，并写出在直角坐标系下三种标准型的对应条件。2.写出热传导方程和波动方程的数学表达式，并说明其物理意义。二、1.用分离变量法求解如下定解问题：{∂²u∂x²+∂²u∂y²=0,0<x<π,y>0u(x,0)=f(x),0≤x≤πu(0,y)=0,u(π,y)=0,y>0}其中f(x)=sinx+2sin2x。三、1.用分离变量法求解如下定解问题：{∂u∂t=k∂²u∂x²,0<x<a,t>0u(0,t)=0,u(a,t)=0,t>0u(x,0)=sin(πx/a),0≤x≤a}其中k为常数。四、1.用达朗贝尔公式求解一维波动方程的初值问题：{∂²u∂t²=a²∂²u∂x²,-∞<x<∞,t>0u(x,0)=f(x),-∞<x<∞∂u∂t(x,0)=g(x),-∞<x<∞}其中a为常数，f(x)=φ(x),g(x)=ψ(x)。五、1.求解如下初值问题（用特征线法）：{∂u∂t+a∂u∂x=0,-∞<x<∞,t>0u(x,0)=φ(x),-∞<x<∞}其中a为非零常数。六、1.求解如下定解问题：{∂²u∂x²+∂²u∂y²=0,x²+y²<1u(x,y)=x²+y²,x²+y²=1}(提示：考虑用极坐标)七、1.证明：如果函数u(x,y)满足拉普拉斯方程∂²u/∂x²+∂²u/∂y²=0，并且在有界区域D的边界C上u(x,y)=0，那么在区域D内u(x,y)恒等于零。（提示：可用反证法，结合调和函数的性质）八、1.考虑如下一阶线性偏微分方程组初值问题：{∂x∂t=y+z,∂y∂t=x+z,∂z∂t=x+yx(0,t)=1,y(0,t)=1,z(0,t)=1}试求其解。试卷答案一、1.二阶线性偏微分方程的一般形式为Au²+Bu+Cu=F，其中A,B,C是关于x,y的函数。*椭圆型：B²-4AC<0。标准型为∂²u/∂x²+∂²u/∂y²=(F/A)/(x²+y²)^(n-2)。*抛物型：B²-4AC=0。标准型为∂u/∂y=(F/A)/(x+y)^(n-2)。*双曲型：B²-4AC>0。标准型为∂²u/∂x²-∂²u/∂y²=(F/A)/(x-y)^(n-2)。(注：标准型中n取决于F,A,B,C的具体形式，此处为示意)2.热传导方程：∂u/∂t=k∂²u/∂x²。物理意义：描述温度u在介质中随时间t的变化，沿x方向的传导过程，k为热传导系数。波动方程：∂²u/∂t²=a²∂²u/∂x²。物理意义：描述振动或波（如弦振动、声波、电磁波）在介质中传播的过程，a为波速。二、1.u=X(x)Y(y)代入方程得X''Y+XY''=0，除以XY得X''/X+Y''/Y=0。令X''/X=-λ,Y''/Y=λ，则Y''-λY=0,X''+λX=0。边界条件：X(0)Y(y)=0=>Y(y)不恒为零=>X(0)=0;X(π)Y(y)=0=>Y(y)不恒为零=>X(π)=0。对X''+λX=0，考虑X(0)=0,X(π)=0。*若λ=0,X''=0,X(x)=C₁x+C₂,X(0)=0=>C₂=0,X(π)=0=>C₁=0,X(x)≡0,不符合。*若λ>0,设λ=k²,X''+k²X=0,X(x)=C₁cos(kx)+C₂sin(kx),X(0)=0=>C₁=0,X(x)=C₂sin(kx)。X(π)=0=>C₂sin(kπ)=0。因C₂≠0,需sin(kπ)=0=>k=n,n=1,2,3,...*n=1:k=1,X₁(x)=sinx。*n=2:k=2,X₂(x)=sin2x。*...*n=m:k=m,X<0xE2><0x82><0x99>(x)=sinmx。*若λ<0,设λ=-k²,X''-k²X=0,X(x)=C₁e<0xE2><0x82><0x99>x+C₂e<0xE2><0x82><0x9B>x。X(0)=0=>C₁+C₂=0=>C₂=-C₁。X(π)=0=>C₁(e<0xE2><0x82><0x99>π-e<0xE2><0x82><0x9B>π)=0。因e<0xE2><0x82><0x99>π≠e<0xE2><0x82><0x9B>π,需C₁=0=>C₂=0,X(x)≡0,不符合。只能取λ=n²,n=1,2,3,...