2025年大学《数理基础科学》专业题库-数理基础科学中的数论基本理论

2025年大学《数理基础科学》专业题库——数理基础科学中的数论基本理论考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、填空题（每空3分，共15分）1.若整数a,b不全为0，则a,b的最大公约数d是它们所有公约数中的______数，且存在整数x,y，使得______。2.设p是素数，若a是整数且p整除a²+a，则p一定整除______。3.同余式ax≡b(modm)有解的必要条件是______。4.数列1,3,5,7,...的通项公式是______。5.设φ(n)表示欧拉函数，若n=p₁ᵃ¹*p₂ᵃ²*...*pₖᵃᵏ（pᵢ为不同素数，aᵢ为正整数），则φ(n)=______。二、计算题（每题10分，共30分）1.利用欧几里得算法求整数120和23的最大公约数，并求出满足贝祖定理的整数x,y。2.解同余方程组：3x≡4(mod7)5x≡2(mod9)3.计算欧拉函数φ(360)的值。三、证明题（每题12分，共36分）1.证明：若p是素数，则对于任意整数a，a²与a模p同余，即a²≡a(modp)。2.证明：若a,b互素，且a|c，b|c，则ab|c。3.证明：方程x²+y²=z²有无限多组正整数解。试卷答案一、填空题1.最大，ab=dx+by2.a3.gcd(a,m)|b4.a_n=2n-1（或a_n=2^(n-1)+1，若指斐波那契数列变种）5.n*(p₁ᵃ¹-1)/(p₁-1)*(p₂ᵃ²-1)/(p₂-1)*...*(pₖᵃᵏ-1)/(pₖ-1)（或写成n*Π(pᵢᵃᵢ-1)/(pᵢ-1)）二、计算题1.解析思路：反复使用欧几里得算法求最大公约数。120=5*23+523=4*5+35=1*3+23=1*2+12=2*1+0最大公约数为1。根据最后一个非零余式1=3-1*2，回代：2=5-1*31=3-1*2=3-1*(5-1*3)=2*3-1*51=2*(23-4*5)-1*5=2*23-9*51=2*23-9*(120-5*23)=49*23-9*120得到x=-9,y=49。或求x₀,y₀后加m倍数也可，如x=16,y=-7。2.解析思路：分别解同余方程，利用中国剩余定理合并。解3x≡4(mod7)：3*5≡1(mod7)（3的逆元）x≡4*5(mod7)≡20(mod7)≡6(mod7)解5x≡2(mod9)：2*5≡1(mod9)（5的逆元）x≡2*5(mod9)≡10(mod9)≡1(mod9)合并：x≡6(mod7),x≡1(mod9)令x=7k+6，代入第二个方程：7k+6≡1(mod9)7k≡-5(mod9)≡4(mod9)7*4≡1(mod9)（7的逆元）k≡4*4(mod9)≡16(mod9)≡7(mod9)k=9m+7x=7(9m+7)+6=63m+49+6=63m+55x≡55(mod63)3.解析思路：利用欧拉函数性质和分解。φ(360)=φ(2³*3²*5)φ(n)=n*(1-1/p₁)*(1-1/p₂)*...*(1-1/pₖ)φ(360)=360*(1-1/2)*(1-1/3)*(1-1/5)=360*1/2*2/3*4/5=180*2/3*4/5=120*4/5=96三、证明题1.证明思路：利用费马小定理。若p|a，则a≡0(modp)，a²≡0²≡0(modp)。若p∤a，根据费马小定理，有a^(p-1)≡1(modp)。因为p是素数，p-1≥1，所以a^(p-1)=a*a*...*a(p-1个a)。两边同时乘以a，得到a^(p)≡a*1*...*1≡a(modp)。即a²≡a(modp)。2.证明思路：利用最大公约数的性质。由a|c，知存在整数q₁，使得c=aq₁。由b|c，知存在整数q₂，使得c=bq₂。因此，aq₁=bq₂，即aq₁-bq₂=0。因为gcd(a,b)=1，所以a,b互素，根据性质“若d|a且d|b，则d|(ax+by)”（其中x,y为整数），可知gcd(a,b)|(aq₁-bq₂)。所以gcd(a,b)|0，即gcd(a,b)是0的因数，所以gcd(a,b)=1。但此证明有误，应改为：由a|c，知存在整数q₁，使得c=aq₁。由b|c，知存在整数q₂，使得c=bq₂。因为a|c且b|c，所以a|(bq₂)且b|(aq₁)。即a|(bq₂-aq₁)。同理，b|(aq₁-bq₂)。所以存在整数k₁,k₂，使得aq₁-bq₂=ak₁且aq₁-bq₂=bk₂。因此，ak₁=bk₂。因为gcd(a,b)=1，所以a|k₂。设k₂=am，代入ak₁=bk₂，得ak₁=b(am)=abm。所以a(k₁-bm)=abm。因为gcd(a,b)=1，a与b互素，根据“若a|bc且gcd(a,b)=1，则a|c”，可知a|bm。因为a|a，所以a|m。设m=an，代入ak₁=abm，得ak₁=ab(an)=a²bn。所以a(k₁-abn)=a²bn。因为gcd(a,b)=1，所以a|bn。因为a|a²，所以a|n。设n=ap，代入m=an，得m=a(ap)=a²p。代入c=bq₂，得n=ap，m=a²p，所以c=b(a²p)=a²bp。因此，ab|a²bp，即ab|c。3.证明思路：构造法，从已知解出发寻找新解。已知(3,4,5)是勾股数。令(x,y,z)=(2mn,m²-n²,m²+n²)，其中m,n为任意正整数，m>n。易验证x²+y²=(2mn)²+(m²-n²)²=4m²n²+m⁴-2m²n²+n⁴=m⁴+2m²n²+