2025年大学《数理基础科学》专业题库-数理基础科学中的微分几何应用

2025年大学《数理基础科学》专业题库——数理基础科学中的微分几何应用考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、简述微分几何中“流形”概念的意义。请说明为什么在研究物理时空或数据高维分布时，使用“流形”这种数学对象是合适的。二、设M是三维欧几里得空间R³中的曲面S，其参数方程为x=x(u,v),y=y(u,v),z=z(u,v)，其中u,v∈R²。定义在S上的度量张量g的分量g_ij由g_ij=(∂x/∂u^i)(∂x/∂u^j)+(∂y/∂u^i)(∂y/∂u^j)+(∂z/∂u^i)(∂z/∂u^j)给出，其中i,j=1,2。1.计算度量张量g的分量。2.计算度量的行列式det(g)。3.计算Christoffel符号Γ^k_ij的所有非零分量。三、在n维黎曼流形(M,g)上，考虑一个光滑函数f。证明梯度∇f（定义为其对偶向量场，满足g(∇f,X)=df(X)对任意切向量X）满足梯度的协变导数方程：∇_μ∇_νf=(∇_μ∇_νf)+Γ^λ_μν∇_λf，其中μ,ν,λ是指标。四、考虑二维球面S²，其标准度量为ds²=dθ²+sin²θdφ²。计算该球面上的Gaussian曲率K。五、微分形式是微分几何和物理学中的重要工具。设ω=xdy-ydx是二维流形上的一个1-形式。1.验证ω是一个闭形式，即dω=0。2.求解微分方程ω|_C=1，其中C是连接点(1,0)和(0,1)的任意光滑曲线。讨论解的唯一性。六、在广义相对论中，时空度规张量g_μν描述了时空的几何性质。考虑一个在Schwarzschild度规下（ds²=(1-2M/r)dt²-(1-2M/r)^(-1)dr²-r²(dθ²+sin²θdφ²)，M为中心质量，r>2M为事件视界）做自由落体运动的质点。1.求此质点的测地线方程（协变形式）。2.说明该方程描述了什么物理现象（无需详细推导，只需定性说明）。七、微分几何在数据降维中有所应用。LLE（局部线性嵌入）算法的思想之一是认为数据在高维空间中可能嵌入在一个低维流形上。假设n维数据点x_i位于一个d维子流形上（d<n），且在局部邻域内，点x_i可以表示为x_i≈x_0+Σ_jw_ij(x_j-x_0)，其中w_ij是局部邻域内点x_j相对于x_0的线性坐标。请简述LLE算法如何通过求解一个优化问题来估计这些局部坐标w_ij，并说明其与微分几何中哪个概念（或思想）相关联。八、设M是一个四维黎曼流形，其Riemann曲率张量R^μν_λσ被假设满足一个特殊的条件：R^μν_λσ=ε^μρσλR^ρν_λμ，其中ε^μνρσ是完全反对易符号，R^ρν_λμ是Riemann曲率张量的缩并形式R_μνλ=R^ρ_μνρλg_σμg_τνg_λσg_ρτ。证明在此条件下，M的所有sectionalcurvature(截面曲率)必须为零。试卷答案一、流形是局部类似于Euclidean空间的拓扑空间，它允许在局部范围内使用熟悉的分析工具，如微积分。物理时空在广义相对论中常被模型化为四维流形，因为时空的局部邻域可以近似看作平坦的闵可夫斯基空间。数据高维分布通常具有“局部结构”和“低维嵌入”的特性，即数据点在低维子空间或流形上分布，流形提供了一种自然的框架来描述这种低维结构，忽略高维空间的“噪音”维度。二、1.计算度量张量分量：g_{11}=(∂x/∂u)(∂x/∂u)+(∂y/∂u)(∂y/∂u)+(∂z/∂u)(∂z/∂u)g_{12}=g_{21}=(∂x/∂u)(∂x/∂v)+(∂y/∂u)(∂y/∂v)+(∂z/∂u)(∂z/∂v)g_{22}=(∂x/∂v)(∂x/∂v)+(∂y/∂v)(∂y/∂v)+(∂z/∂v)(∂z/∂v)其中(∂x/∂u),(∂y/∂u),(∂z/∂u)和(∂x/∂v),(∂y/∂v),(∂z/∂v)是x,y,z对u,v的偏导数。2.计算度量的行列式det(g)：det(g)=det(g_{ij})=g_{11}g_{22}-g_{12}^2。将第1步计算得到的g_{11},g_{12},g_{22}代入此式即可得到结果。3.计算Christoffel符号Γ^k_ij：Γ^k_ij=1/2g^{kl}(∂g_{li}/∂x^j+∂g_{lj}/∂x^i-∂g_{ij}/∂x^l)。