，对应X<0xE2><0x82><0x99>(x)=sinnx。对Y''-n²Y=0,Y(y)=C<0xE1><0xB5><0xA3>cosny+C<0xE1><0xB5><0xA4>sinny。由f(x)=sinx+2sin2x知，解应为X<0xE2><0x82><0x99>(x)Y<0xE2><0x82><0x99>(y)的线性组合。u(x,y)=Σ<0xE2><0x82><0x99>=1<0xE2><0x82><0x99>∞(A<0xE2><0x82><0x99>C<0xE1><0xB5><0xA3><0xE2><0x82><0x99>+B<0xE2><0x82><0x99>C<0xE1><0xB5><0xA4><0xE2><0x82><0x99>)sinnxcosny。边界条件u(0,y)=0=>Σ<0xE2><0x82><0x99>=1<0xE2><0x82><0x99>∞C<0xE1><0xB5><0xA3><0xE2><0x82><0x99>sinnxcosny=0=>C<0xE1><0xB5><0xA3><0xE2><0x82><0x99>=0(对所有n)。u(x,y)=Σ<0xE2><0x82><0x99>=1<0xE2><0x82><0x99>∞B<0xE2><0x82><0x99>C<0xE1><0xB5><0xA4><0xE2><0x82><0x99>sinnxcosny。u(x,0)=Σ<0xE2><0x82><0x99>=1<0xE2><0x82><0x99>∞B<0xE2><0x82><0x99>C<0xE1><0xB5><0xA4><0xE2><0x82><0x99>sinnx=f(x)=sinx+2sin2x。对应关系：sinx对应n=1,C₁cos1y=1=>C₁=1;sin2x对应n=2,C₂cos2y=2=>C₂=2。因此，B₁C₁=1,B₂C₂=2=>B₁=1,B₂=2。最终解为：u(x,y)=sinxcosy+2sin2xcos2y。三、1.u(x,0)=sin(πx/a)表明解是关于x的正弦函数，考虑分离变量u(x,t)=X(x)T(t)。代入方程得X(x)T'(t)=kX''(x)T(t)=>X(x)T'(t)/kT(t)=X''(x)/X(x)=-λ。得T''/kT=-λ,X''/X=-λ。解X''+λX=0。边界条件：X(0)=0,X(a)=0。*若λ=0,X''=0,X(x)=C₁x+C₂。X(0)=0=>C₂=0,X(a)=0=>C₁a=0=>C₁=0,X(x)≡0。*若λ>0,设λ=(π/a)²m²,m=1,2,3,...,X(x)=C₁cos(πmx/a)+C₂sin(πmx/a)。X(0)=0=>C₁=0,X(x)=C₂sin(πmx/a)。X(a)=0=>C₂sin(πma/a)=0=>sin(πm)=0=>m=1,2,3,...。即λ<0xE1><0xB5><0xA3>=(π/a)²m²,对应特征函数X<0xE1><0xB5><0xA3>(x)=sin(πmx/a)。*若λ<0,设λ=-(π/a)²m²,m=1,2,3,...,X(x)=C₁e<0xE2><0x82><0x99>(πmx/a)+C₂e<0xE2><0x82><0x9B>(πmx/a)。X(0)=0=>C₁+C₂=0=>C₂=-C₁。X(a)=0=>C₁(e<0xE2><0x82><0x99>πm-e<0xE2><0x82><0x9B>πm)=0。因e<0xE2><0x82><0x99>πm≠e<0xE2><0x82><0x9B>πm,需C₁=0=>C₂=0,X(x)≡0。只能取λ<0xE1><0xB5><0xA3>=(π/a)²m²,m=1,2,3,...。对应T''/kT=-(π/a)²m²=>T''+(k(π/a)²m²)T=0。T<0xE1><0xB5><0xA3>(t)=A<0xE2><0x82><0x99>cos(k(π/am)²t)+B<0xE2><0x82><0x99>sin(k(π/am)²t)。