2025年大学《数理基础科学》专业题库- 数学在城市环境治理中的应用

2025年大学《数理基础科学》专业题库——数学在城市环境治理中的应用考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、选择题1.在建立城市空气中污染物浓度的时间变化模型时，若考虑浓度变化率与当前浓度成正比，衰减常数取决于气象条件，则该模型最可能用到哪种数学工具？A.线性规划B.非线性规划C.一阶常微分方程D.多元线性回归2.某城市为优化公共交通线路，需考虑多个起点、终点和途经点。描述这种网络型优化问题的数学结构，最适合使用？A.欧几里得空间几何模型B.图论模型C.随机过程模型D.离散事件模拟模型3.城市水资源分配问题中，若需在满足各区域基本用水需求和环保标准的前提下，以最低成本实现总供水量最大化，最适合使用的数学规划方法是？A.整数规划B.动态规划C.线性规划D.非线性规划4.利用高斯消元法求解城市区域绿地覆盖最优布局问题时，该模型通常被表述为？A.微分方程组B.离散优化问题C.概率分布模型D.统计回归模型5.监测某城市河流污染物浓度时，发现浓度随时间呈现波动变化，并希望预测未来几天的峰值。下列哪种统计方法最适用于此场景？A.简单线性回归B.时间序列分析C.方差分析D.聚类分析6.在建立城市噪音污染的空间分布模型时，若假设噪音源是点源，且噪音强度随距离衰减，则描述该现象的数学函数可能最接近？A.指数函数B.对数函数C.幂函数D.抛物线函数7.分析城市不同区域的人口迁移流动模式，若关注的是人口数量在空间网格上的分布及其随时间的缓慢变化，适合使用的数学工具是？A.标量场理论B.向量场理论C.张量分析D.马尔可夫链8.某模型描述城市某区域空气质量指数（AQI）与多种污染物浓度、气象参数（风速、湿度等）的复杂关系，该模型最可能属于？A.线性模型B.非线性模型C.确定性模型D.随机游走模型9.在评估一项城市环保政策的长期效果时，研究者建立了一个包含多个子系统（经济、社会、环境）的反馈系统模型。这种模型最可能用到？A.单变量回归分析B.多元统计分析C.系统动力学模型D.因子分析10.为了评估不同城市交通管理策略对缓解拥堵的效果，研究者需要比较各策略下的关键指标。若需建立数学框架来比较不同策略的“效率”，可能用到的方法是？A.描述性统计B.假设检验C.效率评价理论（如数据包络分析DEA）D.主成分分析二、填空题1.微分方程是描述城市污染物随时间扩散过程的基本数学工具，其解的稳定性通常与扩散系数和源强有关。若解呈现指数衰减趋势，则表明系统倾向于_______状态。2.在使用线性规划模型解决城市垃圾收集路线优化问题时，目标函数通常表示为最小化总行驶距离，而约束条件则包括_______距离限制、垃圾产生量限制和收集车辆容量限制等。3.为了分析城市不同功能区（如住宅区、商业区）土地利用的关联性，可以将城市空间划分为若干网格，利用_______方法计算每个网格的用地类型，并分析其空间分布特征。4.概率统计方法在城市环境风险评估中扮演重要角色，例如，通过分析历史极端天气事件数据，可以估计未来发生特定强度事件（如暴雨）的_______。5.建立城市能源消耗预测模型时，若考虑季节性因素和长期增长趋势，可以使用_______模型来整合时间序列数据。三、计算题1.某城市区域污染物浓度C（mg/m³）随时间t（小时）的变化符合如下一阶常微分方程：dC/dt=-kC，其中k为衰减系数，k=0.1/h。假设初始时刻（t=0）该区域污染物浓度为C₀=50mg/m³。请推导出污染物浓度C随时间t变化的表达式，并计算4小时后该区域的污染物浓度。2.假设某城市简化的交通网络包含3个交叉口（A,B,C），车辆从A到C有两条路径：A→B→C和A→C。已知路径A→B→C的总行驶时间为3分钟，路径A→C的总行驶时间为5分钟。请建立一个线性方程组，表示在交通流量均衡（即进入交叉口的车辆数等于离开的车辆数）的条件下，交叉口A、B、C的车辆流量关系（设流量分别为x,y,z）。3.某城市计划在两个备选地点（地点1，地点2）建设一个新的污水处理厂，需要考虑处理能力（单位：万吨/日）和建设成本（单位：万元）。处理能力与建设规模有关，假设地点1的单位处理能力成本为100万元/万吨日，地点2为120万元/万吨日。根据预测，该区域每日总污水量为30万吨。若要求污水处理能力至少满足需求，且建设总成本最低，请建立该问题的线性规划模型（包括决策变量、目标函数和约束条件）。四、综合应用题1.假设城市某区域空气中的PM2.5浓度（μg/m³）受到两个主要交通干道排放的影响，可以用如下模型近似描述：C(x,y)=10*exp(-0.1x)*exp(-0.2y)，其中x和y分别表示距离两条干道的水平距离（单位：公里）。请分析：(1)当距离某条干道多远时，PM2.5浓度会下降到初始值的1/10？(2)在一个正方形区域内（0≤x≤2，0≤y≤2），PM2.5的总积分值（即该区域的总平均浓度）大致是多少？请说明其物理意义。(3)如果要在该区域内设立一个空气质量监测站，从监测PM2.5总量的角度考虑，应选择哪个位置（x,y）的代表性更好？请简要说明理由（无需计算最优解）。2.某城市面临水资源短缺问题，需要从两个水库（水库A，水库B）调水供应城市。水库A的水量是有限的，每月可供水量为100万立方米，但水质较差，每立方米需处理费用为10元。水库B的水量较丰富，每月可供水量为200万立方米，水质较好，每立方米处理费用为6元。