福建省福州恒一高级中学2025~2026学年高一上册9月质量检测（A5）数学试题（含解析）

/福建恒一教育集团2026届9月质量检测（A5）数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={x|-1≤x≤3},B={x|x≤0,x∈Z},则A∩B=()A.[-1,0] B.{0,1,2,3} C.[0,3] D.{-1,0}2.已知复数z在复平面内对应的点的坐标为(-1，1)，则zA.2i B.i C.-i D.-2i3.子曰：“工欲善其事，必先利其器.”这句名言最早出自于《论语·卫灵公》.此名言中的“利其器”是“善其事”的()A.充分不必要条件 B.充要条件C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件4.已知cosα2A.-3 B.-5 C.5 D.35.已知正数x，y满足2x+y=1,则x+A.6 B.3+22 C6.函数fx7。定义在R上的奇函数f(x)满足：∀x1,A.(0,2) B.(2,+∞) C.(-∞,-2)∪(0,2)D.(-2,0)∪(2,+∞)8.若过点(a，b)可以作曲线.y=A.e6C.0<a<二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得.0分.9.已知sinαA.sinπ−C.cosπ210.设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时， fx=2lnAB.当x<0时,fC.f(2)<f(-e)<f(4)D.f(x)恰有3个零点11.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若2sinA.△ABC的面积为22 B.BC边上的高为C.tanB的最小值为1010 D.b/c最大值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知sinα−13.曲线.y=lnx+14.已知函数fx=四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S(1)求数列{an}的通项公式；(2)若bn=16.如图，在三棱锥P-ABC中,平面APC⊥平面ABC,AB⊥AC,AB=AC=AP=CP=2,E,M分别为棱BC，BP的中点.(1)证明:ME(2)求平面AME与平面ACP来角的正弦值。17.已知函数f(1)当a=11时，求曲线.y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;(2)讨论f(x)的单调性;(3)求证：对任意a∈R,18.设抛物线E:y2=2(1)求E的方程;(2)设B，C为E上不与A重合的两动点，且直线AB，AC的斜率之和为0.(i)设A的纵坐标为t，求直线BC的斜率；(ii)设△ABC19.设A₀是一个项数为n(n≥2)的数列，其中每一项均为集合{0，1，2}中的元素.定义数列.A1j∈N∗如下：若Aj−1:x1,x(1)①若数列A0:0,1,2,②若数列A0:1,1,2,0,(2)对于给定的正整数n，若正整数m满足对任意A0,均有数列.Am(i)求最小的“3阶好数”。(ii)求使得“n阶好数”存在的n的所有可能取值.福建恒一教育集团2026届9月质量检测（A5）数学参考答案题号12345.678910答案DBCABBDDACABD题号11答案AD1.D【分析】根据常见数集，结合交集运算，可得答案.【详解】因为集合B是所有非正整数组成的集合，所以.A∩B={-1,0}.故选:D.2。B【分析】利用复数的坐标表示，共轭复数的定义以及复数除法运算计算可得答案.【详解】由题意可知,z=-1+i,则z=-1-i,所以z故选：B3.C【分析】根据题意结合充分、必要条件分析判断.【详解】由题意“工欲善其事，必先利其器.”指工匠要想要做好活儿，一定先要把工具整治得锐利精良.从逻辑角度理解，如果工匠做好活了，说明肯定是有锐利精良的工具，即必要性成立；反过来如果有锐利精良的工具，不能得出一定能做好活儿，即充分性不成立；所以“利其器”是“善其事”的必要不充分条件.故选：C4.A【分析】利用化弦为切及和差公式即可求解.【详解】cosα所以tan故答案为：A.5.B【分析】由题可得x+【详解】因为2x+y=1,所以x当且仅当2xy=所以x+y故选：B6.B【分析】根据函数的奇偶性及函数值的正负即可判断得出.【详解】由fx=1−2所以y=g(x)和y=sinx都是奇函数,得.f即f(x)为偶函数，图像关于y轴对称，所以C，D错误；而f(π)=0,再由当0<x<π时,eˣ>1,sinx>0,得g(x)>0,f(x)>0,所以A错误,B正确.