江苏省南京市、镇江市、徐州市联盟校2025-2026学年高三上学期10月学情调研数学试题（解析版）

2026届高三上学期10月学情调研

数学试题

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

Axlog2x1Bxx1

1.已知集合，，则AB（）

A.,1B.0,1C.,2D.0,2

【答案】B

【解析】

【分析】解不等式化简集合，再利用交集的定义求解.

【详解】集合A{x|log2x1}{x|0x2}，则B{x|x1}，

所以AB(0,1).

故选：B

2.设x0，yR，则“xy”是“xy”的（）

A.充要条件B.充分而不必要条件

C.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【解析】

【分析】根据充分条件和必要条件的含义，结合特殊值说明即可.

【详解】设x3，y4，显然有xy，但是xy不成立；

若xy，因为yy，所以有xy成立.

所以，“xy”是“xy”的必要而不充分条件.

故选：C.

3.已知某7个数的平均数为4，方差为2，现加入一个新数据4，此时这8个数的平均数为x，方差为s2，

则（）

A.x4,s22B.x4,s22

22

C.x4,s2D.x4,s2

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【答案】C

【解析】

【分析】由已知条件，根据平均数和方差的计算公式进行求解即可.

474

【详解】根据题意有x4，

8

2

7244

而s22.

8

故选：C.

6

23

4.x的展开式中x的系数为（）

x

A.12B.60C.160D.240

【答案】B

【解析】

6

3k

263

kk-=

【分析】先写出x的二项展开式的通项TC2x2，令6k3，求出k值，再代入通项

xk162

Tk1中，计算即可得解.

6

2

【详解】因为x的二项展开式的通项为

x

kk3k

26

k6kkk6k2kk2，

Tk1C6xC62xxC62x

x

3

令6-k=3，解得k2，所以TC222x360x3，

236

6

23

所以x的展开式中x的系数为60.

x

故选：B

5.若一系列函数的解析式和值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，那么函数解析式为

yx2，值域为2,4,6的“同族函数”包含的函数个数为（）

A.3B.8C.9D.27

【答案】D

【解析】

【分析】根据已知确定函数定义域取值情况，再由集合非空子集个数及分步计数求“同族函数”个数，即可得.

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【详解】由题设，yx2的值域为2,4,6，则x2或2或6，

结合“同族函数”的定义，则函数定义域分别从{2,2}、{2,2}、{6,6}中各取至少一个数，

所以共有(221)(221)(221)27种.

故选：D

ππ

6.将函数fxsin2x的图象向右平移个单位长度后，得到函数gx的图象，若gx

26

是偶函数，则（）

ππππ

A.B.C.D.

6633

【答案】A

【解析】

【分析】先求得平移后的解析式，然后根据函数的奇偶性求得即可.

π

【详解】函数fxsin2x的图象向右平移，

6

ππ

得到gxsin2xsin2x，

63

ππ5π

由于gx偶函数，所以kπ，即kπ,kZ，

326

ππ

由于，所以取k1，得.

26

故选：A

1

7.若函数fxx22xalnx有且只有一个极值点，则实数a的取值范围是（）

2

A.1,B.,1C.,0D.0,

【答案】C

【解析】

x22xa

【分析】首先求导得到fx，根据题意得到方程x22xa0有一个根大于0，一个根

x

小于等于0，即可得到答案.

2

12ax2xa

【详解】fxx2xalnx，定义域为0,，fxx2，

2xx

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1

因为函数fxx22xalnx有且只有一个极值点，

2

所以方程x22xa0有一个根大于0，一个根小于等于0，

Δ44a0

所以a0.

a0

故选：C

4

8.某个圆锥容器的轴截面是边长为4的等边三角形，一个表面积为π的小球在该容器内自由运动，则小

3

球能接触到的圆锥容器内壁总面积为（）

A.4πB.5πC.6πD.7π

【答案】B

【解析】

【分析】分别计算侧面与底面上小球可能接触到的容器内壁的面积，即可得解.

24π3

【详解】设小球的半径为r，则小球的表面积为S4πr，解得r，

33

在圆锥内壁侧面，小球接触到的区域围成一个圆台侧面，如下图所示：

3

由小球的半径rOEOGOD,ABACBC4，

1233

O1EO1E

得AEAFBGBJCKCD1，

tanO1AEtan30

又△AFE,△AGD都是等边三角形，则EF1,GDAGABBG3，

EF1GD3

圆台的上、下底面圆的半径分别为,，

2222

13

母线长FGAGAF312，因此圆台的侧面积为π()24π，

22

JKBC2BJ42

在圆锥底面，小球接触到的区域是一个圆，其半径为1，其面积为π12π，

222

所以圆锥内壁上小球能接触到的圆锥容器内壁总面积为4ππ5π.

