2025年大学《数理基础科学》专业题库- 数学信号处理与图像处理

2025年大学《数理基础科学》专业题库——数学信号处理与图像处理考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、选择题（每题3分，共30分。请将正确选项的字母填在题后括号内）1.下列哪个信号是周期信号？(A)e^(-t)(B)sin(πt+π/4)(C)t^2(D)tu(t)2.若信号x(t)的傅里叶变换为X(jω)，则信号y(t)=x(2t-4)的傅里叶变换为？(A)X(jω/2)*e^(-j2ω)(B)X(jω/2)*e^(j4ω)(C)2X(jω/2)*e^(-j2ω)(D)1/2X(jω/2)*e^(j4ω)3.离散时间信号x[n]={1,2,3,4}，其5点单位脉冲响应h[n]={1,-1,0,-1,1}，则x[n]*h[n]（卷积）的第一个非零值是？(A)1(B)2(C)3(D)44.对一个带宽为BHz的连续时间信号进行理想采样，为避免混叠，采样频率f_s必须满足？(A)f_s≥BHz(B)f_s>2BHz(C)f_s<2BHz(D)f_s≥2BHz5.已知信号X(jω)=1/(jω+2)，其逆傅里叶变换x(t)是？(A)e^(-2t)u(t)(B)-e^(-2t)u(-t)(C)1/2e^(-2t)u(t)(D)1/2e^(-2t)u(-t)6.在图像几何变换中，下列哪种变换属于仿射变换？(A)透视变换(B)平移变换(C)绕任意点旋转(D)锥形变换7.图像直方图均衡化主要目的是？(A)增强图像的边缘(B)提高图像的对比度(C)降低图像的噪声(D)减少图像的文件大小8.用于图像平滑，能有效去除椒盐噪声的滤波器是？(A)均值滤波器(B)中值滤波器(C)高斯滤波器(D)Sobel滤波器9.对图像进行二维离散余弦变换（DCT），其能量主要集中在哪个系数上？(A)高频系数(B)低频系数(C)中频系数(D)所有系数能量相同10.在图像退化模型中，传感器噪声通常被认为是？(A)乘性噪声(B)加性噪声(C)缺陷性噪声(D)空间噪声二、填空题（每空3分，共30分。请将答案填在题后横线上）11.若连续时间信号x(t)的能量有限，则其傅里叶变换X(jω)在______上是绝对可积的。12.离散时间傅里叶变换（DTFT）的频域范围是______。13.线性时不变（LTI）系统的卷积运算满足交换律，即x(t)*h(t)=______。14.根据采样定理，对一个频带限制在0到BHz的模拟信号进行理想采样，得到的离散时间信号x[n]=x(t)*s(t)，其中s(t)是理想冲激序列，其频率为f_s，则f_s=______。15.图像的分辨率通常用每英寸像素数（PPI）或每厘米像素数（PPCM）来衡量，它表示图像在______方向上的详细程度。16.图像增强的目的是改善图像的视觉效果或便于后续处理，它处理的是图像的______域信息。17.在图像频率域中，低频分量对应图像的______信息，高频分量对应图像的______信息。18.小波变换相比傅里叶变换，其主要优点之一是具有______特性，能进行时频局部分析。19.若一个N×N的图像矩阵每个像素值都加上一个常数C，这种操作称为______变换。20.在线性系统的系统函数H(jω)=Y(jω)/X(jω)中，若H(jω)是一个实数，则该系统是______系统。三、计算题（共4题，共50分）21.（12分）已知连续时间信号x(t)=e^(-at)u(t)(a>0)。(1)求x(t)的傅里叶变换X(jω)。(2)利用傅里叶变换的性质，求信号y(t)=te^(-at)u(t)的傅里叶变换Y(jω)。22.（12分）已知离散时间信号x[n]={1,2,3,4,5}和h[n]={1,-1,0,-1,1}。(1)计算卷积x[n]*h[n]的第一个10个样值。(2)利用圆周卷积的性质，计算x[n]与h[n]的6点圆周卷积（假设为循环卷积），并写出结果。23.（13分）考虑一个离散时间系统，其系统函数H(z)=1/(1-0.5z^(-1))+2/(1+0.3z^(-1))。(1)求该系统的单位脉冲响应h[n]（用封闭形式表示）。(2)若系统输入信号为x[n]=(0.8)^nu[n]，求系统的零态响应y[n]（用封闭形式表示）。24.（13分）设有一幅8x8的灰度图像f(x,y)，其部分像素值如下（其他像素值为0）：f(0,0)=10,f(0,1)=20,f(1,0)=30,f(1,1)=40。假设对该图像进行了2x2的大小减半重采样，采用最近邻插值法。(1)请画出原始的4个非零像素点在8x8网格中的位置。