2025年大学《数学与应用数学》专业题库- 数学模型解析社会现象的本质

2025年大学《数学与应用数学》专业题库——数学模型解析社会现象的本质考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、设函数$f(x)=\frac{1}{x}-\lnx$，讨论$f(x)$在其定义域内的单调性和极值。二、已知函数$g(x)$满足$g'(x)=\frac{2x}{x^2+1}$，且$g(1)=1$，求$g(2)$的值。三、设函数$h(x)=x^3-ax^2+bx+c$，其中$a,b,c$为常数。若$h(x)$在$x=1$处取得极大值，在$x=-1$处取得极小值，且$h(0)=1$，求$a,b,c$的值。四、某城市的人口增长可以近似地用逻辑斯蒂模型描述。假设该城市当前的人口为$P_0$，最大容量为$K$，增长率系数为$r$。若经过$T$年后，人口翻了一番，建立数学模型描述这一过程，并求当$P_0=100$万，$K=1000$万，$r=0.01$时，需要多少年人口才能达到最大容量的$90\%$。五、某公司生产一种产品，固定成本为$C_0$，单位可变成本为$C_1$，售价为$P$。市场需求量$Q$是价格$P$的函数，$Q=a-bP$，其中$a,b$为正常数。求该公司获得最大利润时的售价和产量。六、在一个简单的经济模型中，假设一个国家的总产出$Y$由消费$C$、投资$I$和政府支出$G$组成，即$Y=C+I+G$。消费函数为$C=a+bY$，其中$a$为自主消费，$b$为边际消费倾向，且$0<b<1$。投资$I$和政府支出$G$为外生变量。求该经济模型的均衡产出水平。七、设线性方程组$\begin{cases}ax_1+bx_2+cx_3=d\\x_1+2x_2+3x_3=4\\2x_1+3x_2+4x_3=5\end{cases}$，讨论当$a,b,c,d$满足什么条件时，该方程组有唯一解、无解、有无穷多解。八、设向量组$\alpha_1=(1,1,1),\alpha_2=(1,2,3),\alpha_3=(1,3,t)$。(1)求$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$的秩；(2)若$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$线性无关，求$t$的取值范围。九、设函数$f(x)$在区间$[a,b]$上连续，在$(a,b)$内可导。证明：存在$\xi\in(a,b)$，使得$\int_a^bf(t)\,dt=(b-a)f(\xi)$。十、某工厂生产两种产品$A$和$B$，生产每单位产品$A$需要消耗原材料$x_1$和劳动力$x_2$，生产每单位产品$B$需要消耗原材料$y_1$和劳动力$y_2$。工厂现有原材料总量为$R$，劳动力总量为$L$。产品$A$的单位利润为$p_A$，产品$B$的单位利润为$p_B$。如何安排两种产品的生产计划，才能使工厂的总利润最大？建立数学模型描述这一过程。试卷答案一、$f'(x)=-\frac{1}{x^2}-\frac{1}{x}=-\frac{x+1}{x^2}$。令$f'(x)=0$，得$x=-1$。当$x\in(0,-1)$时，$f'(x)>0$，$f(x)$单调递增；当$x\in(-1,+\infty)$时，$f'(x)<0$，$f(x)$单调递减。$f(x)$在$x=-1$处取得极大值，极大值为$f(-1)=-1+\ln1=-1$，无极小值。二、$g(x)=\int\frac{2x}{x^2+1}\,dx=\ln(x^2+1)+C$。由$g(1)=1$，得$\ln2+C=1$，即$C=1-\ln2$。所以$g(x)=\ln(x^2+1)+1-\ln2$。$g(2)=\ln5+1-\ln2=\ln\frac{5}{2}+1$。三、$h'(x)=3x^2-2ax+b$。由题意，$h'(1)=0$且$h'(-1)=0$，得$3-2a+b=0$和$3+2a+b=0$。解得$a=0$，$b=-3$。又$h(0)=c=1$。所以$a=0$，$b=-3$，$c=1$。四、逻辑斯蒂模型为$P(t)=\frac{K}{1+\left(\frac{P_0}{K}\right)e^{-rt}}$。