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故选：B

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.下列命题中正确的有（）

A.已知随机变量XB4,0.25，则DX1

B.数据2，3，4，5，6的第60百分位数是4

C.若事件A与B互斥，且PA0.2，PB0.3，则PAB0.5

L2

D.样本数据x1，x2，，xn的平均数为x，方差为s，则3x13，3x23，…，3xn3的平均数为3x3，

方差为9s2

【答案】CD

【解析】

【分析】对于A利用二项分布的方差公式即可判断，对于B利用百分位数的定义即可判断，对于C利用互

斥事件的概率公式即可判断，对于D利用平均数和方差的性质即可判断.

【详解】对于A：由XB4,0.25，所以DX40.2510.250.75，故A错误；

4+5

对于B：由50.63，所以数据2，3，4，5，6的第60百分位数是=4.5，故B错误；

2

对于C：事件A与B互斥，且PA0.2，PB0.3，所以PABPAPB0.20.30.5，

故C正确；

L

对于D：利用平均数和方差的性质有：样本数据x1，x2，，xn的平均数为x，

22

方差为s，则3x13，3x23，…，3xn3的平均数为3x3，方差为9s，故D正确.

故选：CD.

10.在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABBCAA12，ABC90，E，F分别为棱AC和CC1的中点，

D为棱A1B1上的动点，则（）

A.BFDE

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B.该三棱柱的体积为4

C.过A1，B1，E三点截该三棱柱的截面面积为5

1

D.直线与平面ABBA所成角的正切值的最大值为

DE112

【答案】ABD

【解析】

【分析】利用题设建系，对于A，通过空间向量证明BF平面A1EB1即得BFDE；对于B，利用直棱

柱体积公式计算即得；对于C，先利用线面平行的性质作出截面，再计算其面积即可排除C；对于D，设点

D(t,0,2)，利用空间向量的夹角公式计算得出关于t的函数式，通过求函数的最大值得到所成角正切值的

最大值.

【详解】

如图建立空间直角坐标系，则B(0,0,0),F(0,2,1),E(1,1,0),A1(2,0,2),B1(0,0,2).

对于，，

ABF(0,2,1),EB1(1,1,2),EA1(1,1,2)

因，

BFEA10,2,1·1,1,2220

，

BFEB10,2,1·1,1,2220

可得BFEA1,BFEB1，

因EA1EB1E，且两直线在平面A1EB1内，则有BF平面A1EB1，

又D为棱A1B1上的动点，故BFDE，即A正确；

1

对于B，由题意，该三棱柱的体积为V2224，故B正确；

2

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对于C，如图，设经过A1，B1，E三点的截面交BC于点G，连接EG,B1G，

因A1B1//AB，A1B1平面ABC，AB平面ABC，则A1B1//平面ABC，

又A1B1,平面ABCEG，故得A1B1//EG，即截面为梯形EGB1A1.

因22，22，

A1E2(2)6B1G215

设梯形的高为，则22，解得

EGB1A1h6h5h1h5.

135

则S=(21)5,故C错误；

EGB1A122

对于D，如图，因AA1平面ABC，BC平面ABC，则AA1BC，

又BCAB，ABAA1A，且两直线在平面内，故得BC平面ABB1A1，

故可取平面ABB1A1的法向量为n(0,1,0)，

又D为棱A1B1上的动点，可设D(t,0,2)，t[0,2]则DE(1t,1,2)，

1

设直线DE与平面ABBA所成角为，则sin|cosDE,n|，

11(t1)25

25

因t[0,2]，故当且仅当t1时，(t1)5取得最小值为5，此时sin取得最大值为，

5

ππ

因(0,)，而正弦函数和正切函数在0,上均为增函数，

22

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5

51

故此时tan取得最大值为，故D正确.

52

1()2

5

故选：ABD.

【点睛】思路点睛：本题主要考查空间向量在立体几何中的应用，属于难题.

解题思路在于，化“动”为“静”，将线线垂直的判断转化成线面垂直的证明；利用线面平行的性质作出

截面求解；通过建系，将线面所成角的问题进行量化，借助于函数的最值求解.

2ex3

11.已知函数f(x)，则下列结论正确的是（）

ex1

5

A.xR，使得fx

002

B.函数f(x)的图象是一个中心对称图形

C.曲线yf(x)有且只有一条斜率为3的切线

11

D.存在实数a，b，使得函数f(x)的定义域[a,b]，值域为a,b

22

【答案】ABD

【解析】

【分析】求解指数方程计算判断A，应用对称中心定义计算判断B，应用导数值域判断C，应用函数交点判

断D.