(2)计算重采样后在4x4网格中，对应于原始点(0,0)、(0,1)、(1,0)、(1,1)的新像素值。(3)计算重采样后新点(0,0)和(1,1)的像素值。试卷答案一、选择题1.B2.C3.B4.D5.A6.B7.B8.B9.B10.B二、填空题11.实数轴12.(-π,π]或者[-π,π]13.h(t)*x(t)14.2B15.水平（或垂直）16.空间（或像素）17.统一（或整体），细节（或局部）18.时频局部化19.线性（或对比度）20.虚数（或非奇非偶）三、计算题21.（12分）(1)解：x(t)=e^(-at)u(t)。X(jω)=∫[-∞,+∞]e^(-at)u(t)*e^(-jωt)dt=∫[0,+∞]e^(-at)*e^(-jωt)dt=∫[0,+∞]e^(-(a+jω)t)dt=[-1/(a+jω)*e^(-(a+jω)t)]|_[0,+∞]=0-(-1/(a+jω)*0^(-(a+jω)))=1/(a+jω)。（注：a>0保证积分收敛）X(jω)=1/(a+jω)(2)解：利用时移特性x(at)←>1/(a+jω)和时域微分特性-t*x(t)←>j(d/dω)X(jω)。y(t)=te^(-at)u(t)=-d/dt[e^(-at)u(t)]Y(jω)=j*d/dω[X(jω)]=j*d/dω[1/(a+jω)]=j*[-j/(a+jω)^2]=[1/(a+jω)^2]。Y(jω)=1/(a+jω)^222.（12分）(1)解：采用按行按列相乘求和的卷积定义方法。x[0]*h[0]=1x[0]*h[1]=-1x[0]*h[2]=0x[0]*h[3]=-1x[0]*h[4]=1x[1]*h[0]=2x[1]*h[1]=-2x[1]*h[2]=0x[1]*h[3]=-2x[1]*h[4]=2x[2]*h[0]=3x[2]*h[1]=-3x[2]*h[2]=0x[2]*h[3]=-3x[2]*h[4]=3x[3]*h[0]=4x[3]*h[1]=-4x[3]*h[2]=0x[3]*h[3]=-4x[3]*h[4]=4x[4]*h[0]=5x[4]*h[1]=-5x[4]*h[2]=0x[4]*h[3]=-5x[4]*h[4]=5将对应乘积相加，得到卷积结果：y[0]=1-1+0-1+1=0y[1]=-1+2-2+0-2=-3y[2]=1-2+0+2-2=-1y[3]=-1+2+0-2+2=1y[4]=1-2+0-2+2=1y[5]=-1+2+0+2-2=1y[6]=1-2+0+2-2=1y[7]=-1+2+0-2+2=1y[n]={0,-3,-1,1,1,1,1,1}(n≥0)（注意：卷积结果的长度为x[n]长度(N=5)+h[n]长度(M=5)-1=9。此处题目给出的是5个非零值，假设信号在非零点之外为零，则卷积非零长度为8，题目要求前10个样值，则补零后为9个，计算结果为9个非零值）(2)解：计算6点圆周卷积x[n]⊛h[n]=Σ[k=0to5]x[k]*h[(n-k)mod6]。x[n]={1,2,3,4,5,0,0,...}h[n]={1,-1,0,-1,1,0,0,...}计算y[0]到y[5]：y[0]=Σ[k=0to5]x[k]*h[(0-k)mod6]=x[0]*h[0]+x[1]*h[5]+x[2]*h[4]+x[3]*h[3]+x[4]*h[2]+x[5]*h[1]=1*1+2*0+3*(-1)+4*0+5*0+0*(-1)=1-3=-2y[1]=Σ[k=0to5]x[k]*h[(1-k)mod6]=x[0]*h[5]+x[1]*h[4]+x[2]*h[3]+x[3]*h[2]+x[4]*h[1]+x[5]*h[0]=1*0+2*(-1)+3*0+4*(-1)+5*1+0*1=-2-4+5=-1y[2]=Σ[k=0to5]x[k]*h[(2-k)mod6]=x[0]*h[4]+x[1]*h[3]+x[2]*h[2]+x[3]*h[1]+x[4]*h[0]+x[5]*h[-1]=1*0+2*0+3*(-1)+4*1+5*(-1)+0*5(h[-1]mod6=h[5])=-3+4-5=-4y[3]=Σ[k=0to5]x[k]*h[(3-k)mod6]=x[0]*h[3]+x[1]*h[2]+x[2]*h[1]+x[3]*h[0]+x[4]*h[-1]+x[5]*h[-2]=1*0+2*0+3*(-1)+4*1+5*5+0*4(h[-2]mod6=h[4])=-3+4+25=26y[4]=Σ[k=0to5]x[k]*h[(4-k)mod6]=x[0]*h[2]+x[1]*h[1]+x[2]*h[0]+x[3]*h[-1]+x[4]*h[-2]+x[5]*h[-3]=1*0+2*(-1)+3*1+4*5+5*4+0*3(h[-3]mod6=h[3])=-2+3+20+20=41y[5]=Σ[k=0to5]x[k]*h[(5-k)mod6]=x[0]*h[1]+x[1]*h[0]+x[2]*h[-1]+x[3]*h[-2]+x[4]*h[-3]+x[5]*h[-4]=1*(-1)+2*1+3*5+4*4+5*3+0*2(h[-4]mod6=h[2])=-1+2+15+16+15=47结果为：y[n]={-2,-1,-4,26,41,47}(n=0to5)（圆周卷积结果长度为N=6）23.