2025年大学《数理基础科学》专业题库- 数论中的经典问题

2025年大学《数理基础科学》专业题库——数论中的经典问题考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、填空题1.若整数a,b互素，且a|m,b|m，则ab|m。2.同余方程3x≡7(mod11)的解为x≡(mod11)。3.设n=2³×3²×5，则φ(n)=。4.若17|(2^k-1)，则k一定是的倍数。5.满足1≤x≤100且x与105互素的正整数x的个数共有个。6.根据中国剩余定理，若同余方程组x≡2(mod3)和x≡3(mod5)有解，则其解在模15意义下唯一。二、计算题1.用欧几里得算法求252和198的最大公约数，并写出它们的一个线性表示式。2.解同余方程组：x≡3(mod8)x≡5(mod11)3.计算φ(360)和μ(36)的值。4.将十进制数476转换为二进制数和八进制数。三、证明题1.证明：若a|b且a|c，则对于任意整数x,y，都有a|(bx+cy)。2.证明：若a和b互素，则a和b的最大公约数φ(ab)=φ(a)φ(b)。（提示：可利用欧拉函数性质和二进制表示）3.证明中国剩余定理：设m,n是互素的正整数，a,b是任意整数。同余方程组x≡a(modm)和x≡b(modn)在模mn意义下有唯一解。四、综合应用题1.求所有正整数n，使得6n+15和8n+21能同时被5整除。2.设a,b是正整数，且a<b。证明：存在整数q,r(0≤r<b)，使得a=qb+r。并说明这是如何推广到任意整数除法中的。试卷答案一、填空题1.112.43.1204.25.406.是二、计算题1.解析思路：*应用欧几里得算法求GCD(252,198)。*252=1×198+54*198=3×54+36*54=1×36+18*36=2×18+0*GCD(252,198)=18。*根据最后一个非零余式，逆向表示GCD。*18=54-1×36*代入36=198-3×54：*18=54-1×(198-3×54)*18=54-198+3×54*18=4×54-198*代入54=252-1×198：*18=4×(252-1×198)-198*18=4×252-4×198-198*18=4×252-5×198*所以，存在整数x=4,y=-5，使得252x+198y=18。2.解析思路：*利用第一个同余方程求参数：x≡3(mod8)⇒x=8k+3(k∈ℤ)。*将其代入第二个同余方程：8k+3≡5(mod11)。*化简：8k≡2(mod11)。*求解8k≡2(mod11)。由于8和11互素，可乘以8的逆元。8的逆元是7，因为8×7=56≡1(mod11)。*方程两边同乘7：(7×8)k≡7×2(mod11)⇒k≡14(mod11)⇒k≡3(mod11)。*所以，k=11j+3(j∈ℤ)。*将k代回x的表达式：x=8(11j+3)+3=88j+24+3=88j+27。*因此，解为x≡27(mod88)。3.解析思路：*计算φ(360)：360=2³×3²×5。φ(n)=n(1-1/p₁)(1-1/p₂)...，其中p₁,p₂...是n的不同素因数。*φ(360)=360×(1-1/2)×(1-1/3)×(1-1/5)*φ(360)=360×1/2×2/3×4/5=180×2/3×4/5=120×4/5=96。*计算μ(36)：36=2²×3²。μ(n)的计算需要判断n是否为完全平方数。*因为36是完全平方数(6²)，所以μ(36)=0。4.解析思路：*二进制转换：476÷2=238余0；238÷2=119余0；119÷2=59余1；59÷2=29余1；29÷2=14余1；14÷2=7余0；7÷2=3余1；3÷2=1余1；1÷2=0余1。将余数从下往上读取：476(十进制)=111011100(二进制)。*八进制转换：476÷8=59余4；59÷8=7余3；7÷8=0余7。将余数从下往上读取：476(十进制)=734(八进制)。三、证明题1.解析思路：*证明a|b且a|c。由整除定义，存在整数k₁,k₂使得b=ak₁,c=ak₂。