【课件】集合间的基本关系课件-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

1.2集合间的基本关系学习目标1.了解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集.2.掌握子集、真子集及集合相等的应用,会判断集合间的基本关系.3.在具体情境中了解空集的含义并会应用.4.能使用Venn图表达集合间的关系,体会直观图对理解抽象概念的作用.基础落实·必备知识一遍过重难探究·能力素养速提升学以致用·随堂检测促达标目录索引基础落实·必备知识一遍过知识点1

子集与真子集1.Venn图用平面上封闭曲线的内部代表集合,这种图称为Venn图.名师点睛对Venn图的理解(1)表示集合的Venn图的边界是封闭曲线,它可以是圆、椭圆、矩形,也可以是其他封闭曲线.(2)用Venn图表示集合的优点是能够呈现清晰的视觉形象,即能够直观地表示集合之间的关系,缺点是集合元素的公共特征不明显.2.子集与真子集

概念定义符号表示图形表示性质子集一般地,对于两个集合A,B,如果集合A中

元素都是集合B中的元素,就称集合A为集合B的子集

A

B(或B⊇A)

(1)任何一个集合是它本身的子集,即A⊆A;(2)对于集合A,B,C,如果A⊆B,且B⊆C,那么

真子集如果集合

,但存在元素

“至少有一个”的意思x∈B,且x∉A,就称集合A是集合B的真子集A⫋B(或B⫌A)

对于集合A,B,C,如果A⫋B,B⫋C,那么

任意一个

⊆A⊆CA⊆BA⫋C名师点睛1.对子集的理解特别地,A⊆A,故不能简单地认为“若A⊆B,则A是由B的部分元素组成的集合”.2.对真子集的理解(1)真子集的概念也可以叙述为:若集合A⊆B,存在元素x∈B,且x∉A,则称集合A是集合B的真子集.(2)集合A是集合B的真子集,需要满足以下两个条件:a.集合A是集合B的子集;b.存在元素x∈B,且x∉A.所以,如果集合A是集合B的真子集,那么集合A一定是集合B的子集,反之不成立.思考辨析1.符号“⊆”与符号“∈”有什么区别?提示

符号“⊆”表示集合与集合之间的包含关系,而符号“∈”表示元素与集合之间的从属关系.2.集合A⫋B与集合A⊆B有什么区别?

提示

A⊆B⇒A=B或A⫋B.因此若集合A是集合B的子集包含两个方面:A⫋B或A=B.自主诊断1.(北师大版教材习题改编)选择适当的符号(“∈”“∉”“⫋”“⫌”“=”“⊆”“⊇”)填空:(2)设A是全体正方形组成的集合,B是全体矩形组成的集合,C是全体平行四边形组成的集合,则A

B,B

C;

(3)若集合A⊆B,B⊆C,则A

C.

⫋=⫋⫋⊆2.(苏教版教材例题)判断下列各组集合中,A是否为B的子集.(1)A={0,1},B={-1,0,1,-2};解

因为0∈B,1∈B,即A中的每一个元素都是B的元素,所以A是B的子集.

(2)A={0,1},B={x|x=2k,k∈N}.解

因为1∈A,但1∉B,所以A不是B的子集.知识点2

集合相等一般地,如果集合A的

都是集合B的元素,同时集合B的

都是集合A的元素,那么集合A与集合B相等,记作

.也就是说,若A

B,且B

A,则A=B.集合之间只有相等和不等的关系,没有大小之分任何一个元素

任何一个元素

A=B⊆⊆名师点睛对集合相等的理解(1)A=B的图形表示如下:(2)集合A与集合B相等,就是集合A与集合B中的元素完全一致.(3)集合“A=B”可类比实数中的结论“若a≤b,且b≤a,则a=b”,即“若A⊆B,且B⊆A,则A=B”.(4)若A=B,则有A⊆B,且B⊆A.自主诊断若A={1,a,0},B={-1,b,1},且A=B,则a=

,b=

.

解析

由两个集合相等可知b=0,a=-1.-10知识点3

空集一般地,我们把不含有

的集合叫做空集,记为

,并规定:空集是任何集合的子集,即⌀⊆A.

任何元素

⌀名师点睛有限集合的子集问题若有限非空集合A中含有n个元素,则有:(1)集合A的子集的个数为2n;(2)集合A的真子集的个数为2n-1;(3)集合A的非空子集的个数为2n-1;(4)集合A的非空真子集的个数为2n-2.例如,集合{1,2}的元素个数为2,其子集个数为22=4,子集分别为⌀,{1},{2},

{1,2};真子集个数为22-1=3,真子集分别为⌀,{1},{2};非空子集个数为22-1=

3,非空子集分别为{1},{2},{1,2};非空真子集个数为22-2=2,非空真子集分别为{1},{2}.思考辨析1.{0},⌀之间有什么区别与联系?提示

{0}是含有一个元素0的集合,⌀是不含任何元素的集合,因此⌀⊆{0}.2.若一个集合只有一个子集,则这个集合有什么特征?提示

一个集合只有一个子集,则这个集合是空集.

