吉林省吉林市普通高中2025-2026学年高二上学期期中考试 数学含答案

高二数学试题第1页（共6页）★保密·★保密·启用前★吉林市普通高中2025—2026学年度高二年级阶段性调研测试数学试题说明：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，贴好条形码。2.答选择题时，选出每小题答案后，用2b铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。答非选择题时，用0.5毫米的黑色签字笔将答案写在答题卡上。字体工整，笔迹清楚。3.请按题号顺序在答题卡相应区域作答，超出区域所写答案无效；在试卷上、草纸上答题无效。4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求．1．直线的倾斜角为 A． B． C． D．2．圆的圆心坐标为A． B． C． D．3．椭圆的焦点坐标是A．，B．，C．，D．，4．已知直线与直线垂直，则实数的值为A． B．C．或D．5．圆与圆的公切线的条数是A． B．C．D．6．已知椭圆的左、右焦点分别为，，过左焦点的直线与椭圆交于，两点，则的周长为A． B． C． D．7．已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是A． B． C． D．8．已知，，若直线，相交于点，且它们的斜率之积是，则点的轨迹方程为A．B．C．D．二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9．已知直线，则A．过点与直线平行的直线方程为B．过点与直线平行的直线方程为C．与直线关于原点对称的直线方程为D．与直线关于原点对称的直线方程为10．如图，在平行六面体中，设，，，则A． B．C． D．11．已知动点与两定点，的距离的比为，设点所构成的曲线为，则A．曲线的方程为B．曲线上的点到直线的最小距离为C．曲线上恰有三点到直线的距离为，则D．若点坐标为，则的最小值为三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。其中第14题的第一个空填对得2分， 第二个空填对得3分。12．若，，且与共线，则.13．过点作圆的切线，则切线方程为.14．已知椭圆的左、右焦点分别为，，是椭圆上异于左、右顶点的一点，且．若，则的面积为；设的内心为，其外接圆的半径为，记，的面积分别为，，若，则椭圆的离心率为.四、解答题：本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（本小题满分13分）已知圆经过点，，且．（Ⅰ）求圆的标准方程；（Ⅱ）若直线与圆相交于，两点，求．要求：从①过点，②圆心在直线上这两个条件中任选一个，补充在上面的问题中，并给出解答．如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．16．（本小题满分15分）如图，在四棱锥中，侧棱平面，，，，，点是的中点．（Ⅰ）求证:平面；（Ⅱ）求平面与平面夹角的余弦值．17．（本小题满分15分）已知椭圆的左、右焦点分别为，，长轴长为.（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）若经过椭圆右焦点的直线与椭圆相交于，两点，且的面积为，求直线的方程.18．（本小题满分17分）如图，在三棱柱中，平面平面，为中点，，，.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）在线段上是否存在一点，使点到平面的距离为？若存在，请求出四面体的体积；若不存在，请说明理由.19．（本小题满分17分）已知椭圆的离心率为，短轴长为，椭圆，且是椭圆的相似椭圆．（Ⅰ）求椭圆及椭圆的标准方程；（Ⅱ）过椭圆上一点作椭圆的切线与椭圆相交于，两点，为坐标原点，求证：的面积为定值；（Ⅲ）如图，为坐标原点，椭圆的右顶点、上顶点、下顶点分别为，，，点在线段上运动，点．如图，将所在平面沿直线折成直二面角，当直线与平面所成角的正弦值为时，求线段的长．图图命题、校对：高二数学命题组吉林市普通高中2025—2026学年度高二年级阶段性调研测试数学试题参考答案试题题源：人教版、版选择性必修一的教材与教参，以下教材、教参均指人教版选择性必修一.教材教参真题版版练习版例版和版习题版例，习题年新高考Ⅰ卷题版例版例，和年新高考Ⅱ卷题教学建议：基础年级教师在教学时关注课标+教材+教参+真题.一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．