2025年大学《数理基础科学》专业题库-常微分方程数值解法研究

2025年大学《数理基础科学》专业题库——常微分方程数值解法研究考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、选择题1.对于初值问题`y'=f(t,y),y(t₀)=y₀`，数值解`y_n`是在离散节点`t₀=t_0<t_1<...<t_n`上的近似值，其中`y_n≈y(t_n)`。下列说法中，正确的是()A.数值解`y_n`一定收敛于解析解`y(t)`。B.数值解`y_n`的收敛性取决于步长`h`的选择，与具体数值方法无关。C.数值方法的一致性（相容性）是指`y(t_n)-y_n`随`h→0`的行为。D.数值方法的收敛性是指当步长`h`趋于零时，数值解`y_n`收敛到精确解`y(t_n)`。2.某数值方法求解`y'=f(t,y)`，其局部截断误差（LTE）的阶为`p`，则称该方法是()A.稳定的。B.收敛的。C.具有`p`阶精度。D.一致的。3.改进欧拉法（Heun'sMethod）可以看作是()A.欧拉法与中点法的加权平均。B.欧拉法与梯度的结合。C.一个隐式单步法。D.一个具有二阶精度的显式单步法。4.对于初值问题`y'=λy`(其中`λ`为复数)，显式欧拉方法绝对稳定区域仅限于复平面的()A.左半平面。B.右半平面。C.实轴上。D.整个复平面。5.Adams-Bashforth方法（如二阶和三阶）是()A.显式多步法。B.隐式多步法。C.单步法。D.R-K方法。二、填空题6.数值方法`y_{n+1}=y_n+hφ(t_n,y_n,h)`的局部截断误差（LTE）是`y(t_{n+1})-y_{n+1}`的`h`的______阶无穷小量。7.若一个数值方法是一致的，则其精度阶`p`必须满足______条件。8.隐式欧拉方法`y_{n+1}=y_n+hf(t_{n+1},y_{n+1})`的局部截断误差（LTE）的阶为______。9.龙格-库塔方法（R-K方法）的核心思想是利用泰勒展开，通过选取合适的______和______来构造高精度格式。10.Adams-Moulton方法（如二阶和三阶）是______多步法。三、计算题11.(10分)用改进欧拉法（Heun'sMethod）求解初值问题`y'=t+y`,`y(0)=1`，取步长`h=0.1`，计算`y(0.1)`和`y(0.2)`的近似值。（要求：先用欧拉法预测，再用隐式格式校正一次）12.(10分)考虑初值问题`y'=-10y`,`y(0)=1`。(1)分析用显式欧拉法求解该问题时，步长`h`的限制条件（即稳定性条件）。(2)若取`h=0.1`，判断该步长是否稳定？为什么？13.(15分)对于二阶Adams-Bashforth方法：`y_{n+2}=y_n+(3h/2)(f(t_{n+1},y_{n+1})+f(t_{n},y_n))`。(1)写出该方法的局部截断误差（LTE）的表达式`y(t_{n+2})-y_{n+2}`。(2)证明该方法是二阶精度（即证明其LTE的阶为2）。四、证明题14.(15分)证明梯形法（TrapezoidalMethod）`y_{n+1}=y_n+(h/2)(f(t_n,y_n)+f(t_{n+1},y_{n+1}))`是收敛的。即证明：若`f(t,y)`满足Lipschitz条件，则梯形法收敛于初值问题`y'=f(t,y)`,`y(t₀)=y₀`的解`y(t)`。15.(15分)考虑线性测试方程`y'=λy`，其中`λ`为复数，`λ=α+iβ`。设一个数值方法的形式为`y_{n+1}=ωy_n`，其中`ω`为复数。证明该方法是绝对稳定的当且仅当`|ω|≤1`。试卷答案一、选择题1.D2.C3.B4.A5.A二、填空题6.一7.h→0时趋于08.二9.节点，系数10.隐式三、计算题11.解：初值问题：`y'=t+y`,`y(0)=1`,`h=0.1`改进欧拉法公式：`y_0=1`,`t_0=0`预测值：`y_1^*=y_0+h(f(t_0,y_0))=1+0.1(0+1)=1.1`校正值：`y_1=y_0+h(f(t_0+h,y_1^*))=1+0.1((0+0.1)+1.1)=1+0.1(1.2)=1.12``y_1=1.12``t_1=0.1`预测值：`y_2^*=y_1+h(f(t_1,y_1))=1.12+0.1(0.1+1.12)=1.12+0.1(1.22)=1.12+0.122=1.242`校正值：`y_2=y_1+h(f(t_1+h,y_2^*))=1.12+0.1((0.1+0.2)+1.242)=1.12+0.1(0.3+1.242)=1.12+0.1(1.542)=1.12+0.1542=1.2742``y(0.2)≈y_2=1.2742`12.解：(1)显式欧拉法公式：`y_{n+1}=y_n+hf(t_n,y_n)`将`y'=-10y`代入：`y_{n+1}=y_n-10hy_n=y_n(1-10h)`令`R(h)=1-10h`，需要`|R(h)|<1`才能稳定。解不等式：`|1-10h|<1`=>`-1<1-10h<1`=>`0<10h<2`=>`0<h<0.2`所以步长`h`的限制条件是`0<h<0.2`。(2)若取`h=0.1`，则`0<0.1<0.2`。因为`0.1`在稳定区间`(0,0.2)`内，所以该步长是稳定的。13.