2025年大学《数理基础科学》专业题库- 求解最优控制问题的方法

2025年大学《数理基础科学》专业题库——求解最优控制问题的方法考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、简述最优控制问题的基本要素，并说明什么是控制变量、状态变量和最优控制。二、解释什么是泛函，并给出一个无约束条件下泛函取极值的必要条件（变分法中的Euler-Lagrange方程）。三、动态规划法中的最优性原理是什么？请用一句话概括其核心思想。四、已知最优控制问题：最小化泛函J[y(x)]=∫[a,b](y'^2+y^2)dx，其中y(a)=y0,y(b)=y1。试用变分法求解该问题的最优轨线y(x)。五、阐述Pontryagin最小值原理的主要内容。在应用最小值原理求解最优控制问题时，通常需要满足哪些必要条件？六、考虑一个简单的线性系统x'=Ax+Bu，其中x(t)是状态向量，u(t)是控制向量，A和B是已知矩阵。设性能指标J=x(T)ᵀx(T)，其中T是有限终端时间。试用Pontryagin最小值原理推导最优控制律u*和最优轨线x*(t)的表达式（或所需满足的方程）。七、设有一最优控制问题，其Hamiltonian函数为H(x,u,p,t)=x*p+u*sin(x)-p^2+t，其中x是状态变量，u是控制变量（|u|≤1），p是伴随变量。试用极小值原理确定最优控制u*(x,p,t)应满足的条件。八、解释Bellman方程与Pontryagin最小值原理之间的关系。为什么说在无约束或控制变量不受限制的最优控制问题中，基于动态规划的方法和基于最小值原理的方法是等价的？九、考虑资源分配问题：一个总量为C的资源在时间[0,T]内进行分配，用于两个项目i=1,2。资源消耗率分别为u1(t)和u2(t)，收益函数分别为r1(u1(t))=u1(t)和r2(u2(t))=sqrt(u2(t))。假设资源消耗不可负，即u1(t)≥0,u2(t)≥0。目标是最小化总成本函数C1u1(T)+C2u2(T)，其中C1,C2>0为常数。请建立该问题的最优控制模型（写出状态方程、控制方程、边界条件、性能指标函数）。十、试比较动态规划法和Pontryagin最小值原理的优缺点，并说明在什么情况下选择哪种方法可能更合适。试卷答案一、最优控制问题的基本要素包括：状态变量（描述系统动态）、控制变量（影响系统动态的决策变量）、目标函数（衡量控制效果的函数）、约束条件（对状态变量和控制变量的限制，包括初始和终端条件）。控制变量是决策者可以控制的输入量。状态变量是系统在任意时刻的快照或内部描述。最优控制是指找到使目标函数最优（最大或最小）的控制变量函数。二、泛函是定义在某个函数集合上的函数。例如，F[y(x)]=∫[a,b]L(x,y(x),y'(x))dx是一个泛函，其中L是Lagrange函数，其自变量是x、状态函数y(x)及其导数y'(x)。无约束条件下泛函取极值的必要条件是变分法中的Euler-Lagrange方程：d/dx(dL/dy')-d/dx(dL/dy)+d/dx(dL/dx)=0。三、动态规划法中的最优性原理由贝尔曼提出，其核心思想是：一个最优策略具有这样的性质，即无论初始状态和初始决策如何，对于先前的决策所造成的状态而言，余下的决策必须构成一个最优策略。四、L(x,y,y')=y'^2+y^2。计算其偏导数：dL/dy'=2y'dL/dy=2ydL/dx=0根据Euler-Lagrange方程：d/dx(dL/dy')-d/dx(dL/dy)+d/dx(dL/dx)=0，得到：d/dx(2y')-d/dx(2y)=0即y''-y=0这是一个二阶常系数线性齐次微分方程。