2025年大学《数学与应用数学》专业题库- 数学在癌症研究中的应用

2025年大学《数学与应用数学》专业题库——数学在癌症研究中的应用考试时间：______分钟总分：______分姓名：______考生注意：1.请将答案写在答题纸上，写在试卷上无效。2.答题时请仔细阅读题目要求，按照题目要求作答。3.本试卷满分100分，考试时间120分钟。一、填空题（每空3分，共15分）1.微分方程$\frac{dN}{dt}=rN(1-\frac{N}{K})$描述的是逻辑斯蒂增长模型，其中$N(t)$表示时刻$t$的肿瘤细胞数量，$r$是内禀增长率，$K$是环境容量。当$N(t)<K$时，肿瘤细胞数量增长速率为______。2.在药物动力学中，一室模型描述药物在体内迅速分布至全身。若静脉注射剂量为$D$，体表面积为$A$，血药浓度随时间变化的微分方程为$\frac{dC}{dt}=-KeC$，其中$C(t)$是时刻$t$的血药浓度，$K$是消除速率常数。则该药物的表观分布容积$V_d$定义为______。3.生存分析中，Kaplan-Meier生存函数$S(t)$是基于______原则估计的，用于描述生存概率随时间的变化。4.在基因表达数据分析中，主成分分析（PCA）的主要目的是降维，它通过提取数据的主要______来减少变量的数量，同时尽量保留原始数据的变异信息。5.若一项关于新药疗效的生存分析比较了治疗组与对照组的生存曲线，并观察到治疗组曲线显著高于对照组，则可以认为该新药可能______（填“提高”或“降低”）患者的生存时间。二、计算题（每题10分，共40分）1.已知某肿瘤的生长符合Gompertz模型$\frac{dV}{dt}=aV\ln(\frac{K}{V})$，其中$V(0)=V_0>0$，$a>0$，$K>V_0$为饱和体积。求肿瘤体积$V(t)$随时间$t$变化的表达式。2.某药物按一级动力学消除，消除速率常数$K=0.1\text{h}^{-1}$。现给患者口服该药物，血药浓度随时间变化的数据如下（假设初始时刻浓度为0）：|时间$t$(h)|0|1|2|3|4|5||-------------|-----|-----|-----|-----|-----|-----||浓度$C$(mg/L)|0|8|5|3|2|1.5|试用一级消除模型拟合这些数据，并估算该药物的半衰期$T_{1/2}$。3.假设一项研究比较了两种疗法（A和B）对某癌症患者的生存时间影响。共收集了15名患者的生存数据（单位：月），其中8名接受疗法A，7名接受疗法B。生存时间数据如下：疗法A：12,15,18,20,25,30,35,40疗法B：10,13,16,19,22,28,33试用Kaplan-Meier方法分别计算两组患者的生存函数，并绘制生存曲线（无需精确绘图，描述趋势即可）。三、建模与应用题（每题17.5分，共35分）1.假设某城市人口总数$P$随时间$t$呈逻辑斯蒂增长，初始人口为$P(0)=100$万，最大容量$K=1000$万，内禀增长率$r=0.05\text{年}^{-1}$。(1)建立描述该城市人口增长的微分方程模型。(2)求解该微分方程，得到人口数量$P(t)$随时间$t$的表达式。(3)预测该城市人口达到最大容量一半（即500万）所需的时间。2.某临床试验旨在比较新药X和安慰剂对晚期肺癌患者生存期的影响。研究人员随机选取了60名患者，其中30人服用新药X，30人服用安慰剂。经过一段时间随访，收集到的生存时间（单位：月）数据如下（部分数据省略，表示患者仍在随访或事件未发生）：新药X组：15,22,28,32,38,45,50,55,60,65,70,75,80,85,90,__,__,__,__,__安慰剂组：10,12,14,16,18,20,22,24,26,28,30,32,34,36,38,40,42,44,46(1)简述如何运用Kaplan-Meier方法分析这两组数据的生存差异。你需要说明关键步骤和可能使用的统计检验。(2)基于上述数据呈现的趋势（即使不完整），定性分析新药X相比安慰剂，对延长患者生存期可能产生的影响。解释你的判断依据。(3)如果研究者还收集了性别作为可能的影响因素，数据呈现如下：新药X组（男性）：15,22,28,32,38,45,50,55,60,65,70,75,80,85,90新药X组（女性）：__(假设有5名女性患者)安慰剂组（男性）：10,12,14,16,18,20,22,24,26,28,30,32,34,36,38,40,42,44,46安慰剂组（女性）：__(假设有5名女性患者)请简述当存在多个分组因素时（如性别和治疗组），生存分析需要考虑哪些方法来比较不同亚组间的生存差异，并说明与简单比较的异同。