城市每月总需水量至少为150万立方米。若城市希望以最低的总处理费用满足用水需求，并且要求水库A的利用不低于其总可供水量的40%。请建立该问题的数学模型（包括决策变量、目标函数和约束条件），并说明模型中各部分的含义。---试卷答案一、选择题1.C2.B3.C4.B5.B6.B7.A8.B9.C10.C二、填空题1.平衡2.边界3.聚类分析/地理信息系统（GIS）空间分析4.概率/概率密度5.时间序列/ARIMA/指数平滑（或其他具体模型名称也可）三、计算题1.解：由微分方程dC/dt=-kC，分离变量得dC/C=-kdt，积分得ln|C|=-kt+C₁，即C=C₀*e^(-kt)。代入初始条件C₀=50,k=0.1，得C(t)=50*e^(-0.1t)。t=4小时时，C(4)=50*e^(-0.1*4)=50*e^(-0.4)≈50*0.6703≈33.525mg/m³。答案：C(t)=50*e^(-0.1t)，4小时后浓度约为33.525mg/m³。2.解：设A、B、C三个交叉口的车辆流量分别为x（A到B）、y（B到C）、z（A到C）。根据流量守恒：输入A=输出A，即x+z=总输入到A（假设总输入为I，则x+z=I）输入B=输出B，即x=y（因为只有一条从A到B，一条从B到C，且没有其他流入流出B）输入C=输出C，即y+z=总输入到C（假设总输入为J，则y+z=J）若假设总输入到A和C的总流量为总需求D（即I+J=D），则I=D-J。方程组为：(1)x+z=D-J(2)x-y=0(3)y+z=J（注：题目未给总输入量，方程组有无限解，表达了流量关系）3.解：决策变量：x₁：在地点1建设的处理能力（万吨/日）x₂：在地点2建设的处理能力（万吨/日）目标函数（最小化总成本）：MinZ=100x₁+120x₂约束条件：(1)x₁+x₂≥30（总处理能力至少满足需求）(2)0≤x₁≤100（地点1最大处理能力限制）(3)0≤x₂≤（地点2最大处理能力，题目未给，可设为M，则0≤x₂≤M）（注：题目未给地点2最大能力M，模型为不完全形式）四、综合应用题1.解：(1)令C(x,y)=C₀/10，即10*exp(-0.1x)*exp(-0.2y)=10*C₀*exp(-0.1x)*exp(-0.2y)。则exp(-0.1x)*exp(-0.2y)=exp(-0.1x)*exp(-0.2y)。exp(-0.1x-0.2y)=exp(-1)。-0.1x-0.2y=-1。0.1x+0.2y=1。x+2y=10。距离某条干道的垂直距离（设为y）满足2y=10-x，当x趋于无穷大时，y趋于5。距离某条干道10/√5≈4.47公里处，浓度下降到初始值的1/10。（也可理解为沿垂直于干道方向，距离干道10/√(0.1²+0.2²)≈4.47公里处）(2)PM2.5总积分值∬_RC(x,y)dxdy，其中R为区域0≤x≤2,0≤y≤2。∫[fromy=0to2](∫[fromx=0to2]10*exp(-0.1x)*exp(-0.2y)dx)dy=10*exp(-0.2y)*∫[fromx=0to2]exp(-0.1x)dx=10*exp(-0.2y)*[-10*exp(-0.1x)]_[fromx=0to2]=10*exp(-0.2y)*[-10*exp(-0.2)+10]=100*(1-exp(-0.2))*exp(-0.2y)_[fromy=0to2]=100*(1-exp(-0.2))*[exp(-0.4)-1]≈100*(1-0.8187)*(0.6703-1)≈100*0.1813*(-0.3297)≈-5.96。由于结果为负，说明积分计算或模型假设可能存在问题，或表示该模型不适用于计算总积分（物理意义可能不是总质量）。更合理的解释是计算过程有误，应重新审视积分计算。若按∫[fromx=0to2]∫[fromy=0to2]Cdxdy=40*∫[fromx=0to2]exp(-0.1x)dx*∫[fromy=0to2]exp(-0.2y)dy计算：=40*[-10(exp(-0.2)-1)]*[-5(exp(-0.4)-1)]=40*10*5*(1-exp(-0.2))*(1-exp(-0.4))=2000*(1-0.8187)*(1-0.6703)=2000*0.1813*0.3297≈119.6。物理意义为该正方形区域内PM2.5浓度的近似平均值乘以区域面积。(3)从监测PM2.5总量角度看，应选择使C(x,y)*A(x,y)（浓度乘以面积微元）积分值最大的位置，其中A(x,y)是微元面积。由于区域R是正方形，面积相等。等高线C(x,y)=constant是一族以干道中点为圆心的椭圆族。浓度最大点在干道中点交点(1,1)。但从总量积分角度看，可能需要考虑整个区域。若假设区域无限大，则总量与源强成正比。若区域有限，积分值最大的位置与源强分布和区域形状有关。在此简化模型下，源强集中在干道中点，总积分值与区域形状和范围有关。若区域包含更多源强，总量可能更大。若仅比较给定正方形区域，积分值与源强分布和区域覆盖关系有关。选择(1,1)点可能使浓度值较高，但不一定使总积分值最大。更严谨的分析需要计算积分值比较。简要理由：总积分值取决于整个区域的浓度分布，与源强位置和区域形状相关。点(1,1)是模型浓度分布的最高点，但不必然是总积分最大点。2.解：决策变量：x₁：从水库A调取的水量（万立方米/月）x₂：从水库B调取的水量（万立方米/月）目标函数（最小化总处理费用）：MinZ=10x₁+6x₂约束条件：(1)