2ex35

【详解】因为f(x)2，

ex1ex1

555x01x05

当fx0，所以2，可得e，且e0,，所以x0R，使得fx0，

2ex01292

A选项正确；

5555ex

，所以函数的一个中心对称为

f(x)fx2x2x4xx1f(x)

e1e1e1e1

1

0,，B选项正确；

2

5ex5ex5

f(x)11

22xx，又因为xx，所以

xe2e1x1e22e24

e1e2exex

ex

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551

f(x)1

1，所以函数没有斜率为的切线，C选项错误；

ex2443

ex

x

12e3xxx610

令f(x)x，f(x)，所以e1，

2ex124x4x

xx611

ye,y有两个交点，所以存在实数a，b，使得函数f(x)的定义域[a,b]，值域为a,b，

4x22

D选项正确；

故选：ABD.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

2

12.已知随机变量XN3,，且P(0X3)0.4，则PX6__________.

【答案】0.1

【解析】

【分析】根据正态分布的性质求解.

【详解】因为随机变量XN3,2，且P(0X3)0.4，

所以P(3X6)0.4，

则PX60.5P3X60.50.40.1.

故答案为：0.1

1

13.已知sin，则sin2_________

346

7

【答案】

8

【解析】

【分析】设，则22，由诱导公式结合余弦的二倍角公式可得答案.

362

1

【详解】设，则sin

34

27

所以sin2sin2sin2cos212sin

63628

7

故答案为：

8

14.数学中的“对称性”不仅体现在平面几何、立体几何、解析几何和函数图象中，还体现在概率问题中．请

你从“对称性”的角度完成下面概率问题：已知有A，B，C，D，E，F，G，H八名运动员参加比赛，

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按照下图进行单败淘汰制（赢者晋级下一轮，败者被淘汰）.其中A在图示中①的位置，B在图示中⑤的位

2

置，其余运动员抽签决定自己第一轮的比赛位置.已知A与除B以外的运动员比赛胜率为，B与除A以外

3

11

的运动员比赛胜率为，除此以外其余场次比赛（包括AB间的比赛）每位运动员胜率都为，则运动员C

32

夺得冠军的概率为________．

1

【答案】

9

【解析】

【分析】根据相互独立事件的概率公式求出A夺冠，B夺冠的概率，再由对立事件的概率关系和概率的对

称性可得解.

22

21

【详解】A进入决赛的概率为，B进入决赛的概率为，

33

2

2118270

A夺冠有两种情况，B进入决赛和B没进入决赛，所以A夺冠的概率为，

39293243

2

1415111

B夺冠有两种情况，A进入决赛和A没进入决赛，所以B夺冠的概率为，

39293243

70111111

所以A或B夺冠的概率为，由概率的对称性可得，C夺冠的概率为1.

2432433639

1

故答案为：.

9

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

325

15.已知函数fxaxbx6xc，当x1时，fx的极小值为，当x2时，fx有极大

2

值．

（1）求函数fx；

2

（2）存在x02,0，使得fx0t2t成立，求实数t的取值范围．

3

【答案】（1）fxx3x26x1；（2）1,3．

2

【解析】

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5

【分析】（1）求导后，根据f1f20和f1，解得a,b,c即可得解；

2

（）转化为2，再利用导数求出函数在[2,0]上的最大值，然后解不等式2

2fxmaxt2tf(x)t2t3

可得结果.

2

【详解】（1）∵fx3ax2bx6，

3

由f1f20，得3a2b60且12a4b60，解得a1，b，

2

5

又f1，∴c1，

2

3

∴fxx3x26x1；

2

（）存在，使得2，等价于2，

2x02,0fx0t2tfxmaxt2t

∵fx3x23x63x2x1，

当x[2,1)时，f(x)0，当x(1,0)时，f(x)0，

∴fx在2,1上递减，在1,0上递增，

又f23，f01，

∴fx在2,0上的最大值为f23，

∴t22t3，解得1t3，

所以t的取值范围是1,3．

【点睛】本题考查了由函数的极值求函数的解析式，考查了利用导数研究不等式能成立问题，属于基础题.

2

16.在VABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知acosCb0，bc．

4

（1）求cosC；

13π

（2）若VABC的面积为，D是BC上的点，且ADB，求CD的长．

44

5

【答案】（1）

5

5

（2）

10

【解析】

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【分析】（1）由已知得出c22b，利用余弦定理结合acosCb0可得出a5b，再利用余弦定理

可求得cosC的值；

（2）利用三角形的面积公式结合（1）中的结论可求出a、b、c的值，求出sinCAD的值，利用正弦定

理可求出CD的长.

【小问1详解】

a2b2c2

因为acosCb0，所以，ab0，即a23b2c20，

2ab

2

因为bc，则c22b，即a23b28b20，故a5b，

4

a2b2c25b2b28b25

由余弦定理可得cosC.