（13分）(1)解：H(z)=1/(1-0.5z^(-1))+2/(1+0.3z^(-1))=H1(z)+H2(z)。对H1(z)求逆Z变换：H1(z)=1/(1-0.5z^(-1))=Σ[k=0to∞](0.5)^kz^(-k)对H2(z)求逆Z变换：H2(z)=2/(1+0.3z^(-1))=-2/(1-(-0.3z^(-1)))=Σ[k=0to∞](-0.3)^k*(-2)z^(-k)=Σ[k=0to∞]2*(-0.3)^kz^(-k)h[n]=h1[n]+h2[n]=Σ[k=0to∞](0.5)^kz^(-k)+Σ[k=0to∞]2*(-0.3)^kz^(-k)h[n]=Σ[k=0to∞][(0.5)^k+2*(-0.3)^k]z^(-k)h[n]=Σ[k=0to∞][(0.5)^k+2*(-0.3)^k]δ[n-k]（利用Z变换的时移特性）h[n]={(0.5)^0+2*(-0.3)^0,(0.5)^1+2*(-0.3)^1,(0.5)^2+2*(-0.3)^2,...}h[n]={1+2,0.5-0.6,0.25-0.18,...}h[n]={3,-0.1,0.07,...}封闭形式：h[n]=Σ[k=0to∞][(0.5)^k+2*(-0.3)^k]δ[n-k](2)解：求零态响应y[n]=H(z)*X(z)。X(z)=Σ[k=0to∞](0.8)^kz^(-k)=1/(1-0.8z^(-1))(|0.8|<1)Y(z)=H(z)*X(z)=[1/(1-0.5z^(-1))+2/(1+0.3z^(-1))]*[1/(1-0.8z^(-1))]Y(z)=[1/(1-0.5z^(-1))*1/(1-0.8z^(-1))]+[2/(1+0.3z^(-1))*1/(1-0.8z^(-1))]Y(z)=[1/((1-0.5z^(-1))(1-0.8z^(-1)))]+[2/((1+0.3z^(-1))(1-0.8z^(-1)))]进行部分分式展开：1/((1-0.5z^(-1))(1-0.8z^(-1)))=A/(1-0.5z^(-1))+B/(1-0.8z^(-1))1=A(1-0.8z^(-1))+B(1-0.5z^(-1))令z^(-1)=0,1=A(1-0)=A,A=1令z^(-1)=1,1=A(1-0.8)+B(1-0.5)=0.2A+0.5B,1=0.2+0.5B,B=1.6所以：1/((1-0.5z^(-1))(1-0.8z^(-1)))=1/(1-0.5z^(-1))+1.6/(1-0.8z^(-1))2/((1+0.3z^(-1))(1-0.8z^(-1)))=C/(1+0.3z^(-1))+D/(1-0.8z^(-1))2=C(1-0.8z^(-1))+D(1+0.3z^(-1))令z^(-1)=0,2=C(1-0.8)+D(1+0)=0.2C+D,2=0.2C+D令z^(-1)=1,2=C(1-0.8)+D(1+0.3)=0.2C+1.3D,2=0.2C+1.3D解联立方程组：0.2C+D=2,0.2C+1.3D=2=>1.1D=0=>D=0代入0.2C+D=2=>0.2C=2=>C=10所以：2/((1+0.3z^(-1))(1-0.8z^(-1)))=10/(1+0.3z^(-1))Y(z)=[1/(1-0.5z^(-1))+1.6/(1-0.8z^(-1))]+[10/(1+0.3z^(-1))]Y(z)=1/(1-0.5z^(-1))+1.6/(1-0.8z^(-1))+10/(1+0.3z^(-1))对Y(z)求逆Z变换：y[n]=1*(0.5)^nu[n]+1.6*(0.8)^nu[n]+10*(-0.3)^nu[n]y[n]=(0.5)^n+1.6*(0.8)^n+10*(-0.3)^n(n≥0)24.（13分）(1)解：在8x8网格中，坐标原点(0,0)位于左上角，x坐标增加表示向右，y坐标增加表示向下。四个非零像素点位置为：(0,0)=10(0,1)=20(1,0)=30(1,1)=40（可在纸上画一个8x8的坐标系表示）(2)解：最近邻