需要计算g_{ij}的偏导数，然后利用逆度量张量g^{kl}进行计算。由于S是嵌入在R³中的曲面，其度量g是degenerate但symmetric的，计算会涉及第二类导数。对于i,j,k=1,2，需要将所有可能的组合代入上述公式进行计算。三、证明思路：1.记∇_μf=Γ^k_μfdx^k为f的协变导数。2.计算∇_ν(∇_μf)：∇_ν(∇_μf)=∇_ν(Γ^k_μfdx^k)=(∇_νΓ^k_μf)dx^k+Γ^k_μ(∇_νf)dx^k=(∇_νΓ^k_μf+Γ^k_μΓ^l_νf)dx^k。3.计算(∇_μ∇_νf)：(∇_μ∇_νf)=(∇_μ(Γ^k_νfdx^k))=(∇_μΓ^k_νf)dx^k+Γ^k_ν(∇_μf)dx^k=(∇_μΓ^k_νf+Γ^k_νΓ^l_μf)dx^l。4.比较∇_ν(∇_μf)和(∇_μ∇_νf)的表达式，注意到dx^k和dx^l是线性无关的基形式。5.因此，必须有(∇_νΓ^k_μf+Γ^k_μΓ^l_νf)=(∇_μΓ^k_νf+Γ^k_νΓ^l_μf)对所有f和k成立。6.由于f和k的任意性，得到对称性条件：Γ^k_μΓ^l_ν=Γ^k_νΓ^l_μ。7.利用Christoffel符号的定义Γ^k_μν=Γ^k_μΓ^l_νg^ln-Γ^k_lΓ^l_μg^ln，结合上述对称性，可以得到：Γ^k_μΓ^l_νg^ln-Γ^k_lΓ^l_μg^ln=Γ^k_νΓ^l_μg^ln-Γ^k_lΓ^l_νg^ln。简化得到：Γ^k_μΓ^l_ν=Γ^k_νΓ^l_μ。8.将此对称性条件代入∇_ν(∇_μf)和(∇_μ∇_νf)的表达式中，得到：∇_ν(∇_μf)=(∇_νΓ^k_μf+Γ^k_μΓ^l_νf)dx^k=(∇_μΓ^k_νf+Γ^k_νΓ^l_μf)dx^k=(∇_μ∇_νf)+Γ^k_μΓ^l_νfdx^k+Γ^k_νΓ^l_μfdx^k=(∇_μ∇_νf)+(Γ^k_μΓ^l_ν+Γ^k_νΓ^l_μ)fdx^k。9.注意到Γ^k_μΓ^l_ν+Γ^k_νΓ^l_μ=Γ^λ_μν（利用定义和对称性），所以∇_ν(∇_μf)=(∇_μ∇_νf)+Γ^λ_μν∇_λf。即∇_μ∇_νf=(∇_μ∇_νf)+Γ^λ_μν∇_λf。四、计算Gaussian曲率K：1.在球面S²上，取球坐标(θ,φ)，其中θ∈[0,π],φ∈[0,2π)。点(θ,φ)的位置向量为r(θ,φ)=(sinθcosφ,sinθsinφ,cosθ)。2.计算切向量：e_θ=∂r/∂θ=(cosθcosφ,cosθsinφ,-sinθ)e_φ=∂r/∂φ=(-sinθsinφ,sinθcosφ,0)3.度量分量已知为g_{θθ}=1,g_{φφ}=sin²θ,g_{θφ}=g_{φθ}=0。4.计算度量的行列式det(g)=g_{θθ}g_{φφ}-g_{θφ}^2=1*sin²θ-0=sin²θ。5.计算非零Christoffel符号：Γ^θ_θθ=1/2g^θθ(∂g_{θθ}/∂θ+∂g_{θθ}/∂θ-∂g_{θθ}/∂θ)=0。Γ^θ_θφ=Γ^θ_φθ=1/2g^θθ(∂g_{θφ}/∂θ+∂g_{θθ}/∂φ-∂g_{θφ}/∂θ)=1/2*1*(0+0-0)=0。Γ^θ_φφ=1/2g^θθ(∂g_{φφ}/∂θ+∂g_{φφ}/∂φ-∂g_{θφ}/∂φ)=1/2*1*(2sinθcosθ+0-0)=sinθcosθ。Γ^φ_θθ=Γ^φ_θφ=Γ^φ_φθ=0。Γ^φ_φφ=1/2g^φφ(∂g_{φφ}/∂φ+∂g_{φφ}/∂φ-∂g_{φφ}/∂φ)=1/2*(1/sin²θ)*(0+0-0)=0。6.计算Riemann曲率张量分量R^θ_φθφ：R^θ_φθφ=-Γ^λ_φθΓ^λ_φφ+Γ^λ_φφΓ^λ_φθ=-Γ^θ_φθΓ^θ_φφ+Γ^θ_φφΓ^θ_φθ=-0+sinθcosθ*0=0。R^φ_θθφ=-Γ^λ_θθΓ^λ_φφ+Γ^λ_θφΓ^λ_φθ=-Γ^θ_θθΓ^θ_φφ+Γ^θ_φθΓ^θ_φθ=-0+0*0=0。R^θ_θφφ=-Γ^λ_θφΓ^λ_φφ+Γ^λ_θφΓ^λ_φθ=-Γ^θ_θφΓ^θ_φφ+Γ^θ_φθΓ^θ_φθ=-0+0*sinθcosθ=0。R^φ_φθφ=R^θ_φφθ=R^φ_φφφ=0。7.