（一模）2025学年第一学期杭州市2026届高三年级教学质量检测 数学试题卷（含答案）

2025学年第一学期杭州市高三年级教学质量检测数学试题卷考生须知：1.本试卷分试题卷和答题卷两部分.满分150分，考试时间120分钟.2.请用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡指定的区域(黑色边框)内作答，超出答题区域的作答无效！3.考试结束，只需上交答题卡.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知i为虚数单位，则2+iA.1+2i B.1-2i C.2-i D.-1+2i2.设集合M=12,NA.{1} B.{1,2} C.{2,3} D.{1,2,3}3.设向量a=(2,x),b=(2+x,2x).若a·(2a-b)=0,则x=()A.2 B.3 C.4 D.54.《算经十书》是中国古代数学典籍的合集.书中记载(用现代文表达)：今有牛、羊、猪各数头(各有至少1头)，已知猪的数量多于羊，羊的数量多于牛，牛的数量的3倍多于猪、羊数量之和，则牛、羊、猪的总头数至少为()A.12 B.15 C.18 D.215.已知函数f(x)(x∈R).若对于任意的等差数列{an}，总有{f(an)}是等差数列，则称函数f(x)具有“保等差性”.函数f(x)可能是()A.f(x)=2x B.fx'=x2 C.f(x)=sinx D.f6.设样本数据x₁,x₂,…,x₂₀₂₅的平均数,中位数,众数和标准差分别为a,b;c,d.当i=12025A.a B.b C.c D.d7.若圆C经过A(1,1),B(2,-2),圆心在直线x-y+1=0上,则圆C的面积为()A.16π B.25π C.36π D.49π高三数试·第1页(共4页)8.设函数fx=x3+3x2+6x+5,若f(aA.2 B.1 C.-1 D.-2二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.在2x+A.常数项为20 B.含x的项的系数为80C.各项系数的和为32 D.各项系数中的最大值为8010.设函数fx=A.fπ3=2 B.C.f(x)的值域是[-1,3] D.f(x)在区间π311.已知函数y=f(n)(n∈N⁺)的函数值等于n的正因数的个数.例如f(1)=1，f(4)=3.则下列选项正确的是()A.f(6)=4B.f(2025)=20C.D.设bn=2三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知随机变量X服从正态分布N(3,σ²).若P(X>4)=0.36,则P(2≤X≤4)=.13.函数fx=f24x14.过点F-22的直线l与圆O:x2+y2,=1相切于点M，与曲线y=-1xx0高三数试·第2页(共4页)四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(本小题13分)已知等差数列{an}满足a(1)求{an}的通项公式;(2)设等比数列{bn}的前n项和为Sn，且bn+1=Sn+2.令c16.(本小题15分)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2sin(A-C)=sinB.(1)若C(i)求tanA;(ii)求b;(2)求tan(A-C)的最大值.17.(本小题15分)已知函数fx=ex+e-x2(1)求|f(2)证明:当x∈(0,+∞)时,,f'(x)>x;(3)设n∈N°,对任意的x₁>1(i=1,2,…,n),若x求证：x18.(本小题17分)已知F(1,0)是椭圆C:x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的右焦点，过F作直线l交椭圆于(1)求椭圆C的标准方程；(2)设P(4,0),(i)求证:∠APF=∠BPF;(ii)设点M在椭圆C上，点N是△FMP的外接圆与椭圆C的另一个交点(异于M)，若MF平分∠AMB,且1∣NA∣+1∣NB高三数试·第3页(共4页)19.(本小题满分17分)现有一款益智棋类游戏，棋盘由全等的正三角形组成(如图所示)，假设棋盘足够大.一颗质地均匀的正方体骰子，六个面分别以1~6标号.在棋盘上，以O为原点建立平面直角坐标系，设点A的坐标为(1，0).