2025年大学《数理基础科学》专业题库- 复杂网络动力学的数学原理

2025年大学《数理基础科学》专业题库——复杂网络动力学的数学原理考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、选择题1.下列哪个选项不是无标度网络的典型特征？A.度分布服从幂律分布B.平均路径长度相对较小C.聚类系数相对较大D.网络包含大量的节点度数极小2.在SIR模型中，代表易感节点的状态是：A.SB.IC.RD.B3.下列哪个算法不属于社区检测算法？A.确定性算法B.局部优化算法C.全局优化算法D.谱聚类算法4.网络动力学方程的稳定性分析通常采用的方法是：A.数值模拟B.图像分析C.线性化D.概率统计5.下列哪个领域不是复杂网络动力学的主要应用领域？A.社交网络分析B.金融市场预测C.传染病传播建模D.神经网络建模二、填空题1.连接两个节点的线称为________。2.节点的度数表示该节点与________之间直接连接的边的数量。3.聚类系数衡量的是网络中节点与其邻居节点之间连接的紧密程度，其值介于________和________之间。4.小世界网络是指具有________平均路径长度和________聚类系数的网络。5.在复杂网络的控制问题中，目标通常是将网络的动力状态控制到________状态。三、计算题1.给定一个包含5个节点的无向网络，其邻接矩阵为：$$\begin{pmatrix}0&1&1&0&0\\1&0&1&1&0\\1&1&0&0&1\\0&1&0&0&1\\0&0&1&1&0\\\end{pmatrix}$请计算该网络的度分布、平均路径长度和聚类系数。2.考虑一个简单的SIR模型，其方程为：$$\frac{dS}{dt}=-\betaSI,\quad\frac{dI}{dt}=\betaSI-\gammaI,\quad\frac{dR}{dt}=\gammaI$其中，$\beta$为传染率，$\gamma$为康复率。假设初始状态为$S(0)=N-1,I(0)=1,R(0)=0$，其中$N$为网络总节点数。请对该模型进行简单的数学分析，并说明其动态行为。3.假设一个网络的状态方程为：$$\dot{x}=Ax,\quadx\in\mathbb{R}^n$其中，$A$为网络的邻接矩阵。请解释如何利用该方程分析网络的动力特性，并简要说明如何判断网络是否能够实现同步。四、证明题证明：对于任何无向简单图，其度数序列的图灵数（Turingnumber）小于或等于其最大度数。五、综合应用题假设你要对一个社交网络进行建模和分析，请描述你会如何选择合适的网络模型，并利用复杂网络动力学的相关知识分析该网络的结构特征和传播动力学。你需要说明你的模型选择理由、分析方法和预期结果。试卷答案一、选择题1.D2.A3.A4.C5.B二、填空题1.边2.其他所有节点3.0,14.较小,较大5.稳定三、计算题1.解：*度分布：节点1度数为2，节点2度数为3，节点3度数为3，节点4度数为2，节点5度数为2。*平均路径长度：使用Floyd-Warshall算法计算所有节点对之间的最短路径长度，然后取平均值。计算结果为2。*聚类系数：分别计算每个节点的聚类系数，然后取平均值。计算结果为0.571。2.解：*该模型描述了传染病在人群中的传播过程。$S$代表易感节点，$I$代表感染节点，$R$代表康复节点。*当$\beta>\gamma$时，感染节点数量可能会先增加后减少，最终趋于稳定在0；当$\beta<\gamma$时，感染节点数量会逐渐减少并最终趋于0。*该模型的动态行为取决于传染率$\beta$和康复率$\gamma$的相对大小。3.解：*该方程描述了网络中每个节点状态随时间的变化规律。*通过分析矩阵$A$的特征值和特征向量，可以判断网络的动力特性，例如是否存在稳定状态、周期解等。*如果所有特征值的实部均为负，则网络能够实现同步。四、证明题证明：*设无向简单图的度数序列为$d_1,d_2,\ldots,d_n$，其中$d_1\leqd_2\leq\ldots\leqd_n$，最大度数为$d_n$。*图灵数是使得存在一个包含至少该数量节点的图，其度数序列与给定序列相同的最小数。*对于任何度数序列，其图灵数不可能超过最大度数$d_n$，因为任何包含$d_n+1$个节点的图，其最小度数至少为$d_n$，这与给定的度数序列矛盾。*因此，图灵数小于或等于最大度数$d_n$。五、综合应用题解：*模型选择：根据社交网络的特性，可以选择无标度网络模型，因为社交网络通常具有幂律度分布。*结构特征分析：可以利用度分布、聚类系数、平均路径长度等指标分析社交网络的结构特征，例如节点度数的分布情况、网络连接的紧密程度、信息传播的效率等。*传播动力学分析：可以利用SIR模型等传播模型分析社交网络中的信息传播或疾病传播过程，例如预测传播趋势、识别