2ab25b25

【小问2详解】

2

因为5，则2525，

cosCsinC1cosC1

555

因为151，可得5，

S△absinCabab

ABC2544

51

因为a5b，c22b，故a，b，c2，

22

3π3ππ

D是BC上的点，且ADB，则CADC，ADC，

444

3π3π3π2522510

所以，sinCADsinCsincosCcossinC，

444252510

bCD

在ACD中，由正弦定理可得，

sinADCsinCAD

110

bsinCAD5

故CD210.

sinADC210

2

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17.盒中有3个红球，6个白球，这些球除颜色外完全相同.

（1）若从盒中不放回地随机取3次，每次取1个球，记X为取到的红球的个数，求X的分布列和数学期

望；

（2）若从盒中每次随机取1个球，取出后将原球放回，再加入3个同色球，求在第2次取到红球的情况下，

第3次取到白球的概率.

【答案】（1）分布列见解析，EX1

1

（2）

2

【解析】

【分析】（1）利用超几何分布可求得分布列，进而利用期望公式可求得期望；

（2）利用条件概率公式与贝叶斯公式求解即可.

【小问1详解】

X的可能取值为0,1,2,3

C35C1C215

6，36

PX03PX13

C921C928

C2C13C31

36，3

PX23PX33

C914C984

X的分布列如下：

X0123

51531

P

21281484

51531

EX01231

21281484

【小问2详解】

记事件Ai“第i次取到红球”，于是

311

PAAPAPA∣A

12121926

∣611

PA1A2PA1PA2A1

946

1

PA2PA1A2PA1A2

3

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PA2A3PA1A2A3PA1A2A3

那么∣

PA3A2

PA2PA2

1619

∣∣

PA1A2PA3A1A2PA1A2PA3A1A21

615615.

PA212

3

18.如图所示的多面体是由一个直三棱柱ABDA1B1D1与一个四棱锥CBB1D1D拼接而成的，四边形

ABCD为直角梯形，AD//BC，ABAD，BC4，ABAD2，E,F分别为AB,AD的中点.

（1）求证：EF//平面B1CD1；

6

（2）若直线AB与平面B1CD1所成角的正弦值为，求二面角B1CD1B的余弦值.

6

【答案】（1）证明见解析

3

（2）

2

【解析】

【分析】（1）由三角形中位线性质可得EF//BD//B1D1，根据线面平行的判定定理可证得结论；

（2）以A为坐标原点可建立空间直角坐标系，设AA1mm0，利用线面角的向量求法可构造方程求

得m，再利用二面角的向量求法求得结果.

【小问1详解】

由直三棱柱ABDA1B1D1的性质知：BD//B1D1，

E,F分别为AB,AD的中点，EF//BD，EF//B1D1，

Q

B1D1平面B1CD1，EF平面B1CD1，EF//平面B1CD1.

【小问2详解】

由直棱柱的性质得：AA1平面ABCD，

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AB,AD平面ABCD，AA1AB，AA1AD；

则以A为坐标原点，分别以AB,AD,AA1所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系，如图所示，

设AA1mm0，则A0,0,0，B2,0,0，C2,4,0，B12,0,m，D10,2,m，

，，，

AB2,0,0B1C0,4,mB1D12,2,0

设平面B1CD1的法向量为nx,y,z，

nBC4ymz0

则1，令ym，解得：xm，，；

z4nm,m,4

nB1D12x2y0

设直线AB与平面B1CD1所成角为，

ABn2m6

则sincosAB,n，解得：m2，

ABn22m2166

平面B1CD1的一个法向量n2,2,4，

又，，

BC0,4,0BD12,2,2

设平面BCD1的法向量为ma,b,c，

mBC4b0

则，令a1，解得：b0，c1，m1,0,1；

mBD12a2b2c0

mn63

cosm,n，

mn2622

3

由图可知：二面角B1CD1B为锐二面角，二面角B1CD1B的余弦值为.

2

19.已知函数f(x)lne2xlnxax，aR．

（1）当a1时，求函数f(x)在(1,f(1))处的切线方程；

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（2）讨论函数f(x)的单调性；

af(x)

（3）若方程ex1(a1)2有两个不同的实数根，求实数a的取值范围．

x

【答案】（1）2xy10；

（2）答案见解析；（3）a1或0a1.

【解析】

【分析】（1）应用导数的几何意义求切线方程；

（2）对函数求导，应用分类讨论及对应导数的区间符号研究函数的单调性；

（3）问题化为方程xex1alnxx0有两个不同实根，构造g(x)(ex11)xalnx并应用导数、分类讨

论研究函数的零点个数，确定参数范围.

【小问1详解】

由题意，f(x)的定义域为(0,)，当a1时f(x)lne2xlnxx3xlnx，

1

所以f(x)3，则f(1)2，又f(1)3，

x

所以在(1,f(1))处的切线方程为y32(x1)，即2xy10；

【小问2详解】