2025年线性代数网考试题及答案

2025年线性代数网考试题及答案

一、单项选择题（每题2分，共10题）1.设矩阵\(A\)为\(3\)阶方阵，且\(\vertA\vert=2\)，则\(\vert-2A\vert=(\)\)A.\(-16\)B.\(16\)C.\(-4\)D.\(4\)2.若向量组\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\)线性无关，则下列向量组线性无关的是(\)A.\(\alpha_1+\alpha_2,\alpha_2+\alpha_3,\alpha_3-\alpha_1\)B.\(\alpha_1+\alpha_2,\alpha_2+\alpha_3,\alpha_1+2\alpha_2+\alpha_3\)C.\(\alpha_1,\alpha_1+\alpha_2,\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3\)D.\(\alpha_1-\alpha_2,\alpha_2-\alpha_3,\alpha_3-\alpha_1\)3.设\(A\)为\(n\)阶可逆矩阵，\(A^\)是\(A\)的伴随矩阵，则(\)A.\(\vertA^\vert=\vertA\vert^{n-1}\)B.\(\vertA^\vert=\vertA\vert\)C.\(\vertA^\vert=\vertA\vert^{n}\)D.\(\vertA^\vert=\vertA\vert^{-1}\)4.设\(A\)，\(B\)为\(n\)阶方阵，且\(AB=O\)，则下列结论一定成立的是(\)A.\(A=O\)或\(B=O\)B.\(A+B=O\)C.\(\vertA\vert=0\)或\(\vertB\vert=0\)D.\(\vertA\vert+\vertB\vert=0\)5.已知矩阵\(A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\)，则\(A\)的逆矩阵\(A^{-1}=(\)\)A.\(\begin{pmatrix}-2&1\\\frac{3}{2}&-\frac{1}{2}\end{pmatrix}\)B.\(\begin{pmatrix}4&-2\\-3&1\end{pmatrix}\)C.\(\begin{pmatrix}1&-2\\-3&4\end{pmatrix}\)D.\(\begin{pmatrix}-2&\frac{1}{2}\\3&-\frac{1}{2}\end{pmatrix}\)6.设\(n\)元齐次线性方程组\(Ax=0\)的系数矩阵\(A\)的秩\(r(A)=r\ltn\)，则方程组\(Ax=0\)的基础解系中所含解向量的个数为(\)A.\(r\)B.\(n-r\)C.\(n\)D.\(r-n\)7.设矩阵\(A\)与\(B\)相似，则下列结论错误的是(\)A.\(A\)与\(B\)有相同的特征值B.\(A\)与\(B\)有相同的特征向量C.\(\vertA\vert=\vertB\vert\)D.\(A\)与\(B\)有相同的秩8.二次型\(f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+2x_2^2+3x_3^2+2x_1x_2\)的矩阵为(\)A.\(\begin{pmatrix}1&1&0\\1&2&0\\0&0&3\end{pmatrix}\)B.\(\begin{pmatrix}1&0&1\\0&2&0\\1&0&3\end{pmatrix}\)C.\(\begin{pmatrix}1&1&1\\1&2&0\\1&0&3\end{pmatrix}\)D.\(\begin{pmatrix}1&1&0\\0&2&1\\0&0&3\end{pmatrix}\)9.若\(A\)是正交矩阵，则下列结论错误的是(\)A.\(\vertA\vert=1\)B.\(A^TA=E\)C.\(A\)的列向量组是正交单位向量组D.\(A\)的行向量组是正交单位向量组10.设\(A\)为\(n\)阶方阵，\(\lambda\)是\(A\)的一个特征值，则\(A^2+E\)的一个特征值为(\)A.\(\lambda^2\)B.\(\lambda^2+1\)C.\(\lambda+1\)D.\(\lambda-1\)答案：1.B2.C3.A4.C5.A6.B7.B8.A9.A10.B二、多项选择题（每题2分，共10题）1.下列关于矩阵的运算，正确的有(\)A.\((AB)^T=B^TA^T\)B.\((A+B)^2=A^2+2AB+B^2\)（当\(AB=BA\)时）C.\(k(AB)=(kA)B=A(kB)\)（\(k\)为常数）D.\(A(B+C)=AB+AC\)2.向量组\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m\)线性相关的充分必要条件是(\)A.向量组中至少有一个向量可由其余向量线性表示B.向量组中存在不全为零的数\(k_1,k_2,\cdots,k_m\)，使得\(k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_m\alpha_m=0\)C.向量组的秩小于\(m\)D.向量组中任意一个向量都可由其余向量线性表示3.设\(A\)，\(B\)为\(n\)阶方阵，且\(A\)与\(B\)等价，则(\)A.\(\vertA\vert=\vertB\vert\)B.\(r(A)=r(B)\)C.存在可逆矩阵\(P\)，\(Q\)，使得\(PAQ=B\)D.\(A\)与\(B\)有相同的特征值4.下列关于齐次线性方程组\(Ax=0\)的说法，正确的有(\)A.若\(r(A)=n\)（\(n\)为未知数个数），则方程组只有零解B.若\(r(A)\ltn\)，则方程组有非零解C.方程组的解向量的线性组合还是方程组的解D.