试卷答案一、填空题（每空3分，共15分）1.正常数r2.D/A3.无失访4.方差或变异5.提高二、计算题（每题10分，共40分）1.解：$\frac{dV}{dt}=aV\ln(\frac{K}{V})$分离变量：$\frac{dV}{V\ln(\frac{K}{V})}=a\,dt$变量代换：令$u=\ln(\frac{K}{V})$，则$V=\frac{K}{e^u}$，$dV=-\frac{K}{e^u}\,du=-Ke^{-u}\,du$代入方程：$\frac{-Ke^{-u}}{\frac{K}{e^u}u}\,du=a\,dt\implies-\frac{1}{u}\,du=a\,dt$积分：$-\ln|u|=at+C$代回原变量：$-\ln|\ln(\frac{K}{V})|=at+C$利用初始条件$V(0)=V_0$，得$-\ln|\ln(\frac{K}{V_0})|=C$所以：$\ln|\ln(\frac{K}{V})|=-at-\ln|\ln(\frac{K}{V_0})|$$|\ln(\frac{K}{V})|=e^{-at}|\ln(\frac{K}{V_0})|$$\ln(\frac{K}{V})=\pme^{-at}\ln(\frac{K}{V_0})$$\frac{K}{V}=\frac{K}{V_0}\cdote^{\pmat}$$V(t)=\frac{V_0K}{K\cdote^{\pmat}}=\frac{V_0}{e^{\pmat}}$由于肿瘤体积随时间增长，取$V(t)=V_0e^{at}$。再利用$V(t)\toK$当$t\to\infty$，需要修正为$V(t)=K\left(\frac{V_0}{K}\right)^{e^{-at}}$。最终解为：$V(t)=K\left(\frac{V_0}{K}\right)^{e^{-at}}$2.解：(1)估算$K$：根据数据，浓度从8降至5（约37.5%），从5降至3（约40%），从3降至2（约33%），从2降至1.5（约25%）。平均下降速率接近37.5%，对应的半衰期约为$\ln(2)/0.375\approx1.84$h。取$K=0.375\text{h}^{-1}$。一级消除模型为$C(t)=C_0e^{-Kt}$。当$t=1$时，$C(1)=8e^{-0.375}\approx5.97$，与5较接近；当$t=2$时，$C(2)=8e^{-0.75}\approx4.47$，与5差距稍大，但整体趋势符合一级消除。估算$K$偏保守，取$K=0.4\text{h}^{-1}$可能更合适，或用所有数据点拟合。(2)半衰期$T_{1/2}=\frac{\ln(2)}{K}=\frac{\ln(2)}{0.4}\approx\frac{0.693}{0.4}\approx1.73$h。3.解：(1)疗法A：$n_A=8$。时间$t=12$，$n_t=8$，$S(12)=1$。$t=15$，删失1个，$n_t=7$，$S(15)=S(12)\times\frac{7}{8}=0.875$。$t=18$，删失1个，$n_t=6$，$S(18)=S(15)\times\frac{6}{7}=0.757$。$t=20$，删失1个，$n_t=5$，$S(20)=S(18)\times\frac{5}{6}=0.631$。$t=25$，删失1个，$n_t=4$，$S(25)=S(20)\times\frac{4}{5}=0.505$。$t=30$，删失1个，$n_t=3$，$S(30)=S(25)\times\frac{3}{4}=0.379$。$t=35$，删失1个，$n_t=2$，$S(35)=S(30)\times\frac{2}{3}=0.253$。$t=40$，删失1个，$n_t=1$，$S(40)=S(35)\times\frac{1}{2}=0.126$。$t=12,15,18,20,25,30,35,40$时，$S(t)$分别为$1,0.875,0.757,0.631,0.505,0.379,0.253,0.126$。疗法B：$n_B=7$。时间$t=10$，$n_t=7$，$S(10)=1$。$t=13$，删失1个，$n_t=6$，$S(13)=S(10)\times\frac{6}{7}=0.857$。$t=16$，删失1个，$n_t=5$，$S(16)=S(13)\times\frac{5}{6}=0.714$。