通解u(x,t)=Σ<0xE2><0x82><0x99>=1<0xE2><0x82><0x99>∞[A<0xE2><0x82><0x99>cos(k(π/am)²t)+B<0xE2><0x82><0x99>sin(k(π/am)²t)]sin(πmx/a)。利用初始条件u(x,0)=sin(πx/a)。u(x,0)=Σ<0xE2><0x82><0x99>=1<0xE2><0x82><0x99>∞A<0xE2><0x82><0x99>sin(πmx/a)=sin(πx/a)。由正交性，系数A<0xE2><0x82><0x99>=(2/a)∫<0xE2><0x82><0x80>^asin(πnx/a)sin(πmx/a)dx。当m=n时,A<0xE2><0x82><0x99>=(2/a)∫<0xE2><0x82><0x80>^a(sin(πnx/a))²dx=(2/a)[x/2-(1/4πn)sin(2πnx/a)]<0xE2><0x82><0x80>^a=(2/a)[a/2]=1。当m≠n时,A<0xE2><0x82><0x99>=0。所以A₁=1,A<0xE2><0x82><0x99>=0(n≠1)。u(x,0)=A₁sin(πx/a)=sin(πx/a)。初始条件已满足。利用初始条件u_t(x,0)=0。u_t(x,0)=Σ<0xE2><0x82><0x99>=1<0xE2><0x82><0x99>∞A<0xE2><0x82><0x99>k(π/am)²B<0xE2><0x82><0x99>sin(πmx/a)=0。因sin(πmx/a)线性无关，需Σ<0xE2><0x82><0x99>=1<0xE2><0x82><0x99>∞B<0xE2><0x82><0x99>=0=>B<0xE2><0x82><0x99>=0(对所有n)。最终解为：u(x,t)=A₁cos(k(π/a)²t)sin(πx/a)=cos(k(π/a)²t)sin(πx/a)。代入k=1得：u(x,t)=cos(π²t/a²)sin(πx/a)。四、1.方程为∂²u/∂t²=a²∂²u/∂x²。初值条件为u(x,0)=φ(x),∂u/∂t(x,0)=ψ(x)。对t进行积分，令v(x,t)=∂u/∂t(x,t)-a∂u/∂x(x,t)。v(x,0)=ψ(x)-a∂u/∂x(x,0)。对v求解：∂v/∂t=a²∂v/∂x。v(x,t)=f(x-at)=ψ(x-at)-a∂u/∂x(x,t)。=>∂u/∂x(x,t)=ψ(x-at)-v(x,t)=ψ(x-at)-f(x-at)=ψ(x-at)-ψ(x-at)=0。=>∂u/∂x(x,t)≡0。=>u(x,t)=F(x+at)+G(x-at)。利用u(x,0)=φ(x)=>F(x)+G(x)=φ(x)。利用∂u/∂t(x,0)=ψ(x)=>aF'(x)-aG'(x)=ψ(x)=>F'(x)-G'(x)=ψ(x)/a。解方程组：{F(x)+G(x)=φ(x){F'(x)-G'(x)=ψ(x)/a两式相加：2F'(x)=φ'(x)+ψ(x)/a=>F'(x)=(φ'(x)+ψ(x)/a)/2=>F(x)=∫[(φ'(x)+ψ(x)/a)/2]dx=(φ(x)+ψ(x)/a)/2+C₁。两式相减：2G'(x)=φ(x)-ψ(x)/a=>G'(x)=(φ(x)-ψ(x)/a)/2=>G(x)=∫[(φ(x)-ψ(x)/a)/2]dx=(φ(x)-ψ(x)/a)/2+C₂。由F(x)+G(x)=φ(x)=>[(φ(x)+ψ(x)/a)/2+C₁]+[(φ(x)-ψ(x)/a)/2+C₂]=φ(x)。=>φ(x)+C₁+C₂=φ(x)=>C₁+C₂=0=>C₂=-C₁。设C₁=C,则C₂=-C。F(x)=(φ(x)+ψ(x)/a)/2+C,G(x)=(φ(x)-ψ(x)/a)/2-C。u(x,t)=F(x+at)+G(x-at)=[(φ(x+at)+ψ(x+at)/a)/2+C]+[(φ(x-at)-ψ(x-at)/a)/2-C]。u(x,t)=(φ(x+at)+ψ(x+at)/a+φ(x-at)-ψ(x-at)/a)/2。u(x,t)=[φ(x+at)+φ(x-at)]/2+[ψ(x+at)-ψ(x-at)]/(2a)。五、1.方程为∂u/∂t+a∂u/∂x=0。