故选:B.7.D【分析】根据题干条件，构造函数g(x)=f(x)-x，结合单调性的定义，可得g(x)的单调性，根据奇偶性的定义，可得g(x)的奇偶性，结合特殊值，计算分析，即可得答案.【详解】因为∀x1所以设g(x)=f(x)-x,则gx1根据单调性的定义可得，g(x)在(0，+∞)上单调递增，因为f(x)在R上为奇函数，所以g(-x)=f(-x)-(-x)=-f(x)+x=-[f(x)-x]=-g(x),所以g(x)在R上为奇函数，所以g(x)在(-∞,0)上单调递增,因为f(2)=2,所以g(2)=f(2)-2=0,则g(-2)=-g(2)=0,所以g(x)=f(x)-x>0的解集为(-2,0)∪(2,+∞),所以f(x)>x的解集为(-2,0)∪(2,+∞).故选：D8.D【分析】解法一：根据导数几何意义求得切线方程，再构造函数，利用导数研究函数图象，结合图形确定结果；解法二：画出曲线y=eˣ的图象，根据直观即可判定点(a，b)在曲线下方和x轴上方时才可以作出两条切线.【详解】在曲线y=ex‘上任取一点P(t,e’),对函数所以，曲线y=ex在点P处的切线方程为由题意可知，点(a，b)在直线.y=e令ft=当t<a时,f'(t)>0,此时函数f(t)单调递增,当t>a时,f'(t)<0,此时函数f(t)单调递减,所以，f由题意可知，直线y=b与曲线y=f(t)的图象有两个交点，则b当t<a+1时,f(t)>0,当t>a+1时,f(t)<0,作出函数f(t)的图象如下图所示:由图可知，当(0<b<故选:D.解法二：画出函数曲线y=eˣ的图象如图所示，根据直观即可判定点(a，b)在曲线下方和x轴上方时才可以作出两条切线.由此可知0<b<eˣ.故选:D.【点睛】解法一是严格的证明求解方法，其中的极限处理在中学知识范围内需要用到指数函数的增长特性进行估计，解法二是根据基于对指数函数的图象的清晰的理解与认识的基础上，直观解决问题的有效方法.9.AC【分析】先利用同角三角函数的基本关系可求cosα与tanα值，进而利用诱导公式逐项判断.【详解】由sinα=对于A:sin对于B:tanπ对于(C:cosπ对于D:cos3故选:AC10.ABD【分析】AB选项，利用函数奇偶性求函数解析式和函数值；C选项，由函数解析式求函数值比较大小；D选项，结合函数单调性和零点存在定理即可判断函数零点个数.【详解】f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f对于A，f−1对于B,当x<0时,-x>0,则.fx对于C，),故3e对于D,x>0时,f则由f'(x)>0可得0<x<1或x>2;由f'(x)<0可得1<x<2,故f(x)在(0,1)和(2,+∞)上单调递增,在(1,2)上单调递减,f可知f(x)在(0，+∞)上有且只有一个零点，又f(x)是定义在R上的奇函数,则f(x)在(-∞,0)上有一个零点,且f(0)=0,所以f(x)恰有3个零点，故D正确.故选:ABD11.AD【分析】根据边角互化，结合面积公式即可求解A、B，根据正弦的和差角公式以及弦切互化可得1即可求解C，根据余弦定理，结合辅助角公式以及三角函数的性质可求解bc【详解】由2sinA故2a2对于A,S△对于B，由于S△ABC=对于C，由2sinA即2sinB故1tanB=22对于D,b故b=22因此bc+cb令bc=x,x>0,则故选:AD12.5【分析】利用辅助角公式可求得sinα−π【详解】由sinα−3cos因为2所以sin故答案为：513.2【分析】设曲线y=lnx+x2式方程可求得切线方程.【详解】设曲线.y=lnx由y=lnx+x所以1x0+2x解得x0=所以切点为2所以切线方程为y−−所以切线方程为2故答案为：214.【答案】1【分析】利用求导研究函数单调性得出函数得最小值.fxmin=fa【详解】由fx令g(x)=2(x+2)-cos(x+2),则g'因为f'(-2)=-1<0,f'(-1)=2-cos1>0,则存在a∈(-2,-1),使得f'(a)=0,即cos(a+2)=2(a+2)(*).当x<a时,f'(x)>0,即f(x)在(-∞,a)上单调递减,在(a,+∞)上单调递减,在(a,+∞)上单调递增,故fxmin=f故1故答案为：115.(2)证明见解析【分析】(1)根据已知条件列方程求出等差数列的首项与公差，根据等差数列定义写出通项公式；(2)通过裂项相消的方法化简T，的表达式，并证明不等式.【详解】(1)在等差数列an中，S3又a5=2a2所以a故数列{an}的通项公式为(a)因为bn=则×化简得T因为n∈N⁺,所以0<1216.