其通解为：y(x)=C1*e^x+C2*e^-x利用边界条件y(a)=y0和y(b)=y1，可以解出常数C1和C2：y0=C1*e^a+C2*e^-ay1=C1*e^b+C2*e^-b解此线性方程组得：C1=(y1*e^-b-y0*e^-a)/(e^(b-a))C2=(y0*e^b-y1*e^a)/(e^(b-a))因此，最优轨线为：y(x)=[(y1*e^-b-y0*e^-a)/(e^(b-a))]*e^x+[(y0*e^b-y1*e^a)/(e^(b-a))]*e^-x五、Pontryagin最小值原理的主要内容是：对于最优控制问题，存在一个非负的、与时间无关的乘子向量（伴随向量）p(t)，使得最优控制律u*和伴随向量p(t)满足一个微分方程系统，并且Hamiltonian函数H(x,u,p,t)在最优控制u*处取得最小值。应用最小值原理求解最优控制问题时，通常需要满足：系统状态方程、伴随方程（伴随状态）、横截条件（终端条件）、最小值条件（Hamiltonian在最优控制处取最小）、非负性/约束条件（如果存在）。六、设Hamiltonian函数为H=xᵀp+uᵀBᵀp+uQ-pᵀAx-pᵀx。其中Q是权重矩阵。最优性条件要求对控制u求偏导并令其为零：∂H/∂u=Bᵀp+Q=0从而得到最优控制律：u*=-(Bᵀp+Q)将u*代入状态方程x'=Ax+Bu，得到：x'=A(-Bᵀp-Q)+Bux'=-(ABᵀp+AQ)+Bux'+(ABᵀ+BA)p=-AQ这是伴随方程。初始条件为p(T)ᵀ，取决于终端状态x(T)和性能指标。七、根据最小值原理，最优控制u*应使Hamiltonian函数H取最小值。H=x*p+u*sin(x)-p^2+t。控制变量u的约束为|u|≤1。因此，需要比较H在u=1和u=-1时的值。H(u=1)=x*p+sin(x)-p^2+tH(u=-1)=x*p-sin(x)-p^2+t最优控制u*应满足：u*=argmin_uH(x,u,p,t)比较这两个表达式：如果x*sin(x)≥0(即x和sin(x)同号)，则H(u=1)≤H(u=-1)，此时u*=1。如果x*sin(x)<0(即x和sin(x)异号)，则H(u=1)>H(u=-1)，此时u*=-1。因此，最优控制u*(x,p,t)应满足：u*=1,如果x*sin(x)≥0u*=-1,如果x*sin(x)<0八、Bellman方程描述了最优值函数V*在状态x和时间t的值与未来子问题最优值函数的关系。Pontryagin最小值原理通过引入伴随变量p(t)建立了当前时刻的最优控制、状态和伴随变量之间的关系，并要求Hamiltonian在最优控制处取最小值。在无约束或控制变量不受限制的最优控制问题中，可以通过引入一个与控制相关的惩罚项（如log-barrier或penaltyfunction）将约束问题转化为无约束问题。在无约束形式下，最小值原理得到的HamiltonianH(x,u,p,t)的最小值条件∂H/∂u=0，结合状态方程x'=∂H/∂p和伴随方程∂H/∂x=-∂V*/∂x=-p，以及最优值函数满足的Bellman方程∂V*/∂t+min_uH(x,u,p,t)=0，可以推导出Bellman方程。因此，两者在无约束情况下是等价的。九、状态变量：x1(t)=资源总量C-∫[0,t](u1(τ)+u2(τ))dτ(剩余资源)，x2(t)=u1(t)(分配给项目1的资源速率)，x3(t)=u2(t)(分配给项目2的资源速率)。状态方程：dx1/dt=-(u1(t)+u2(t))dx2/dt=u1(t)dx3/dt=u2(t)控制变量：u1(t)≥0,u2(t)≥0(资源消耗率)性能指标函数：J=C1u1(T)+C2u2(T)(最小化总成本)终端条件：x1(T)=0(资源耗尽),x2(T)=∫[0,T]u1(τ)dτ(项目1总投入),x3(T)=∫[0,T]u2(τ)dτ(项目2总投入)约束条件：u1(t)≥0,u2(t)≥0十、动态规划法的优点是适用于离散或分阶段决策问题，具有递归结构，概念直观。缺点是状态空间维数（或阶段数）过高时，计算复杂度急剧增加（维数灾难），可能难以求解。Pontryagin最小