初值条件为u(x,0)=φ(x)。方法一：引入新函数v(x,t)=e^(at)u(x,t)。∂v/∂t=ae^(at)u+e^(at)∂u/∂t=av+e^(at)(-a∂u/∂x)=av-a²∂u/∂x。∂v/∂x=e^(at)∂u/∂x。方程变为∂v/∂t-a²∂v/∂x=0。初值条件v(x,0)=e^(0)u(x,0)=φ(x)。这是标准的一维波动方程，解为v(x,t)=f(x+at)=φ(x+at)。=>u(x,t)=e^(-at)v(x,t)=e^(-at)φ(x+at)。方法二：特征线法。将方程写为∂u/∂t+a(∂u/∂x)=0。求解特征方程dx/dt=a。特征线族为x=at+x₀(x₀为常数)。沿特征线，u保持不变，即u=u₀=φ(x₀)。代入x₀=x-at，得u(x,t)=φ(x-at)。六、1.方程为∂²u/∂x²+∂²u/∂y²=0,x²+y²<1。边界条件为u(x,y)=x²+y²,x²+y²=1。拉普拉斯方程在极坐标下为∂²u/∂r²+(1/r)∂u/∂r+(1/r²)∂²u/∂θ²=0。在圆心对称问题中，解u仅是r的函数，与θ无关，即u=u(r)。方程简化为u''(r)+(1/r)u'(r)=0。令v(r)=ru(r)，则∂v/∂r=ru'(r)+u(r)，∂²v/∂r²=ru''(r)+2u'(r)。方程变为ru''(r)+2u'(r)+u'(r)+u(r)/r=0=>ru''(r)+3u'(r)+u(r)/r=0。=>r²u''(r)+3ru'(r)+u(r)=0。=>D(D²+3D+1/r)u(r)=0,D=d/dr。=>r²D(D²+3D+1/r)u(r)=0=>r²D(D²+3D)u(r)+r²(1/r)Du(r)=0。=>r²D³u(r)+3r²D²u(r)+rDu(r)=0=>rD[r²D²u(r)+3rDu(r)+u(r)]=0。=>rD[v'(r)+u(r)]=0=>D[v'(r)+u(r)]=0=>v'(r)+u(r)=0=>u(r)=-v'(r)。代入原简化方程：u''(r)+(1/r)u'(r)=0=>-v''(r)-v'(r)+(1/r)(-v'(r))=0。=>-v''(r)-(2/r)v'(r)=0=>v''(r)+(2/r)v'(r)=0。=>dv'(r)/dr+(2/r)v'(r)=0=>(1/v'(r))dv'(r)=-(2/r)dr=>ln|v'(r)|=-2ln|r|+C=>v'(r)=C₁/r²。=>v(r)=∫C₁/r²dr=-C₁/r+C₂。=>u(r)=-v'(r)=-(-C₁/r)=C₁/r。边界条件：r=1时,u(1)=x²+y²=1=>u(1)=C₁/1=C₁=1。解为u(r)=1/r。由于r²+0²=1,0≤r<1，解为u(x,y)=1/(x²+y²)。注意：此解在原点(0,0)处有奇异性，不满足原定解问题在区域x²+y²<1内定义的要求。通常这类问题的解假设为有界的，因此解应为0。但若按解析解过程，此处得到u(r)=1/r。此题可能存在表述问题或需要限定解的有界性。七、1.证明：设u(x,y)满足拉普拉斯方程∂²u/∂x²+∂²u/∂y²=0，在区域D:x²+y²<1内，且在边界C:x²+y²=1上u(x,y)=0。假设存在点(x₀,y₀)∈D，使得u(x₀,y₀)≠0。不失一般性，设u(x₀,y₀)=M>0(若M<0可类似证明)。由连续性，存在δ>0，使得在闭区域D'={(x,y)|(x-x₀)²+(y-y₀)²≤δ²}⊂D内，u(x,y)≥M/2。在D'上，u的最大值在边界∂D'或内部达到。设最大值点为(x₁,y₁)。若在内部达到，则∂²u/∂x²|_(x₁,y₁)≤0,∂²u/∂y²|_(x₁,y₁)≤0=>u(x₁,y₁)≤0，矛盾。故最大值在边界∂D'上达到。由于u在D'上连续，且∂D'是紧集，u在∂D'上取到最大值。设最大值点为(x₁,y₁)∈∂D'。若(x₁,y₁)在C上，则u(x₁,y₁)=0。由M/2≤u(x,y)≤0在D'内，矛盾。若(x₁,y₁)在D'的内部边界上，设x₁²+y₁²=r₁<δ。