自主诊断1.下列集合中为空集的是(

)A.{0} B.{⌀}C.{x|x2+4=0} D.{x|x+1≤2x}2.(苏教版教材例题)写出集合{a,b}的所有子集.

C解

集合{a,b}的所有子集是⌀,{a},{b},{a,b}.知识点4

子集与真子集的性质由子集、真子集和空集的概念可得:(1)空集是任何集合的子集,

;

(2)任何一个集合是它自身的子集,即

;

(3)空集只有一个子集,即它自身;(4)对于集合A,B,C,由A⊆B,B⊆C可得

;

(5)对于集合A,B,C,由A⫋B,B⫋C可得

.

思考辨析每个集合都有真子集吗?⌀⊆AA⊆AA⊆CA⫋C提示

空集只有子集也就是它本身,没有真子集.自主诊断1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)空集是任何集合的真子集.(

)(2)非空集合至少有两个子集.(

)(3){0,1,2}⊆{2,0,1}.(

)(4)一个集合可能是它本身的真子集.(

)(5)若M⊆N,N⊆P,则M⫋P.(

)2.若{1,2}⊆B⊆{1,2,4},则B=

.

×√√××{1,2}或{1,2,4}解析

由条件知集合B中一定含有元素1和2,故集合B可能是{1,2}或{1,2,4}.重难探究·能力素养速提升探究点一集合的子集、真子集问题【例1—1】

写出集合{3,5,8}的所有子集和它的真子集.解

集合{3,5,8}的所有子集为⌀,{3},{5},{8},{3,5},{3,8},{5,8},{3,5,8}.集合{3,5,8}的所有真子集为⌀,{3},{5},{8},{3,5},{3,8},{5,8}.【例1—2】

(1)已知集合A={x∈N|-2<x<3},则集合A的所有非空真子集的个数是(

)A.6

B.7

C.14

D.15A解析

因为A={x∈N|-2<x<3}={0,1,2},所以集合A中的元素个数为3,因此集合A的所有非空真子集的个数是23-2=6.故选A.(2)已知集合M满足{2,3}⊆M⊆{1,2,3,4,5},那么这样的集合M的个数为(

)A.6 B.7

C.8

D.9C解析

因为{2,3}⊆M⊆{1,2,3,4,5},所以集合M可以为{2,3},{1,2,3},{2,3,4},{2,3,5},{1,2,3,5},{1,2,3,4},{2,3,4,5},{1,2,3,4,5},共8个,故选C.变式探究本例(2)中条件改为“已知集合M满足{2,3}⊆M⫋{1,2,3,4,5}”,那么这样的集合M的个数是多少?并思考此时集合M的个数与集合{1,4,5}的真子集的个数相同吗?解

因为{2,3}⊆M⫋{1,2,3,4,5},所以集合M可以为{2,3},{1,2,3},{2,3,4},{2,3,5},{1,2,3,5},{1,2,3,4},{2,3,4,5},共7个.此时集合M的个数与集合{1,4,5}的真子集个数相同.规律方法1.求集合的子集、真子集的步骤判断—根据子集、真子集的概念判断出集合中含有元素的可能情况↓分类—根据集合中元素的多少进行分类↓列举—采用列举法逐一写出每种情况的子集2.求元素个数有限的集合的子集两个关注点(1)要注意两个特殊的子集:⌀和自身;(2)按集合中含有元素的个数由少到多,分类一一写出,保证不重不漏.变式训练1(1)若{1,2,3}⫋A⊆{1,2,3,4,5},则满足条件的集合A的个数为(

)A.2 B.3 C.4 D.5B解析

满足条件的集合A有{1,2,3,4},{1,2,3,5}和{1,2,3,4,5},共3个.(2)设A={x|(x2-16)(x2+5x+4)=0},写出集合A的子集,并指出其中哪些是它的真子集.解

由(x2-16)(x2+5x+4)=0,得(x-4)(x+1)(x+4)2=0,解方程得x=-4或x=-1或x=4,故集合A={-4,-1,4}.由0个元素构成的子集为⌀;由1个元素构成的子集为{-4},{-1},{4};由2个元素构成的子集为{-4,-1},{-4,4},{-1,4};由3个元素构成的子集为{-4,-1,4},因此集合A的子集为⌀,{-4},{-1},{4},{-4,-1},{-4,4},{-1,4},{-4,-1,4}.真子集为⌀,{-4},{-1},{4},{-4,-1},{-4,4},{-1,4}.探究点二集合之间关系的判断及应用【例2—1】