*考虑bx+cy：bx+cy=(ak₁)x+(ak₂)y=a(k₁x+k₂y)。*因为k₁x+k₂y是整数（整数的线性组合仍为整数），所以bx+cy=a×(某个整数)。*由整除定义，这表明a|(bx+cy)。*结论得证。2.解析思路：*设a=p₁^α₁p₂^α₂...p_k^α_k，b=q₁^β₁q₂^β₂...q_m^β_m，其中p_i,q_j为素数，α_i,β_j为非负整数。由于a,b互素，a和b的素因数完全不同。*计算φ(ab)：φ(ab)=ab(1-1/p₁)(1-1/p₂)...(1-1/q₁)(1-1/q₂)...。*计算φ(a)φ(b)：*φ(a)=a(1-1/p₁)(1-1/p₂)...=p₁^α₁(1-1/p₁)p₂^α₂(1-1/p₂)...=p₁^α₁-1p₂^α₂...p_k^α_k(乘积项)*φ(b)=b(1-1/q₁)(1-1/q₂)...=q₁^β₁(1-1/q₁)q₂^β₂(1-1/q₂)...=q₁^β₁-1q₂^β₂...q_m^β_m(乘积项)*计算φ(a)φ(b)=[p₁^α₁-1p₂^α₂...p_k^α_k]×[q₁^β₁-1q₂^β₂...q_m^β_m]=p₁^α₁-1q₁^β₁-1p₂^α₂q₂^β₂...p_k^α_kq_m^β_m。*比较φ(ab)和φ(a)φ(b)的表达式，它们具有相同的素数因子和指数（α_i-1对应α_i,β_j-1对应β_j，因为1-1/p_i=p_i-1/p_i）。因此，φ(ab)=φ(a)φ(b)。3.解析思路：*存在性：使用构造法。设x₀是一个解，即x₀≡a(modm)且x₀≡b(modn)。我们要构造一个解x。*令x=x₀+mnk，其中k是任意整数。*考察x模m的余数：x≡x₀+mnk(modm)≡x₀+0≡a(modm)。（因为mn是m的倍数）*考察x模n的余数：x≡x₀+mnk(modn)≡x₀+0≡b(modn)。（因为mn是n的倍数）*因此，对于任意整数k，x=x₀+mnk都是方程组的解。特别地，取k=0，得到解x=x₀。这表明解存在。*唯一性（模mn意义下）：假设x₁和x₂是方程组的两个解，即x₁≡a(modm),x₁≡b(modn)且x₂≡a(modm),x₂≡b(modn)。*则x₁-x₂≡a-a(modm)≡0(modm)，即m|(x₁-x₂)。*同理，x₁-x₂≡b-b(modn)≡0(modn)，即n|(x₁-x₂)。*由于m和n互素，根据算术基本定理，m和n的最小公倍数是mn，所以mn|(x₁-x₂)。*这意味着x₁≡x₂(modmn)。*因此，解在模mn意义下是唯一的。*综上，根据中国剩余定理，同余方程组有解且解在模mn意义下唯一。四、综合应用题1.解析思路：*要求6n+15和8n+21能同时被5整除。*条件1：6n+15≡0(mod5)。化简：n+0≡0(mod5)⇒n≡0(mod5)。*条件2：8n+21≡0(mod5)。化简：3n+1≡0(mod5)⇒3n≡-1(mod5)⇒3n≡4(mod5)。*解条件2：求3的逆元模5。3×2=6≡1(mod5)，所以3的逆元是2。方程两边乘以2：(2×3)n≡2×4(mod5)⇒n≡8(mod5)⇒n≡3(mod5)。*联立n≡0(mod5)和n≡3(mod5)。由于模数相同但余数不同，此同余方程组无解。*因此，不存在满足条件的正整数n。2.解析思路：*证明存在性：需要证明对于任意整数a和正整数b，存在整数q,r(0≤r<b)，使得a=qb+r。*考虑整数a除以正整数b的带余除法。根据整除定义，存在整数k₁和k₂使得a=bk₁+k₂，且k₂是整数。*我们需要调整k₂的取值范围使其满足0≤k₂<b。*如果k₂≥0，则取q=k₁,r=k₂，满足条件。*如果k₂<0，则a=bk₁+k₂=b(k₁-1)+(k₂+b)。此时取q=k₁-1,r=k₂+b。*检查r的范围：由于k₂<0，所以k₂+b<b。同时r=k₂+b≥-b+b=0。因此，0≤r<b。*所以，在所有情况下，都存在整数q,r满足a=qb+r且0≤r<b。*推广到任意整数除法：上述证明对任意整数a（正、负、零）和任意正整