由$P(T)=2P_0$，得$\frac{1}{1+\left(\frac{P_0}{K}\right)e^{-rT}}=2$，即$e^{-rT}=\frac{1}{2\left(\frac{P_0}{K}+1\right)}$。当$P_0=100$万，$K=1000$万，$r=0.01$时，$e^{-0.01T}=\frac{1}{2.1}$。所以$T=\frac{\ln2.1}{0.01}\approx46.05$年。此时人口达到最大容量的$90\%$时，$P(t)=0.9K$，即$\frac{1}{1+\left(\frac{P_0}{K}\right)e^{-0.01t}}=0.9$。解得$t\approx57.78$年。五、总收益$R=P\cdotQ=P(a-bP)=aP-bP^2$。总成本$C=C_0+C_1Q=C_0+C_1(a-bP)=C_0+aC_1-bC_1P$。利润函数$\pi=R-C=(a-bP)P-(C_0+aC_1-bC_1P)=-bP^2+(a+bC_1)P-C_0-aC_1$。令$\pi'(P)=-2bP+a+bC_1=0$，得$P=\frac{a+bC_1}{2b}$。此时$Q=a-bP=\frac{a-bC_1}{2}$。由于$R''(P)=-2b<0$，故$P=\frac{a+bC_1}{2b}$时利润最大，产量为$Q=\frac{a-bC_1}{2}$。六、将$C=a+bY$代入$Y=C+I+G$，得$Y=a+bY+I+G$。整理得$(1-b)Y=a+I+G$。所以均衡产出水平$Y=\frac{a+I+G}{1-b}$。七、系数矩阵为$\begin{pmatrix}a&b&c\\1&2&3\\2&3&4\end{pmatrix}$。增广矩阵为$\begin{pmatrix}a&b&c&d\\1&2&3&4\\2&3&4&5\end{pmatrix}$。对增广矩阵进行行变换：$\begin{pmatrix}a&b&c&d\\1&2&3&4\\2&3&4&5\end{pmatrix}\xrightarrow{r_1\leftrightarrowr_2}\begin{pmatrix}1&2&3&4\\a&b&c&d\\2&3&4&5\end{pmatrix}\xrightarrow{r_3-2r_1}\begin{pmatrix}1&2&3&4\\a&b&c&d\\0&-1&-2&-3\end{pmatrix}\xrightarrow{r_2-ar_1}\begin{pmatrix}1&2&3&4\\0&b-2a&c-3a&d-4a\\0&-1&-2&-3\end{pmatrix}$。(1)若$b-2a\neq0$或$-1\neq0$，则方程组有唯一解；(2)若$b-2a=0$且$c-3a=0$且$d-4a=0$，即$a=\frac{b}{2}=\frac{c}{3}=\frac{d}{4}$，则方程组有无穷多解；(3)若$b-2a=0$且$c-3a=0$但$d-4a\neq0$，则方程组无解。八、(1)对矩阵$\begin{pmatrix}1&1&1\\1&2&3\\1&3&t\end{pmatrix}$进行行变换：$\begin{pmatrix}1&1&1\\1&2&3\\1&3&t\end{pmatrix}\xrightarrow{r_2-r_1}\begin{pmatrix}1&1&1\\0&1&2\\1&3&t\end{pmatrix}\xrightarrow{r_3-r_1}\begin{pmatrix}1&1&1\\0&1&2\\0&2&t-1\end{pmatrix}\xrightarrow{r_3-2r_2}\begin{pmatrix}1&1&1\\0&1&2\\0&0&t-5\end{pmatrix}$。若$t\neq5$，则秩为3；若$t=5$，则秩为2。(2)若$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$线性无关，则矩阵$\begin{pmatrix}1&1&1\\1&2&3\\1&3&t\end{pmatrix}$的秩为3，即$t\neq5$。九、由积分中值定理，存在$\xi\in(a,b)$，使得$\int_a^bf(t)\,dt=f(\xi)(b-a)$。又$f(x)$在$(a,b)$内可导，故$f(x)$在$(a,b)$