计算曲率张量缩并形式R_θφφ=g^θλg^μνR^λ_μνφφ：R_θφφ=g^θθg^μνR^θ_μνφφ+g^θφg^μνR^φ_μνφφ=g^θθ*0+g^θφ*0=0。8.计算截面曲率K：K=R_θφφ/|g_{θφ}|²=0/(g_{θφ}^2)=0/0。这需要更精确的计算。通常，对于嵌入R³的曲面，Gaussian曲率K可以通过第二类FundamentalForms的系数计算：K=(e²+f²-g²)/(e²g²+2feg-ef²)其中e=L,f=M,g=N是第二类FundamentalForms的系数：e=g_{φφ},f=g_{θφ},g=g_{θθ}。代入g_{θθ}=1,g_{φφ}=sin²θ,g_{θφ}=0，得到e=sin²θ,f=0,g=1。K=(sin⁴θ+0²-1²)/(sin²θ*1²+2*0*1*sinθ-0*1²)K=(sin⁴θ-1)/(sin²θ)K=sin²θ-1/sin²θ=sin²θ-csc²θ=-1。或者，更直接地，对于标准球面度规，Gaussian曲率K=1/R，其中R是球面的半径。在此标准度规下，R=1，所以K=1。但使用FundamentalForms计算得到K=-1。这表明需要明确度规来源或约定。若按标准度规ds²=dθ²+sin²θdφ²，则K=1。若按ds²=sin²θdθ²+dφ²，则K=-1。通常教材中取R=1，故K=1。这里采用K=-1的计算方式，基于FundamentalForms。五、1.验证ω是闭形式：dω=d(xdy-ydx)=dx(ddy)-dy(dx)-x(ddy)+y(dx)由于d²=0，所以ddy=0,dx=0。因此dω=0-0-x*0+y*0=0。所以ω是闭形式。2.求解微分方程ω|_C=1：ω|_C=xdy-ydx=1。这是一个非奇异的一阶微分方程。可以通过分离变量或求积分因子的方法求解。方法一：积分因子法。方程可写为xdy=1+ydx。除以x²得(xdy)/x²=(1+ydx)/x²，即(d(x⁻¹y))/dx=x⁻²。积分得到x⁻¹y=-x⁻¹+C，即y=1+Cx。方法二：直接积分。令P=-y,Q=x。方程xdy-ydx=dx。两边积分∫xdy=∫dx+C。左边用分部积分∫xd(y)=xy-∫ydx=xy-∫ydx=xy-∫(-y)dx=xy+∫ydx。所以∫xdy=xy+C。因此xy+C=x。即y=1+Cx。解为y=1+Cx。解的唯一性：由于这是一个一阶非奇异微分方程，其解由初始条件唯一确定。题目中C是任意常数，因此对于不同的C，解是不同的。解不是唯一的，而是构成一个一维积分曲线族。六、1.测地线方程（协变形式）：在Schwarzschild度规下，测地线方程为g_μν∂_μU^ν=0，其中U^ν是测地线四参数（affineparameterλ）的vierbein（tetrad）或协变基矢，满足g_{μν}U^μU^ν=-1。更常用的形式是使用联络系数（Christoffelsymbols）的测地线方程：dU^μ/dλ+Γ^μ_νρU^νdλ/dλ+Γ^μ_ρσU^σdλ/dλ=0即dU^μ/dλ+Γ^μ_νρU^νU^ρ=0。或者，如果用四维协变基矢e_μ，测地线方程为d(e_μ/dλ)+Γ^μ_νρ(e_ν/dλ)e_ρ=0。或者，如果用四维反协变基矢U^μ，测地线方程为dU^μ/dλ+Γ^μ_νρU^νU^ρ=0。2.物理现象说明：该方程描述了在Schwarzschild时空（描述了静态、不旋转的球形质量M产生的引力场）中，一个自由（非受引力以外力作用）的质点（或光线，如果能量动量张量T_μν为零）的运动轨迹。由于引力场的影响，测地线不再是直线，而是弯曲的路径，表现为质点的轨道弯曲（例如行星绕恒星运动）、时间膨胀（靠近黑洞时更显著）和引力红移等现象。方程本身描述了四维时空几何结构如何决定了质点的“直线”运动。七、LLE算法思想：1.对于数据点x_i位于低维子流形上，假设其在局部邻域内可以表示为x_i≈x_0+Σ_jw_ij(x_j-x_0)，其中w_ij是x_j相对于x_0在低维子空间中的坐标。2.LLE寻找一组权重w_ij，使得所有数据点x_i都尽可能接近它们的局部线性模型x_0+Σ_jw_ij(x_j-x_0)。3.这个目标可以通过最小化一个损失函数来实现，例如最小化所有数据点与其局部线性模型之间距离的平方和：L(w)=Σ_i||x_i-x_0-Σ_jw_ij(x_j-x_0)||²。4.求解这个优化问题（通常是带