【课件】角的平分线-第1课时角的平分线性质+课件2025-2026学年+人教版八年级数学上册

1.

学会用尺规作图作一个角的平分线，并理解其中的原理.2.

能利用三角形全等证明角的平分线的性质，并利用角的平分线的性质解决简单的数学问题.2025年4月19日，第42届潍坊国际风筝会开幕，天空中飞翔着各式各样的风筝，有中欧班列风筝，有《西游记》里的孙悟空风筝，甚至还有火车风筝.小红想自制一个如图所示的四边形板子风筝来参加风筝节，四边形的长对角线平分四边形的这两个对角，你能帮她做出一个这样的风筝吗？任务一

确定长对角线的位置如图，抽象出几何图形，得到了如图所示的∠AOB，OC是∠AOB的平分线.

接下来我们通过平面图形来探索一下角平分线上的点的特点？总结出角平分线的画法.

长对角线是∠AOB的平分线，可是如何准确地确定角平分线的位置呢？角平分线上的点有什么特点呢？ABOC问题1

点P是OC上任意一点，M、N分别是OA、OB上的点，当OM与ON满足什么关系时，PM=PN？分析：在△OPM与△OPN中，OP=OP，∠POM=∠PON，如果OM=ON，那么△OPM≌△OPN(SAS)，就有PM=PN.当OM=ON时，PM=PN.ABOPMN问题2

如果OM=ON，点P在∠AOB的内部，PM=PN，求证：点P在∠AOB的平分线上.ABOPMN证明：连接OP，在△OPM与△OPN中，OP=OP，OM=ON，PM=PN，△OPM≌△OPN(SSS)，所以∠POM=∠PON，即点P在∠AOB的平分线上.思考1

根据上述探究，你能想到如何作一个角的平分线吗？分析：根据上述结论，可以先在角的两边上分别作出与角的顶点距离相等的两点，再在角的内部作出与这两点距离相等的点，以角的顶点为端点，作过这个点的射线，就能得到角的平分线了.ABO作法：(1)以点O为圆心，适当长为半径作弧，交OA于点M，交OB于点N；ABOCMN(2)分别以点M，N

为圆心，大于

的长为半径作弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C；(3)作射线OC，射线OC即为∠AOB的平分线.以小于的长为半径画弧，则两弧没有交点，无法确定点C的位置.想一想为什么？任务二

确定点M、N的位置根据前面的方法，率先确定了风筝长对角线的位置.在查阅资料后，发现当PM、PN分别与角的两边垂直时，制作出来的风筝就会飞的越高且越稳定.ABOCPMN

接下来我们继续通过对平面图形的探索，解决大家的疑惑.

我们需要提前准备PM、PN对应位置的两根木条，应该准备多长的木条呢？这两根木条之间的长度会有什么关系？ABOCPMN问题3

同学们可以猜想一下，当PM、PN分别与角的两边垂直时，PM与PN有什么关系呢？分析：我们可以画几组垂直于角的两边的线段来观察一下.ABOCM1M2M3N1N2N3P1P2P3如图，OC是∠AOB的平分线，点P1，P2，P3，…在OC上，过点P1，P2，P3，…分别画OA与OB的垂线，垂足分别为M1与N1、M2与N2、M3与N3…分别比较P1M1与P1N1、P2M2与P2N2、P3M3与P3N3……，你有什么发现？可以发现，P1M1=P1N1，P2M2=P2N2，P3M3=P3N3，…ABOCM1M2M3N1N2N3P1P2P3由此我们猜想角的平分线有以下性质:角的平分线上的点到角两边的距离相等.如何证实这个猜想呢？ABOCM1M2M3N1N2N3P1P2P3已知：如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E.求证：PD=PE.分析：如果能证明△OPD≌△OPE，就可以得到PD=PE.由题意可知，△OPD和△OPE具备“角角边”的条件.ABOCDDPABOCEDP证明:∵OC是∠AOB的平分线，∴∠AOC=∠BOC.∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠PDO=∠PEO=90°.在△OPD和△OPE中，

∠AOC=∠BOC，

∠PDO=∠PEO，

OP=OP，∴△OPD≌△OPE(AAS).∴PD=PE.归纳总结一般情况下，要证明一个几何命题时，可以按照类似的步骤进行，即1.明确命题中的已知和求证；2.根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证；3.经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程.易错警示：如图，角平分线上的点到角两边的距离为PD、PE，不是PF、PG.ABOCEDFGP1.(2024青海)如图，OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OB，PD=2，则点P到OA的距离是()A.4

B.3

C.2

D.1C2.如图，在△ABC中，AB=10，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AC，垂足为E，△ABD的面积为15，则DE的长为(

)A.1

B.2

C.3

D.5CCBDAOPCBDEA3.(2024深圳)在如图的三个图形中，根据尺规作图的痕迹，能判断射线AD平分∠BAC的是()A.①②

B.①③

C.②③

D.只有①

BCBDEAF4.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠C=90°，DE⊥AB于点E，点F在AC上，BD=DF，求证：CF=EB.证明：∵AD平分∠BAC，∠C=90°，DE⊥AB，∴