$t=19$，删失1个，$n_t=4$，$S(19)=S(16)\times\frac{4}{5}=0.571$。$t=22$，删失1个，$n_t=3$，$S(22)=S(19)\times\frac{3}{4}=0.429$。$t=28$，删失1个，$n_t=2$，$S(28)=S(22)\times\frac{2}{3}=0.286$。$t=33$，删失1个，$n_t=1$，$S(33)=S(28)\times\frac{1}{2}=0.143$。$t=10,13,16,19,22,28,33$时，$S(t)$分别为$1,0.857,0.714,0.571,0.429,0.286,0.143$。(2)描述趋势：从曲线看，疗法A组的生存函数始终高于疗法B组，且下降速度相对较慢。这表明，在不考虑其他因素的情况下，服用新药X的患者群体似乎具有更长的生存时间。三、建模与应用题（每题17.5分，共35分）1.解：(1)模型为$\frac{dP}{dt}=rP(1-\frac{P}{K})$。$P(0)=100$，$K=1000$，$r=0.05$。(2)分离变量：$\frac{dP}{P(1-\frac{P}{K})}=r\,dt$。变量代换：令$u=\frac{P}{K}$，则$P=Ku$，$dP=K\,du$。方程变为$\frac{K\,du}{Ku(1-u)}=r\,dt\implies\frac{du}{u(1-u)}=\frac{r}{K}\,dt$。部分分式分解：$\frac{1}{u(1-u)}=\frac{1}{u}+\frac{1}{1-u}$。积分：$\int\left(\frac{1}{u}+\frac{1}{1-u}\right)du=\int\frac{r}{K}\,dt$。$\ln|u|-\ln|1-u|=\frac{r}{K}t+C$。$\ln\left|\frac{u}{1-u}\right|=\frac{r}{K}t+C$。$\frac{u}{1-u}=e^Ce^{\frac{r}{K}t}$。设$e^C=C_1$，则$\frac{u}{1-u}=C_1e^{\frac{r}{K}t}$。$\frac{P}{K}=\frac{C_1e^{\frac{r}{K}t}}{1+C_1e^{\frac{r}{K}t}}$。$P(t)=\frac{KC_1e^{\frac{r}{K}t}}{1+C_1e^{\frac{r}{K}t}}$。利用初始条件$P(0)=100$，得$\frac{100}{1000}=\frac{KC_1}{1+C_1}$，即$\frac{1}{10}=\frac{C_1}{1+C_1}$，解得$C_1=\frac{1}{9}$。所以：$P(t)=\frac{1000\cdot\frac{1}{9}e^{0.05t/1000}}{1+\frac{1}{9}e^{0.05t/1000}}=\frac{1000e^{0.00005t}}{9+e^{0.00005t}}$。也可以写成$P(t)=\frac{K}{1+(K/V_0-1)e^{-rt}}=\frac{1000}{1+9e^{-0.05t}}$。(3)要求$P(t)=\frac{K}{2}=500$万。$\frac{1000}{1+9e^{-0.05t}}=500$。$1+9e^{-0.05t}=2$。$9e^{-0.05t}=1$。$e^{-0.05t}=\frac{1}{9}$。$-0.05t=\ln(\frac{1}{9})=-\ln(9)$。$t=\frac{\ln(9)}{0.05}=20\ln(9)\approx20\times2.197=43.94$年。预测时间约为44年。2.解：(1)Kaplan-Meier分析步骤：a.对所有观察到的死亡时间（删失时间不计入计算节点），按从小到大排序。b.对于第$i$个时间点$t_i$，令$d_i$为在该时间点死亡的患者数，$n_i$为事件发生前（包括该时间点）处于风险集的患者数（删失患者在此时间点之后仍被视为风险）。风险集初始为所有入组患者$n_0$。c.计算生存函数$S(t_i)$：$S(t_i)=S(t_{i-1})\times\frac{n_i-d_i}{n_i}$。d.绘制生存曲线，纵轴为生存概率$S(t)$，横轴为时间$t$。e.比较两组生存曲线，可以使用Log-rank检验（或Wilcoxon检验），这是一种非参数检验方法，用于检验两组生存分布是否存在显著差异。其零假设是两组生存分布相同。(2)定性分析：基于给出的数据趋势，新药X组的生存曲线显著高于安慰剂组。这表明，在当前数据