2025年大学《数学与应用数学》专业题库- 函数逼近与数值逼近技术

2025年大学《数学与应用数学》专业题库——函数逼近与数值逼近技术考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、选择题（每题3分，共15分。请将正确选项的字母填在括号内）1.函数f(x)在区间[a,b]上的最佳一致逼近是指（）。(A)存在多项式P(x)，使得||f(x)-P(x)||₁=min_{P∈Π_n}||f(x)-P(x)||₁(B)存在多项式P(x)，使得||f(x)-P(x)||∞=min_{P∈Π_n}||f(x)-P(x)||∞(C)存在多项式P(x)，使得∫_a^b[f(x)-P(x)]²dx=min_{P∈Π_n}∫_a^b[f(x)-P(x)]²dx(D)存在多项式P(x)，使得max_{x∈[a,b]}|f(x)-P(x)|=min_{P∈Π_n}max_{x∈[a,b]}|f(x)-P(x)|2.设f(x)在[a,b]上连续，节点为a=x₀<x₁<...<x_n=b，拉格朗日插值余项R_n(x)=f(x)-L_n(x)的表达式为（）。(A)f[x₀,x₁,...,x_n](x)/n!(B)f'(x)/(n+1)...(x-x_n)(C)[x-x₀][x-x₁)...[x-x_n]/n!(D)f[x₀,x₁,...,x_n](x)[x-x₀](x-x₁)...(x-x_n)3.下列哪种方法属于用等距基点构造的高阶精确的数值积分公式？（）(A)梯形公式(B)辛普森公式(C)高斯公式(D)中点公式4.使用分段线性插值函数代替被插函数f(x)，其误差主要来源于（）。(A)插值节点不够密集(B)插值函数是线性函数(C)被插函数f(x)在区间内变化剧烈(D)插值节点选取不合理5.设f(x)在[a,b]上具有连续的四阶导数，用辛普森求积公式S(n)(n为区间等分数)计算积分I=∫_a^bf(x)dx的误差为（）。(A)-[(b-a)³/12]f''(ξ)(B)-[(b-a)⁵/180]f^(4)(ξ)(C)[(b-a)³/8]f''(ξ)(D)[(b-a)⁵/2880]f^(4)(ξ)，ξ∈(a,b)二、填空题（每题3分，共15分。请将答案填在横线上）1.若f(x)在[a,b]上具有n+1阶连续导数，则f(x)在[a,b]上的n次最佳一致逼近多项式是唯一的。2.设f(x)=x³在[0,1]上的二次拉格朗日插值多项式为L₂(x)，则L₂(0)=0。3.数值积分方法本质上是用有限个函数值构造某种插值函数，然后用插值函数的积分近似原函数的积分。4.切比雪夫多项式T_n(x)在区间[-1,1]上的n次最佳一致逼近零次多项式是1/2。5.样条插值函数S(x)在每个子区间上都是三次多项式，并且在节点处具有连续的一阶和二阶导数。三、计算题（每题10分，共40分）1.已知函数f(x)在区间[0,π/2]上的数据如下：x:0π/6π/4π/3π/2f(x):0√3/2√2/2√3/21试用拉格朗日插值法求f(π/12)的近似值。2.试用切比雪夫多项式T₄(x)构造在区间[-1,1]上的二次最佳一致逼近多项式P₂(x)，使其逼近f(x)=x³。3.利用梯形公式和辛普森公式计算积分I=∫_0^1e^xdx的近似值，并将结果与精确值e-1进行比较（保留四位小数）。已知梯形公式误差为-[(b-a)³/12]f''(ξ)，辛普森公式误差为-[(b-a)⁵/180]f^(4)(ξ)。4.给定数据点(xᵢ,yᵢ)(i=0,1,2,3)如下：x:0123y:1324试用最小二乘法求拟合这组数据的一次多项式y=a+bx。四、证明题（每题12分，共24分）1.证明：在区间[-1,1]上，n次切比雪夫多项式T_n(x)是在所有n次多项式中与零具有最小偏差（即最大偏差最小）的多项式。2.设f(x)在[a,b]上具有二阶连续导数，证明梯形公式S_h=(b-a)/2*[f(a)+f(b)]的误差可以表示为E_S=-(b-a)³/12*f''(ξ)，其中ξ∈(a,b)。试卷答案一、选择题1.B2.B3.B4.B5.B二、填空题1.一致2.03.插值4.1/25.一阶，二阶三、计算题1.解析思路：应用拉格朗日插值公式L_n(x)=Σ[f(xᵢ)*lᵢ(x)]，其中lᵢ(x)=Π[(x-x_j)/(xᵢ-x_j)](j≠i)。首先构造节点0,π/6,π/4,π/3,π/2对应的l₀(x),l₁(x),l₂(x),l₃(x),l₄(x)。然后代入x=π/12和各lᵢ(x)的值计算L₄(π/12)。L₄(π/12)=f(0)*l₀(π/12)+f(π/6)*l₁(π/12)+f(π/4)*l₂(π/12)+f(π/3)*l₃(π/12)+f(π/2)*l₄(π/12)（此处省略lᵢ(π/12)的具体计算过程和最终结果）2.解析思路：最佳一致逼近即在[-1,1]上使|f(x)-P₂(x)|最大值最小的P₂(x)。利用切比雪夫多项式的性质，n次最佳一致逼近零的n次多项式为T_n(x)。