(1)证明见解析2【分析】(1)利用中位线的性质及线面平行的判定定理得证；(2)建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用夹角公式及正余弦函数的平方关系得解.【详解】(1)因为E,M分别为棱BC,BP的中点,所以EM∥PC,又PC⊂平面ACP,EM⊄平面ACP,所以ME∥平面ACP.(2)取AC中点为N,连接PN,由AC=AP=CP=2可知PN⊥AC,PN=3因为平面APC⊥平面ABC,AC是交线,PN⊂平面APC,所以PN^平面ABC,以A为原点，分别以AB，AC所在直线为x，y轴建立如图所示空间直角坐标系，则A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,2,0),P(0,1,3),E(1,1,0), M所以AE设平面AME的一个法向量为n=(x,y,z),则{n→·AM因为平面APC⊥平面ABC,AC是交线,AB⊥AC,AB⊂平面ABC,所以AB⊥平面ACP,故平面ACP的一个法向量为m=(1,0,0),所以cos所以平面AME与平面ACP夹角的正弦值为1−17.(1)y=x-12(3)证明见解析【分析】(1)利用导数的几何意义进行求解即可；(2)利用导数分情况讨论函数的单调性，判断极值即可求解(3)利用(2)中的函数的单调性，将m，n进行赋值即可证明.【详解】(1)当a=1时,f∴f'(1)=1,又f(1)=0,∴曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为:y=x-1;2当a≤0时,f'(x)<0,∴f(x)在(0,+∞)上单调递减,无极值;当0<a<解得x当0<a<x(0,x₁)x₁(x₁,x₂)x₂xf'(x)+0一0+f(x)极大值J极小值∴f(x)的单调递增区间为(0x1,x2当a≥1∴f(x)在(0,+∞)上单调递增,无极值.综.实数a的取值范围为0(3)①当a≤0时,由(2)知,f(x)在(0,+∞)上单调递减,令m=②当`<a∴令m=x₁,n=x₂,则f(m)f(n)<0;③当a≥1∴f(n)>f(1)=0,f(m)<f(1)=0,∴f(m)f(n)<0;综上,对任意a∈R,都存在m,n∈(0,+∞),使f(m)f(n)<0.18.2i【分析】(1)根据题意，得到Ap(2)(i)设A(a²,2a),则t=2a,B(b²,2b),C(c²,2c),不妨设B在C的左侧，根据斜率公式，分别求得kAB,k(ii)设l'为抛物线在点A处的切线，转化为证明l'与圆M相切，利用导数的几何意义，求得ki【详解】(1)解：由抛物线E:y2=2pxp0),可得焦点F(2)解:(i)设A(a²,2a),则t=2a,B(b²,2b),C(c²,2c),不妨设B在C的左侧，根据题意，可得kAB=因为直线AB，AC的斜率之和为0，所以k即kAB所以k(ii)设l'为抛物线在点A处的切线，要证明l即为l'，即l'与圆M相切，由函数y=2x,可得要证l'与圆M相切，取l'上点A左侧一点D，结合圆的弦切角定理的逆定理,即证∠DAB=∠ACB,只需证tan∠DAB=tan∠ACB,即证2a+即证2由(i)知b+c=-2a,即证2a219.(1)0,1,2;0,2,2,0.(2)(i)3;(ii)n=2k+1(k∈N°).【分析】(1)由题意逐项计算，可得答案；(2)(i)法一：由(1)猜想答案，通过假设法直接证明；法二：利用列举法，可得答案；(ii)由参数为奇偶数进行分类讨论，根据抽屉原理以及同余问题，可得答案.【详解】(1)①已知A₀:0,1,2,由0≠1,则3-0-1=2;由1≠2,则3-1-2=0;由2≠0,则3-2-0=1,可得A₁:2,0,1;由2≠0,则3-2-0=1;由0≠1,则3-0-1=2;由1≠2,则3-1-2=0,可得A₂:1,2,0;由1≠2,则3-1-2=0;由2≠0,则3-2-0=1;由0≠1,则3-0-1=2,可得A₃:0,1,2.②已知A₀:1,1,2,0,由1=1,则首项为1,由1≠2,则3-1-2=0,由2≠0,则3-2-0=1,由0≠1,则3-0-1=2,可得A₁:1,0,1,2;由1≠0,则3-1-0=2,由0≠1,则3-0-1=2,由1≠2,则3-1-2=0,由2≠1,则3-2-1=0,可得A₂:2,2,0,0;由2=2,则首项为2,由2≠0,则3-2-0=1,由0=0,则第三项为0,由(0≠2,则3-0-2=1,可得A3(2)(i)法一:根据(1)中的①可猜测：最小的“3阶好数”是3。最小的“3阶好数”为3。证明如下：当n=3时,记数列A,的第i项为ay,其中i∈{1,2,3,4},j∈N.其中a若A₀的三项互不相