棋子初始位置为坐标原点，投掷骰子n次，用.Xn表示第n次投掷后棋子的位置(X₀为坐标原点)其中向量uk=cos2kπ(1)求点X2(2)求投掷骰子8次后棋子在原点的概率；(3)投掷骰子80次，记棋子在原点且投掷过程中掷得奇数的次数恰为r0≤r≤80的概率为p(r)，求p(r)的表达式，并指出当r为何值时，p高三数试·第4页(共4页)2025学年第一学期杭州市高三年级教学质量检测数学参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.12345678BBABDABD二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.BD 10.ABC 11.ACD11.对选项A:6的正因数为1,2,3,6共4个,所以f(6)=4.对选项B：2025=34×52,它的因数形如3i×5j,,其中i∈{0,1,2,3,4},j∈{0,1,2},所以不同的因数有5×3=对选项C:S2025=对选项D:f(2)=2,f(3)=2,f(4)=3,f(5)=2,则≤正确.三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.请把答案填在答题卡的相应位置上.12.0.28 13.2 1414.解：由于曲线y=-1x是等轴双曲线，故点R到焦点F-22,K2-2距离之差为常数因为点O，N分别是FK和FR的中点，故∣而|FN|=|FM|+|MN|,所以|∣四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(1)设等差数列{an}的公差为d,则{a4=所以{an}的通项公式(an=2n(2)设等比数列{bn}的公比是q，由{b2=S1+所以{bn}的通项公式为bn=2". 10分结合(1)知c16.(1)(i)2sin(A-C)=sin(A+C),展开化简得:sinAcosC=3cosAsinC所以tanA=3tanC=3;⋯⋯5分(ii)由tanA=3,知sin所以sin由正弦定理bsinB=csinC,(2)由(i)知tan当且仅当tanC=33时，tan(A-C)取到最大值17所以fx2-(2)设gg所以g(x)在(0,+∞)单调递增,当x>0时,g(x)>g(0)=0,所以,当x∈(0,+∞)时,f'(x)>x成立.⋯⋯10分(3)因为x₁>1,则lnxi>0,所以x原式=i=1218.(1)由题知,AB=2b2a=3,故椭圆C的方程为x24+(2)记A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),由题意知y设直线AB的方程为l:x=my+1,代入椭圆得：3则有y1+设AP与BP的斜率分别为k₁,k₂,则所以∠APF=∠BPF. 12分(3)设T(x₀,y₀)满足∣AMx0-将x1=mx0将(2)中①代入③得:x即x又因为直线AB和直线x=4的交点为R(4，37故满足∣AM∣∣BM∣=因为R,P,F,M,N都在以FR为直径的圆上,故∣AT∣∣BT∣=∣AF∣∣BF∣=则S所以|NA|·|NF|·sin∠ANF+|NB|·|NF|·sin∠BNF=|NA|·|NB|·sin∠ANB,即所以1∣NA∣所以cos∠ANB=119.(1)由题意,点X₂可能的坐标为 4分(2)令向量a=10,b=-1232,c=-12-32,则当k=3m时当k=3m+2时uk=c,其中m∈N,且a+b+c=0.要保证X₈为原点，则在8次投掷过程中，掷得奇数的次数r应为0，3，6.①若r=0，即8次投掷全部为偶数，共1种情况：偶偶偶偶偶偶偶偶；②若r=3，即8次投掷过程中有5次偶数，3次奇数，则共8种情况：奇偶奇偶奇偶偶偶，奇偶奇偶偶偶偶奇，奇偶偶奇偶偶奇偶，奇偶偶偶偶奇偶奇，偶奇偶奇偶奇偶偶，偶奇偶偶奇偶偶奇，偶偶奇偶奇偶奇偶，偶偶偶奇偶奇偶奇；③若r=6，即6次奇数，仅有1种情况：奇奇偶奇奇偶奇奇.故X₈为坐标原点的概率p=1028(3)当r不是3的倍数时,显然有p(r)=0.以下讨论当r是3的倍数的情况.不妨设r=3m，则掷得偶数的次数为80-3m次.记进行加向量a为操作A，加向量b为操作B，加向量c为操作C，不做任何操作记为操作T.定义操作小结：其中x,y,z可以为0.在80次投掷产生的操作过程，可分为若干操作小结