【课件】第1课时并集和交集课件-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

1.3第1课时并集和交集学习目标1.理解两个集合的并集与交集的含义.2.能求两个集合的并集与交集及其综合运算.3.能使用Venn图表达集合的基本关系与基本运算,体会图形对理解抽象概念的作用.基础落实·必备知识一遍过重难探究·能力素养速提升学以致用·随堂检测促达标目录索引基础落实·必备知识一遍过知识点1

并集文字语言符号语言图形语言由

属于集合A

属于集合B的元素组成的集合,称为集合A与B的并集

A∪B={x|x∈A,或x∈B}两个集合取并集后,两个重复的元素仅看作一个元素

A∪B所有

或

名师点睛对并集概念的理解(1)A∪B仍是一个集合,A∪B由所有属于集合A或属于集合B的元素组成.(2)并集符号语言中的“或”与生活中的“或”字含义有所不同.生活中的“或”是只取其一,并不兼存;而并集中的“或”连接的并列成分之间可能是兼存的,“x∈A或x∈B”包括下列三种情况:①x∈A,且x∉B;②x∉A,且x∈B;③x∈A,且x∈B.可用下图所示形象地表示.(3)并集的运算性质

性质说明A∪B=B∪A满足交换律A∪⌀=A任何集合与空集的并集仍为集合本身A∪A=A集合与集合本身的并集仍为集合本身若A∪B=B,则A⊆B

可利用性质进行等价转化并集关系与子集关系的转化A⊆(A∪B),B⊆(A∪B)任何集合都是该集合与另一集合并集的子集思考辨析1.如果A⊆B,那么A∪B=B成立吗?2.若两个集合的并集是空集,则这两个集合有什么特征?提示

成立.提示

若两个集合的并集是空集,则这两个集合都是空集.自主诊断1.(2024全国甲,文1)集合A={1,2,3,4,5,9},B={x|x+1∈A},则A∩B=(

)A.{1,2,3,4} B.{1,2,3}C.{2,3,4} D.{1,2,3,4,5}2.已知集合A={-1,0,1},B={x|x2-3x+2=0},则A∪B=(

)A.{1} B.{1,2}C.{-1,0,1} D.{-1,0,1,2}AD解析

由B={x|x2-3x+2=0}={1,2},又A={-1,0,1},可知A∪B={-1,0,1,2}.故选D.3.已知A={x|x>1},B={x|x=1},那么A∪B=

.

{x|x≥1}知识点2

交集文字语言符号语言图形语言由

属于集合A

属于集合B的元素组成的集合,称为集合A与B的交集

A∩B=

所有

且

{x|x∈A,且x∈B}

名师点睛对交集概念的理解(1)A∩B仍是一个集合,A∩B由所有属于集合A且属于集合B的元素组成.(2)对于“A∩B={x|x∈A,且x∈B}”,包含以下两层意思:①A∩B中的任一元素都是A与B的公共元素;②A与B的公共元素都属于A∩B,这就是文字定义中“所有”二字的含义,如A={1,2,3},B={2,3,4},则A∩B={2,3},而不是{2}或{3}.(3)并不是任意两个集合总有公共元素,当集合A与集合B没有公共元素时,不能说集合A与集合B没有交集,而是A∩B=⌀.(4)当A=B时,A∩B=A和A∩B=B同时成立.(5)交集的运算性质

性质说明A∩B=B∩A满足交换律A∩⌀=⌀空集与任何集合的交集都为空集A∩A=A集合与集合本身的交集仍为集合本身若A∩B=A,则A⊆B交集关系与子集关系的转化(A∩B)⊆A,(A∩B)⊆B两个集合的交集是其中任一集合的子集思考辨析“如果两个集合的交集是空集,那么这两个集合至少有一个是空集”,这种说法对吗?提示

不一定.例如A={1,2},B={3,4},A∩B=⌀,但A,B都不是空集.自主诊断1.(苏教版教材例题改编)已知A={-1,0,1},B={0,1,2,3},那么A∩B=

.{0,1}解析

A∩B={-1,0,1}∩{0,1,2,3}={0,1}.

2.(苏教版教材习题)已知A={1,2,3,4,5,6,7,8},B={2,4,6,8}.(1)B⊆A成立吗?A⊆B成立吗?解

B⊆A成立,A⊆B不成立.(2)求A∩B和A∪B.解

A∩B=B,A∪B=A.重难探究·能力素养速提升探究点一集合的并集与交集的概念及运算【例1—1】

已知集合A={6,8,9},B={1,3,7,8,9},C={2,6,8,9},求:(1)A∩B∩C;解

因为集合A={6,8,9},B={1,3,7,8,9},C={2,6,8,9},所以A∩B={8,9},所以A∩B∩C={8,9}.(2)A∪B∪C;解

因为集合A={6,8,9},B={1,3,7,8,9},C={2,6,8,9},所以A∪B={1,3,6,7,8,9},所以A∪B∪C={1,2,3,6,7,8,9}.(3)A∩(B∪C);解

因为集合A={6,8,9},B={1,3,7,8,9},C={2,6,8,9},所以B∪C={1,2,3,6,7,8,9},所以A∩(B∪C)={6,8,9}.(4)(A∩B)∪(A∩C).解

因为集合A={6,8,9},B={1,3,7,8,9},C={2,6,8,9},所以A∩B={8,9},A∩C={6,8,9},所以(A∩B)∪(A∩C)={6,8,9}.【例1—2】