解：(1)方法：`y_{n+2}=y_n+(3h/2)(f(t_{n+1},y_{n+1})+f(t_n,y_n))`局部截断误差`LTE=y(t_{n+2})-y_{n+2}`使用泰勒展开，`y(t_{n+2})`在`t_n`处展开：`y(t_{n+2})=y(t_n)+(t_{n+2}-t_n)y'(t_n)+(t_{n+2}-t_n)²/2y''(t_n)+(t_{n+2}-t_n)³/6y'''(t_n)+O(h⁴)`由于`t_{n+2}-t_n=2h`，代入：`y(t_{n+2})=y(t_n)+2hy'(t_n)+2h²/2y''(t_n)+2h³/6y'''(t_n)+O(h⁴)``y(t_{n+2})=y(t_n)+2h(f(t_n,y(t_n)))+h²y''(t_n)+(4h³/6)y'''(t_n)+O(h⁴)``y(t_{n+2})=y(t_n)+2hf(t_n,y(t_n))+h²y''(t_n)+(2h³/3)y'''(t_n)+O(h⁴)`右边`y_{n+2}`的表达式：`y_{n+2}=y_n+(3h/2)[f(t_{n+1},y_{n+1})+f(t_n,y_n)]``f(t_{n+1},y_{n+1})`在`t_n`处展开：`f(t_{n+1},y_{n+1})=f(t_n+h,y_n+hf(t_n,y_n))``=f(t_n,y_n)+hf_t(t_n,y_n)+hf_y(t_n,y_n)f(t_n,y_n)+O(h²)``=f(t_n,y_n)+hf_t(t_n,y_n)+h²f_y(t_n,y_n)f(t_n,y_n)+O(h²)``f(t_n,y_n)`保持不变。代入`y_{n+2}`：`y_{n+2}=y_n+(3h/2)[(f(t_n,y_n)+hf_t(t_n,y_n)+h²f_y(t_n,y_n)f(t_n,y_n))+f(t_n,y_n)]``=y_n+(3h/2)[2f(t_n,y_n)+hf_t(t_n,y_n)+h²f_y(t_n,y_n)f(t_n,y_n)]``=y_n+3hf(t_n,y_n)+(3h²/2)f_t(t_n,y_n)+(3h³/2)f_y(t_n,y_n)f(t_n,y_n)``=y_n+3hf(t_n,y_n)+(3h²/2)f_t(t_n,y_n)+(3h³/2)f(t_n,y_n)f_y(t_n,y_n)`计算`LTE=y(t_{n+2})-y_{n+2}`：`LTE=[y(t_n)+2hf(t_n,y(t_n))+h²y''(t_n)+(2h³/3)y'''(t_n)+O(h⁴)]``-[y_n+3hf(t_n,y_n)+(3h²/2)f_t(t_n,y_n)+(3h³/2)f(t_n,y_n)f_y(t_n,y_n)]``=[y(t_n)-y_n]+[2hf(t_n,y(t_n))-3hf(t_n,y_n)]``+[h²y''(t_n)-(3h²/2)f_t(t_n,y_n)]``+[(2h³/3)y'''(t_n)-(3h³/2)f(t_n,y_n)f_y(t_n,y_n)]+O(h⁴)`利用`y(t_n)-y_n=hy'(t_n)+O(h²)=hf(t_n,y(t_n))+O(h²)`：`LTE=hf(t_n,y(t_n))+O(h²)+[2hf(t_n,y(t_n))-3hf(t_n,y_n)]``+[h²y''(t_n)-(3h²/2)f_t(t_n,y_n)]+[(2h³/3)y'''(t_n)-(3h³/2)f(t_n,y_n)f_y(t_n,y_n)]+O(h⁴)``=[3hf(t_n,y(t_n))-3hf(t_n,y_n)]+[h²y''(t_n)-(3h²/2)f_t(t_n,y_n)]``+[(2h³/3)y'''(t_n)-(3h³/2)f(t_n,y_n)f_y(t_n,y_n)]+O(h⁴)``=3h[f(t_n,y(t_n))-f(t_n,y_n)]+h²[y''(t_n)-(3/2)f_t(t_n,y_n)]``+h³[(2/3)y'''(t_n)-(3/2)f(t_n,y_n)f_y(t_n,y_n)]+O(h⁴)`由于`f(t,y)`满足Lipschitz条件，`f(t_n,y(t_n))-f(t_n,y_n)=f_t(t_n,η)(y(t_n)-y_n)=f_t(t_n,η)hf(t_n,y_n)`，其中`η`介于`y_n`和`y(t_n)`之间。`LTE=3h[f_t(t_n,η)hf(t_n,y_n)]+h²[y''(t_n)-(3/2)f_t(t_n,y_n)]``+h³[(2/3)y'''(t_n)-(3/2)f(t_n,y_n)f_y(t_n,y_n)]+O(h⁴)``=3h²f_t(t_n,η)f(t_n,y_n)+h²[y''(t_n)-(3/2)f_t(t_n,y_n)]``+h³[(2/3)y'''(t_n)-(3/2)f(t_n,y_n)f_y(t_n,y_n)]+O(h⁴)`由于`f_t(t_n,η)f(t_n,y_n)`是`O(1)`量级，`y''(t_n)`是`O(1)`量级，`f_t(t_n,η)`是`O(1)`量级，`y'''(t_n)`是`O(1)`量级，`f_y(t_n,y_n)`是`O(1)`量级。上式中，`3h²f_t(t_n,η)f(t_n,y_n)`是`O(h²)`量级，`h²[y''(t_n)-(3/2)f_t(t_n,