(1)已知集合A={x∈Z|0<x<5},B={0,1,2,3,4,5},则(

)A.A∈B

B.A=BC.A⊆B

D.B⊆AC解析

集合A={x∈Z|0<x<5}={1,2,3,4},B={0,1,2,3,4,5},则A⊆B.故选C.★★(2)若集合A={x|x=2n+1,n∈Z},集合B={x|x=4n-1,n∈Z},则集合A,B的关系是

.

B⫋A解析

对任意x0∈B,则x0=4n-1=2(2n-1)+1.∵n∈Z,则2n-1∈Z,∴x0∈A,则B⊆A.又1∈A,1∉B,所以B⫋A.★★【例2—2】

(1)设A={x|-1<x<1},B={x|x-a>0},若A⊆B,则实数a的取值范围是(

)A.{a|a≤-1} B.{a|a<-1}C.{a|a≥1} D.{a|a>1}A解析

由集合A={x|-1<x<1},B={x|x-a>0}={x|x>a},因为A⊆B,所以a≤-1,即实数a的取值范围是{a|a≤-1}.故选A.(2)已知集合A={x|x2-3x+2=0},B={x|ax=1},若B⊆A,求实数a的值.

规律方法

集合间基本关系判定的两种方法和一个关键

B解析

由A⊆B,得0∈B,若a-2=0,则a=2,此时A={0,-2},B={1,0,2},不满足A⊆B,不符合题意;若2a-2=0,则a=1,此时A={0,-1},B={1,-1,0},满足A⊆B,所以a=1.故选B.★★(2)已知集合A={x|x=6a+1,a∈Z},B={x|x=3b-2,b∈Z},C={x|x=3c+1,c∈Z},则集合A,B,C之间的关系是

.

A⫋B=C解析

B={x|x=3b-2,b∈Z}={x|x=3(b+1)-2,b∈Z}={x|x=3b+1,b∈Z},则B=C.当c=2a时,C={x|x=6a+1,a∈Z},当c=2a+1时,C={x|x=6a+4,a∈Z},所以A⫋C,所以A⫋B=C.探究点三集合相等关系的判断及应用【例3—1】

下列集合中表示同一集合的是(

)A.M={(3,2)},N={(2,3)}B.M={2,3},N={(2,3)}C.M={(x,y)|x+y=1},N={y|x+y=1}D.M={2,3},N={3,2}D解析

对于A,M={(3,2)},N={(2,3)},则M≠N;对于B,M={2,3},N={(2,3)},则M≠N;对于C,M={(x,y)|x+y=1}为点集,N={y|x+y=1}为数集,则M≠N;对于D,M={2,3},N={3,2},则M=N.故选D.【例3—2】

已知集合A={2,x,y},B={2x,2,y2},且A=B,求实数x,y的值.

变式探究

若将例3—2中已知条件改为“集合A={x,xy,x-y},集合B={0,|x|,y},且A=B”,求实数x,y的值.解

∵0∈B,A=B,∴0∈A.又由集合中元素的互异性,可知|x|≠0,y≠0,∴x≠0,xy≠0,故x-y=0,即x=y.此时A={x,x2,0},B={0,|x|,x},∴x2=|x|,解得x=±1.当x=1时,x2=1,与集合中元素的互异性矛盾,∴x=-1,即x=y=-1.规律方法根据集合相等求参数,首先分析一个集合中的元素与另一个集合中哪个元素相等,分几种情况进行讨论,然后通过列方程(组)求解.当集合中的未知元素不止一个时,情况会更复杂,需要多次讨论.求出参数后要根据集合中元素的互异性进行检验,排除不符合要求的解.探究点四由集合间的关系求参数的范围【例4】

已知集合A={x|-5<x<2},B={x|2a-3<x<a-2}.(1)若a=-1,试判断集合A,B之间是否存在子集关系;(2)若A⊇B,求实数a的取值范围.解

(1)若a=-1,则B={x|-5<x<-3}.如图在数轴上标出集合A,B.由图可知,B⫋A.(2)由已知A⊇B.①当B=⌀时,2a-3≥a-2,解得a≥1.显然成立.②当B≠⌀时,2a-3<a-2,解得a<1.由已知A⊇B,如图在数轴上表示出两个集合,又因为a<1,所以实数a的取值范围为{a|-1≤a<1}.综上,实数