已知集合A={x|-2≤x≤4},B={x|-4<x<-2},求A∪B,A∩B.解

因为A={x|-2≤x≤4},B={x|-4<x<-2},所以A∪B={x|-4<x≤4},A∩B=⌀.规律方法求两个集合交集、并集的方法若是用列举法表示的数集,可以根据交集、并集的定义直接观察或用Venn图表示出集合运算的结果,要注意若集合不是最简形式,需要先化简集合,求并集时,不是单纯的合并元素,相同的元素只能写一次;若是用描述法表示的数集,可借助数轴分析写出结果,利用数轴时,要注意端点的取舍及表示.变式训练1(1)(北师大版教材例题)已知集合A={x|-1≤x<2},

B={x|0≤x≤3},求A∩B,A∪B.解

在数轴上表示出集合A,B(如图),则A∩B={x|-1≤x<2}∩{x|0≤x≤3}={x|0≤x<2};A∪B={x|-1≤x<2}∪{x|0≤x≤3}={x|-1≤x≤3}.(2)(苏教版教材习题)①设A={(x,y)|y=-4x+6},B={(x,y)|y=5x-3},求A∩B.②设A={x|x=2k-1,k∈Z},B={x|x=2k,k∈Z},求A∩B,A∪B.解

由题意,集合A为奇数集,集合B为偶数集,所以A∪B=Z,A∩B=⌀.探究点二已知集合的交集、并集求参数的值或取值范围【例2—1】

设集合A={x|x2-3x+2=0},集合B={x|x2+2(a-1)x+a2-5=0}.(1)若A∩B={2},求实数a的值;(2)若A∪B=A,求实数a的取值范围.解

(1)由题意得A={x|x2-3x+2=0}={1,2}.∵A∩B={2},∴2∈B,∴22+2(a-1)×2+a2-5=0,即4+4a-4+a2-5=0,化简得a2+4a-5=0,即(a+5)(a-1)=0,解得a=-5或a=1,经检验当a=-5,B={x|x2-12x+20=0}={2,10},满足A∩B={2}.当a=1,B={x|x2-4=0}={-2,2},满足A∩B={2}.故a=-5或a=1.

规律方法已知两个有限集运算结果求参数值的方法对于这类已知两个有限集的运算结果求参数值的问题,一般先用观察法得到不同集合中元素之间的关系,再列方程求解.另外,在处理有关含参数的集合问题时,要注意对求解结果进行检验,以避免违背集合中元素的有关特性,尤其是互异性.【例2—2】

集合A={x|-1<x<1},B={x|x<a}.(1)若A∩B=⌀,求a的取值范围;(2)若A∪B={x|x<1},求a的取值范围.解

(1)A={x|-1<x<1},B={x|x<a},且A∩B=⌀,把集合A与B都表示在数轴上,如图①所示.∴数轴上点x=a在点x=-1左侧,且可以包含点x=-1,∴{a|a≤-1}.(2)A={x|-1<x<1},B={x|x<a},且A∪B={x|x<1},把集合A与B都表示在数轴上,如图②所示,∴数轴上点x=a在点x=-1和点x=1之间,不包含点x=-1,但包含点x=1.∴{a|-1<a≤1}.变式探究本例(1)中,把“A∩B=⌀”改为“A∩B≠⌀”,求a的取值范围.解

利用数轴(略)表示出两个集合,数形结合知,要使A∩B≠⌀,需数轴上点x=a在点x=-1右侧且不包含点x=-1,所以{a|a>-1}.规律方法已知集合运算求参数的取值范围的思路此类问题常借助数轴解决,首先根据集合间的关系画出数轴,然后根据数轴列出关于参数的不等式(组)求解,特别要注意端点值的取舍.当集合的元素离散时,常借助集合的关系列关于参数的方程(组)求解,但求解后要代入检验是否符合题意.探究点三根据集合的交集、并集结果求集合元素的个数【例3】

(1)满足条件{1,2}∪A={1,2,3,4,5}的集合A的个数为

.4解析

由题意得{3,4,5}⊆A⊆{1,2,3,4,5},从而满足条件的集合A有{3,4,5},{1,3,4,5},{2,3,4,5},{1,2,3,4,5}共4个.(2)某学校100名学生在一次语文、数学和英语的三科竞赛中,参加语文竞赛的有39人,参加数学竞赛的有49人,参加英语竞赛的有41人,既参加语文竞赛又参加数学竞赛的有15人,既参加数学竞赛又参加英语竞赛的有13人,既参加语文竞赛又参加英语竞赛的有9人,1人三项都没有参加,则三项都参加的有

人.

7解析

设三项都参加的有x人,因为有一人三项均未参加,则由已知39+49+41-15-13-9+x=100-1,解得x=7.(3)集合A={x∈Z|x2-px+15=0},B={x∈Z|x2-5x+q=0},如果A∪B={2,3,5},则A=

,B=

.

{3,5}{2,3}解析

因为x2-px+15=0,x2-5x+q=0,所以集合A中的方程两实数根之积等于15,B中方程两实数根之和为5.又A∪B={2,3,5},x∈Z,所以A={3,5},B={2,3}.变式训练2

(1)已知集合A={1,2,3},B={1,2},则满足A∩C=B∪C的集合C有

个.

2解析

由条件A∩C=B∪C可知B⊆(B∪C)=(A∩C)⊆C⊆(B∪C)=(A∩C)⊆A,则符合条件的集合C为{1,2}或{1,2,3},共2个.★★(2)已知集合A={x|x2-px-2=0},B={x|x2+qx+r=0},且A∪B={-2,1,5},A∩B={-2},则p+q+r=

.

-14解析

因为A∩B={-2},所以-2∈A,将x=-2代入x2-px-2=0,得p=-1,此时方程x2-px-2=0即为x2+x-2=0,解得x=1或x=-2,所以A={1,-2}.因为A∪B=