方程组的基础解系所含向量个数为\(n-r(A)\)5.设\(A\)为\(n\)阶方阵，\(\lambda\)是\(A\)的特征值，\(\xi\)是对应的特征向量，则(\)A.\(A\xi=\lambda\xi\)B.对于任意非零常数\(k\)，\(k\xi\)也是\(A\)对应于\(\lambda\)的特征向量C.\(\lambda\)满足\(\vert\lambdaE-A\vert=0\)D.若\(\lambda_1,\lambda_2\)是\(A\)不同的特征值，\(\xi_1,\xi_2\)分别是对应的特征向量，则\(\xi_1,\xi_2\)线性无关6.下列矩阵中，是对称矩阵的有(\)A.\(\begin{pmatrix}1&2&3\\2&4&5\\3&5&6\end{pmatrix}\)B.\(\begin{pmatrix}1&0&1\\0&2&0\\1&0&3\end{pmatrix}\)C.\(\begin{pmatrix}1&1&0\\1&2&1\\0&1&3\end{pmatrix}\)D.\(\begin{pmatrix}1&-1&0\\-1&2&0\\0&0&3\end{pmatrix}\)7.设二次型\(f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+x_2^2+x_3^2+2ax_1x_2+2bx_2x_3\)，其矩阵为\(A\)，则(\)A.\(A=\begin{pmatrix}1&a&0\\a&1&b\\0&b&1\end{pmatrix}\)B.二次型的秩等于矩阵\(A\)的秩C.当\(a=b=0\)时，二次型是正定的D.二次型可通过正交变换化为标准形8.关于正交矩阵\(A\)，下列说法正确的是(\)A.\(A^TA=E\)B.\(AA^T=E\)C.\(\vertA\vert=\pm1\)D.\(A\)的列向量两两正交且长度为\(1\)9.设\(A\)，\(B\)为\(n\)阶方阵，且\(AB=BA\)，则(\)A.\(A\)与\(B\)有相同的特征向量B.\(A\)与\(B\)可同时相似对角化（若\(A\)，\(B\)均可相似对角化）C.\((A+B)^2=A^2+2AB+B^2\)D.\(A\)与\(B\)的乘积\(AB\)的特征值是\(A\)的特征值与\(B\)的特征值的乘积10.下列关于矩阵的秩的说法，正确的有(\)A.\(r(A+B)\leqr(A)+r(B)\)B.\(r(AB)\leq\min\{r(A),r(B)\}\)C.若\(A\)可逆，则\(r(AB)=r(B)\)D.若\(B\)可逆，则\(r(AB)=r(A)\)答案：1.ACD2.ABC3.BC4.ABCD5.ACD6.ABD7.ABCD8.ABCD9.BC10.ABCD三、判断题（每题2分，共10题）1.若矩阵\(A\)的行列式\(\vertA\vert=0\)，则\(A\)的行向量组一定线性相关。（）2.两个\(n\)阶方阵\(A\)与\(B\)相似的充要条件是它们有相同的特征多项式。（）3.设\(A\)为\(n\)阶方阵，若\(A^2=A\)，则\(A\)的特征值只能是\(0\)或\(1\)。（）4.若向量组\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\)线性相关，向量组\(\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4\)线性相关，则向量组\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4\)线性相关。（）5.正交矩阵的行列式的值为\(1\)。（）6.二次型\(f(x_1,x_2,\cdots,x_n)\)正定的充要条件是其标准形的系数全为正。（）7.若\(A\)为\(n\)阶方阵，\(r(A)=n-1\)，则\(A\)的伴随矩阵\(A^\)的秩为\(1\)。（）8.设\(A\)，\(B\)为\(n\)阶方阵，且\(AB=O\)，则\(r(A)+r(B)\leqn\)。（）9.矩阵\(A\)的特征向量一定是线性无关的。（）10.若\(A\)是\(n\)阶方阵，\(k\)是常数，则\(\vertkA\vert=k\vertA\vert\)。（）答案：1.√2.×3.√4.√5.×6.√7.√8.√9.×10.×四、简答题（每题5分，共4题）1.简述矩阵可逆的充要条件。答案：\(n\)阶矩阵\(A\)可逆的充要条件有：\(\vertA\vert\neq0\)；\(r(A)=n\)；\(A\)可表示为若干个初等矩阵的乘积；\(Ax=0\)只有零解；\(A\)的行（列）向量组线性无关等。2.如何求向量组的秩？答案：将向量组按列构成矩阵\(A\)，对\(A\)进行初等行变换化为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是向量组的秩。3.简述相似矩阵的性质。答案：相似矩阵有相同的秩、行列式、特征多项式、特征值。若\(A\)与\(B\)相似，\(A\)可逆则\(B\)可逆且\(A^{-1}\)与\(B^{-1}\)相似，还有\(A^k\)与\(B^k\)相似（\(k\)为正整数）。4.如何判断二次型是否正定？答案：可通过二次型矩阵\(A\)的顺序主子式全大于\(0\)来判断；也可看二次型的标准形系数全为正；还可依据二次型矩阵\(A\)的特征值全为正来判定。五、讨论题（每题5分，共4题）1.讨论线性方程组解的情况与系数矩阵、增广矩阵秩的关系。答案：设线性方程组\(Ax=b\)，\(A\)为系数矩阵，\(\overline{A}\)为增广矩阵。若\(r(A)=r(\overline{A})=n\)（\(n\)为未知数个数），有唯一解；若\(r(A)=r(\overline{A})\ltn\)，有无穷多解；若\(r(A)\ltr(\overline{A})\)，无解。2.讨论矩阵的特征值和特征向量在实际中的应用。答案：在物理中用于分析振动、稳定性等；在工程上可处理结构力学