12345678BABBADDC二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．91011BCABDABD三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．其中第14题的第一个空填对得2分，第二个空填对得3分．12． 13．（写成也给分)14．；14题教学提示：此题用到如下知识：1．正弦定理2．焦点三角形面积3．三角形面积用周长和内切圆半径表示（分割法）四、解答题15．【解析】解：（Ⅰ）选①（法一）设圆的标准方程为. 2分由题意可得解得 5分圆的标准方程为. 7分（Ⅰ）选①（法二）设圆的一般方程为. 2分由题意可得解得 5分圆的一般方程为，即圆的标准方程为. 7分(注：圆的方程未写成标准方程形式扣1分.)（Ⅰ）选②（法一）由题意可得，中点为，线段的垂直平分线为，即． 2分圆心在直线上，联立解得即圆心．圆的半径， 5分圆的标准方程为. 7分（Ⅰ）选②（法二）设圆心，， 2分整理得，圆心，. 5分圆的标准方程为. 7分（Ⅱ）（法一）由（Ⅰ）知，圆心到直线的距离． 10分圆的半径，. 13分（法二）联立直线方程与圆的方程，解得和， 10分所以，，由两点间距离公式得. 13分(注：利用弦长公式求正确给满分.)16．【解析】（Ⅰ）证明：取中点，连接．分别为中点，，且．，且．四边形为平行四边形，． 4分平面平面平面． 6分（Ⅱ）又平面以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，依题意，是平面的一个法向量， 8分，，设平面的一个法向量为，则，．则取，则，平面的一个法向量为. 12分设平面与平面的夹角为，则即平面与平面夹角的余弦值为. 15分（注：若在第一问建系，求出平面法向量给8分，证明平面给2分，但不强调平面扣1分；第二问求出平面法向量给2分，计算平面与平面夹角余弦值给2分，结论1分．）注：立体几何解答题答题规范说明：1.建系规则：建系默认用右手直角坐标系．若用左手直角坐标系，解题全程正确、答案无误，可获满分；若有错误，则不得分．2.呈现要求：须在答题卡答题区清晰展示建系过程，明确标注坐标轴方向与原点位置．【解析】解：（Ⅰ）由题知，，，则，又， 2分所以椭圆的标准方程为. 4分（Ⅱ）（法一）由题可知，直线斜率不为，设直线的方程为，，，联立消去，得，因为恒成立，所以，， 8分，所以的面积， 12分化简得，解得（负值舍去），所以或， 14分所以直线的方程为或. 15分（法二）设直线方程为，联立直线方程与椭圆方程，消去，得，点到直线的距离，，的面积， 12分解得或． 14分所以直线的方程为或. 15分（注：若设直线方程为，需讨论斜率不存在的情况，不讨论扣分.）18．【解析】（Ⅰ）证明：取中点，连接，，又平面平面，平面平面，平面，平面． 4分又平面，．又与相交，且平面，平面. 7分（Ⅱ）（法一）线段上存在点，使点到平面的距离为．取中点，连接．由（Ⅰ）知，平面平面，．又分别为中点，．平面． 9分以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系.，，，，，，，，．设． 11分设平面的一个法向量为，则，.则取，则，． 13分设点到平面的距离，又．即线段上存在点，当时，点到平面的距离为． 15分点到平面的距离为点到平面的距离为．四面体的体积为. 17分（法二）平面，，取中点．又，，四边形是平行四边形，．又由（Ⅰ）知，平面，则平面． 9分以为原点，，，所在直线分别为轴、轴，轴，如图建系．，，，，，，，，，．设，． 11分设平面的一个法向量为，则，.则取，则，． 13分设点到平面的距离，，即线段上存在点，当时，点到平面的距离为． 15分四面体的体积为. 17分（法三）解题思路：设点，，到平面的距离为，，，，利用等积法可求得，又，则，，以下思路同法一．19．【解析】解：（Ⅰ）设椭圆的焦距为.椭圆离心率为，．又，．，.椭圆的标准方程为. 3分当时，椭圆的标准方程为. 4分(注：椭圆方程未写成标准方程形式扣1分.)（Ⅱ）（法一）证明：当直线斜率不存在时，直线方程为，当时，代入椭圆，得，，则.. 5分当直线斜率存在时，设直线方程为，设，，联立消去，得.则，化简得. 7分联立消去，得.因为，由韦达定理得，． 9分.综上，的面积为定值. 11分（法二）证明：当直线斜率为时，直线方程为，当时，代入椭圆，得，，则.. 5分当直线斜率不为时，设直线方程为，，，联立消去，得.则，化简得. 7分联立消去，得.因为，由韦达定理得，，． 9分