2025年大学《数理基础科学》专业题库- 数学统计与生物检测技术的结合

2025年大学《数理基础科学》专业题库——数学统计与生物检测技术的结合考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、1.设随机变量X的分布律为P(X=k)=(k+1)/6,k=1,2,3。求E(X)和D(X)。2.设总体X服从正态分布N(μ,σ²)，X₁,X₂,...,Xₙ是来自总体X的简单随机样本。写出样本均值\bar{X}的分布。3.在假设检验中，第一类错误和第二类错误的定义分别是什么？它们之间有什么关系？二、1.设随机变量X和Y相互独立，且X~N(0,1)，Y~N(0,1)。求随机变量Z=X²+Y²的分布。2.从正态总体N(μ,4)中抽取容量为16的样本，样本均值为\bar{X}。若要使μ的90%置信区间的长度不超过1，需要抽取多少个样本？3.为了检验某种药物的疗效，随机抽取了10名病人，记录服药前后病人的血压数据如下（单位：mmHg）：服药前：120,125,130,134,138,140,142,145,150,155服药后：118,122,128,132,135,139,141,144,148,152假设服药前后血压差值服从正态分布。试用t检验（显著性水平α=0.05）检验该药物能否降低血压。三、1.某生物检测方法用于检测某种病毒，其灵敏度定义为能正确检测出含病毒样本的概率。已知该病毒在人群中的阳性率为1%，该检测方法的灵敏度为99%。求一项检测中，检测结果为阳性的情况下，样本确实含有病毒的概率（即真阳性率）。2.为了评估两种不同基因测序技术的准确性，分别用这两种技术对10个已知基因序列进行测序。得到的测序结果与已知序列的碱基差异数如下：技术A：3,2,4,1,0,2,3,1,2,1技术B：5,4,6,3,2,5,4,3,4,2假设两种技术的测序差异数均服从正态分布，且方差相等。试用F检验（显著性水平α=0.05）检验两种技术的测序差异数的方差是否有显著差异。3.在一项研究中，收集了30对父子身高数据（单位：cm）：父亲身高：170,172,175,178,180,182,184,186,188,190,192,194,196,198,200,202,204,206,208,210,212,214,216,218,220,222,224,226,228儿子身高：172,174,176,178,180,182,184,186,188,190,192,194,196,198,200,202,204,206,208,210,212,214,216,218,220,222,224,226,228,230假设儿子身高Y与父亲身高X满足线性关系Y=β₀+β₁X+ε，其中ε~N(0,σ²)。试用最小二乘法估计回归系数β₀和β₁，并解释其意义。试卷答案一、1.E(X)=(1+1)/6+(2+1)/6+(3+1)/6=2。D(X)=E(X²)-[E(X)]²。E(X²)=1²*(1+1)/6+2²*(2+1)/6+3²*(3+1)/6=5/3。所以D(X)=5/3-2²=5/3-4/3=2/3。2.\bar{X}~N(μ,σ²/n)。3.第一类错误是指H₀为真，但拒绝了H₀。第二类错误是指H₀为假，但接受了H₀。两者不能同时避免，减小其中一个通常会增大另一个。二、1.因为X和Y相互独立且同分布N(0,1)，所以X²和Y²独立且同分布χ²(1)。根据χ²分布的可加性，Z=X²+Y²~χ²(2)。由于χ²(2)分布即为指数分布Exp(1/2)，所以Z~Exp(1/2)。2.由于σ已知为2，使用Z检验。90%置信水平对应Z_(α/2)=Z_0.05=1.645。置信区间长度为2*Z_(α/2)*(σ/√n)=2*1.645*(2/√n)≤1。解得√n≥10.882，即n≥118.35。需要至少抽取119个样本。3.计算差值d_i=服药后-服药前：-2,-3,0,-2,-3,1,-1,1,2,3。样本均差\bar{d}=-0.1。样本标准差s_d=sqrt[sum(d_i-\bar{d})²/(n-1)]=sqrt[(-2+0.1)²+(-3+0.1)²+...+(3+0.1)²/9]=sqrt[20.9/9]=sqrt[2.322]≈1.524。提出假设H₀:μ_d=0(药物无效)，H₁:μ_d<0(药物有效)。计算t统计量t=\bar{d}/(s_d/√n)=-0.1/(1.524/√10)=-0.1/(1.524/3.162)=-0.1/0.482≈-0.207。自由度df=n-1=9。查t分布表，t_(0.05,9)≈1.833。因为|t|=0.207<1.833，不能拒绝H₀。在α=0.05水平上，没有足够证据表明该药物能降低血压。三、1.设A表示检测结果为阳性，B表示样本含有病毒。P(A|B)是灵敏度，P(A|B')是假阳性率。P(B)是阳性率。P(B|A)=P(A|B)P(B)/[P(A|B)P(B)+P(A|B')P(B')]=0.99*0.01/[0.99*0.01+0.01*0.99]=0.0099/(0.0099+0.0099)=0.0099/0.0198=0.5。2.计算样本均值和方差：\bar{X}_A=(3+2+...+1)/10=20/10=2，s_A²=[(3-2)²+...+(1-2)²]/9=[1+4+0+1+4+1+4+1+4+1]/9=21/9=7/3。\bar{X}_B=(5+4+...+2)/10=45/10=4.5，s_B²=[(5-4.5)²+...+(2-4.5)²]/9=[0.25+2.25+6.25+2.25+6.25+6.25+2.25+6.25+2.25+6.25]/9=38.5/9=77/18。计算F统计量F=s_B²/s_A²=(77/18)/(7/3)=(77/18)*(3/7)=77/(18*7)=77/126=11/18≈0.611。自由度df₁=10-1=9，df₂=10-1=9。查F分布表，F_(0.05,9,9)≈3.18。因为F=11/18≈0.611<3.18，不能拒绝H₀。在α=0.05水平上，没有足够证据表明两种技术的测序差异数的方差有显著差异。3.计算样本均值：\bar{X}=(170+...+228)/30=3060/30=102。\bar{Y}=(172+...+230)/30=3150/30=105。计算离差平方和：SS_X=30*102²-(3060)²/30=30*10404-936360/30=312120-31212=280808。SS_Y=30*105²-(3150)²/30=30*11025-992250/30=330750-33075=297375。计算交叉乘积和：SP=30*(170*172+...+228*230)-(3060*3150)/30=30*(291860+...+52440)-3060*3150/30=30*4273050-3060*3150/30=128191500-318150=128174350。最小二乘估计：β₁=SP/SS_X=128174350/280