对于f(x)=x³，其在[-1,1]上的n次最佳一致逼近多项式P_n(x)可以表示为P_n(x)=c₀+c₁T₁(x)+...+c_nT_n(x)。因为f(x)是奇函数，其关于原点对称，所以最佳一致逼近多项式也应为奇函数，即P₂(x)=aT₁(x)+bT₂(x)。利用T₁(x)=x,T₂(x)=2x²-1，计算系数a,b使得P₂(x)最小化max_{x∈[-1,1]}|x³-(aT₁(x)+bT₂(x))|。通常采用切比雪夫节点x_k=cos((2k+1)π/(2n+2))(k=0,1,...,n)计算。最终得到P₂(x)=-x/2-x²/2。3.解析思路：梯形公式S_h=(b-a)/2*[f(a)+f(b)]。计算S_h(1)=(1-0)/2*[e^0+e^1]=(1+e)/2≈1.3591。辛普森公式S(n=2)=(b-a)/6*[f(a)+4f((a+b)/2)+f(b)]。计算S(2)(1)=(1-0)/6*[e^0+4e^1/2+e^1]=(1+2√e+e)/6≈1.3889。精确值I=e-1≈1.7183。比较：S_h(1)≈1.3591，S(2)(1)≈1.3889，均小于精确值，且辛普森结果更接近。4.解析思路：最小二乘法拟合一次多项式y=a+bx，需最小化误差平方和Q=Σ(yᵢ-(a+bxᵢ))²。求a,b使得∂Q/∂a=0和∂Q/∂b=0。得到正规方程组：n*a+Σxᵢ*b=Σyᵢ；Σxᵢ*a+Σ(xᵢ)²*b=Σ(xᵢ*yᵢ)。代入数据计算：n=4,Σxᵢ=6,Σyᵢ=10,Σxᵢ²=14,Σ(xᵢ*yᵢ)=18。方程组为：4a+6b=10；6a+14b=18。解此线性方程组得a=1/2,b=3/4。拟合函数为y=1/2+3/4*x。四、证明题1.证明思路：利用切比雪夫多项式的性质T_n(x)=cos(n*arccos(x))在[-1,1]上取值于[-1,1]，且在节点x_k=cos((2k+1)π/(2n+2))(k=0,1,...,n)处取到极值±1。设P(x)是任意一个n次多项式。考虑函数R(x)=f(x)-P(x)。若R(x)不是常数，则在[-1,1]上存在点x₀使得|R(x₀)|>0。由于T_n(x)在切比雪夫节点处取极值，可以构造一个n次多项式Q(x)=T_n(x)-(f(x₀)/|R(x₀)|)T_n(x₀)，则Q(x)在切比雪夫节点处取值为±1-(f(x₀)/|R(x₀)|)，且Q(x₀)=0。因此，多项式S(x)=R(x)-(f(x₀)/|R(x₀)|)Q(x)仍然是一个n次多项式，且在所有切比雪夫节点处R(x)-S(x)≥0，即|S(x)|≤|R(x)|。从而||f(x)-P(x)||∞≥||f(x)-S(x)||∞。取P(x)为n次最佳一致逼近多项式，则||f(x)-P(x)||∞=min_{P∈Π_n}||f(x)-P(x)||∞≤||f(x)-S(x)||∞。由于S(x)也是n次多项式，故P(x)=S(x)。2.证明思路：利用泰勒展开和积分余项。梯形公式S_h=(b-a)/2*[f(a)+f(b)]。考虑f(x)在[a,b]上的二次泰勒展开：f(a)=f(x)-f'(x)(a-x)+f''(ξ₁)(a-x)²/2(ξ₁∈(a,x))f(b)=f(x)-f'(x)(b-x)+f''(ξ₂)(b-x)²/2(ξ₂∈(x,b))S_h=(b-a)/2*[f(x)-f'(x)(a-x)+f''(ξ₁)(a-x)²/2+f(x)-f'(x)(b-x)+f''(ξ₂)(b-x)²/2]S_h=(b-a)/2*[2f(x)-f'(x)(a+b-x)+f''(ξ₁)(a-x)²/2+f''(ξ₂)(b-x)²/2]S_h=f(x)*(b-a)-f'(x)*(b-a)*(a+b-x)/2+f''(ξ₁)(b-a)²(a-x)²/4+f''(ξ₂)(b-a)²(b-x)²/4积分I=∫_a^bf(x)dx=∫_a^b[f(x)-f'(x)(a+b-x)/2+f''(ξ₁)(a-x)²/4+f''(ξ₂)(b-x)²/4]dx误差E_S=I-S_h=∫_a^b[-f'(x)(a+b-x)/2+f''(ξ₁)(a-x)²/4+f''(ξ₂)(b-x)²/4]dx计算各项积分：∫_a^b-f'(x)(a+b-x)/2dx=-f(x)/(b-a)*(a+b-x)|_a^b=-f(b)/2+f(a)/2=-f(a+b)/2∫_a^bf''(ξ₁)(a-x)²/4dx=f''(ξ₁)/4*∫_a^b(a-x)²dx=f''(ξ₁)/4*[a²x-ax²/2+x³/3]|_a^b=f''(ξ₁)/4*[a²b-a³/2+b³/3-(a³-a²a+a³/3)]=f''(ξ₁)/4*[b³/3-a³/6]=f''(ξ₁)/4*(b-a)³/3∫_a^bf''(ξ₂)(b-x)²/4dx=f''(ξ₂)/4*∫_a^b(b-x)²dx=f''(ξ₂)/4*[b²x-bx²/2+x³/3]|_a^b=f''(ξ₂)/4*[b³/3-a³/6]=f''(ξ₂)/4*(b-a)³/3（此处利用了f''(ξ₁)和f''(ξ₂)