考虑D'内以(x₁,y₁)为中心，半径ε<r₁的圆域D''。在D''内，u的最大值在边界∂D''或内部达到。设最大值点为(x₂,y₂)。若在内部达到，则∂²u/∂x²|_(x₂,y₂)≤0,∂²u/∂y²|_(x₂,y₂)≤0=>u(x₂,y₂)≤0，矛盾。故最大值在边界∂D''上达到。由于u在D''上连续，且∂D''是紧集，u在∂D''上取到最大值。设最大值点为(x₂,y₂)∈∂D''。重复此过程，构造一系列闭圆域D₁⊃D₂⊃...，其中D<0xE2><0x82><0x99>={(x,y)|(x-x<0xE2><0x82><0x99>₁)²+(y-y<0xE2><0x82><0x99>₁)²≤r<0xE2><0x82><0x99>₁}，使得u在D<0xE2><0x82><0x99>的边界∂D<0xE2><0x82><0x99>上取到最大值，且半径r<0xE2><0x82><0x99>₁→0。设极限点为(x₀,y₀)。由于u在D内连续，且r<0xE2><0x82><0x99>₁→0，必有u(x₀,y₀)=limu(x<0xE2><0x82><0x99>₁,y<0xE2><0x82><0x99>₁)=M/2>0。这与(x₀,y₀)∈D且u(x,y)=0在C上矛盾。因此，假设不成立，u(x,y)≡0在D内成立。八、1.方程组为：{∂x/∂t=y+z{∂y/∂t=x+z{∂z/∂t=x+y初值条件：x(0,t)=1,y(0,t)=1,z(0,t)=1。方法一：消元法。对第一式求导：∂²x/∂t²=∂y/∂t+∂z/∂t。代入第二、三式：∂²x/∂t²=(x+z)+(x+y)=2x+y+z。整理得：∂²x/∂t²-2∂x/∂t-∂y/∂t-∂z/∂t=0。同理：∂²y/∂t²-2∂y/∂t-∂x/∂t-∂z/∂t=0。∂²z/∂t²-2∂z/∂t-∂x/∂t-∂y/∂t=0。记X=x,Y=y,Z=z。求导方程组为：{X''-2X'-Y'-Z'=0{Y''-X'-Y'-Z'=0{Z''-X'-Y'-Z'=0将三式相加：X''+Y''+Z''-2(X'+Y'+Z')=0=>(X+Y+Z)''-2(X+Y+Z)'=0。设W=X+Y+Z。则W''-2W'=0。W'=C₁e^(2t),W=C₁e^(2t)+C₂。W(0)=x(0)+y(0)+z(0)=1+1+1=3=>W=3e^(2t)+C₂。W'(0)=x'(0)+y'(0)+z'(0)=0+0+0=0=>W'(0)=6C₁e^(0)+0=6C₁=0=>C₁=0。=>W=3e^(2t)。=>X+Y+Z=3e^(2t)。将W=X+Y+Z代入原方程组：{X''-2X'=3e^(2t)-Y'-Z'{Y''-X'=3e^(2t)-X'-Z'{Z''-X'=3e^(2t)-X'-Y'=>X''-3X'=3e^(2t)-Z'=>Y''-3Y'=3e^(2t)-X'=>Z''-3Z'=3e^(2t)-Y'将X''-3X'=3e^(2t)-Z'代入Y''-3Y'=3e^(2t)-X'：[(-2X'-Y'-Z')-3(-2X'-Y'-Z')+Z']''-3[-2X'-Y'-Z']'=3e^(2t)-X'=>(5X''-11X'+5X)''-3(-4X'+2Y'+Z'')=3e^(2t)-X'=>(5X''-11X'+5X)''+12X''-6Y'-3Z''=3e^(2t)-X'=>17X''-11X'-6Y'+5X-3Z''=3e^(2t)-X'=>17X''-11X'-6Y'-3Z''-2X'=3e^(2t)=>17X''-13X'-6Y'-3Z''=3e^(2t)。(注：此消元过程可能较复杂，可考虑特征根法)方法二：特征根法。原方程组可写为矩阵形式：(D²I-2D-I)[X]=[0]。其中D=d/dt。特征方程：(λ²-2λ-1)=0=>λ=1±√2。对应特征向量：对应λ₁=1+√2：令[X]=e^((1+√2)t)[v₁]。代入：(D²-(1+√2)D-(1-√2)I[v₁]=0。解得特征向量v₁=[1,1+√2,1]ᵀ。对应解为X₁=e^((1+√2)t)[1,1+√2,1]ᵀ=e^((1+√2)t)(x₁+(1+√2)y₁+z