模拟信号数字化课件

模拟信号数字化6.2抽样定理6.2.1低通信号抽样定理

定理：一个频带限制在(0，fH

)Hz内的时间连续信号m(t)，如果以不低于2fH次/秒的速率fs对m(t)进行抽样，则m(t)可由抽得的样值完全确定。要点：1.m(t)是低通信号，其最高频率为fH。2.定理中提到的“抽样”是等间隔的抽样，所以该定理称为均匀抽样定理。3.该定理中“以不低于2fH

次/秒的速率对m(t)进行抽样”也可以说，“在信号最高频率分量的每一个周期内至少应抽样两次”。

6.2.1低通信号抽样定理定理的证明:设δT(t)为周期性冲击函数，其周期为Ts。将m(t)和δT(t)相乘，得到的信号便是均匀间隔为Ts秒的冲击序列，表示对m(t)的抽样。

假设m(t)、δT(t)和ms(t)的频谱分别为M

(ω)、δT(ω)、Ms(ω)。根据卷积定理，时域的乘积等于频域的卷积，可得ms(t)的付氏变换

6.2.1低通信号抽样定理Return因为

所以

6.2.1低通信号抽样定理6.2.1低通信号抽样定理

由图可知：用截止角频率为ωH的理想低通滤波器可从ms(t)的频谱Ms(ω)中滤出原基带信号的频谱M(ω)，即其中即6.2.1低通信号抽样定理所以由上式可知，任何一个带限的连续信号完全可以用其抽样值表示。从而证明了低通抽样定理。但实际中，由于不存在严格的带限信号和理想的低通滤波器，因此实际的抽样频率一般都大于2fH

。

定理：一个频带限制在fL和fH之间的带通信号m(t)，如果以如下的抽样速率进行抽样

那么，m(t)可完全由其抽样值确定。此时频谱空隙最小，且频谱不重叠。式中，B=fH-fL为带通信号的带宽；k=fH/B-n，n是小于fH/B的最大正整数。由此可知，必有0≤k<1。

6.2.2带通信号抽样定理6.3脉冲振幅调制(PAM)

PAM是脉冲载波的振幅随基带信号变化的一种调制方式。如果载波是由冲激脉冲序列组成，则按抽样定理得到的信号ms(t)就是一个PAM信号。需要指出，用冲激脉冲序列进行抽样是一种理想情况，是不可能实现的。即使能实现，由于抽样后信号的频谱为无限宽，对有限带宽的信道而言也无法传输。因此，在实际中通常采用有限宽度的窄脉冲序列近似代替冲激脉冲序列。常见的两种基本抽样形式是自然抽样和平顶抽样。6.3.1自然抽样

设抽样脉冲s(t)为矩形脉冲序列，其脉冲宽度为τ秒、幅度为A、重复周期为Ts秒。那么自然抽样就可通过s(t)与信号m(t)直接相乘来实现。

时域表示式为

频域表示式为

6.3.1自然抽样6.3.2平顶抽样

平顶抽样也称为瞬时抽样，其特点是抽样以后的信号脉冲序列有一定宽度，且具有相同的形状，而不是随信号m(t)变化，它的幅度正比于信号m(t)的瞬时抽样值。

数学模型、时域波形与频域波形如下图所示:

6.3.2平顶抽样6.3.2平顶抽样平顶抽样信号的时域表示式为

频域表示式为6.3.2平顶抽样

为了消除由H(ω)引起的频率失真，可在低通滤波器之前用传输函数为1/H(ω)的网络加以修正，则低通滤波器输入信号的频谱变成

这样低通滤波器便能无失真地恢复出M(ω)。6.4脉冲编码调制(PCM)PCM主要由抽样、量化、编码三个部分组成。PCM系统方框图如下图所示。6.4.1量化1.均匀量化

如果采用相等的量化间隔对抽样得到的信号进行量化，称为均匀量化。其特点是：量化间隔是一个常数，它的大小由输入信号的变化范围和量化电平数决定。当信号的取值范围和量化电平数确定之后，量化间隔也就确定了。

1.均匀量化

量化器是将随机信号m(t)进行抽样后的模拟信号ms(t)=m(kTs)，变换成M个量化电平q1、q2、…、qM之一，即有

当

抽样值和量化值之间存在一定的误差。这种舍零取整造成的误差叫做量化误差，并且把量化误差产生的噪声叫做量化噪声。这种噪声在接收端无论用什么办法也不能消除。在电声系统中量化噪声表现为一些沙沙声；在图像传输中，量化噪声会使连续变化的灰度值出现不连续的情况。1.均匀量化量化误差为

若采用四舍五入的量化方法，则量化误差的范围是：

Δv/2≤eq(t)≤Δv/2。1.均匀量化

下面我们来分析均匀量化时的量化噪声和量化信噪比。

设输入信号m(t)在[a,b]范围内取值，并被划分为M个量化级，量化间隔为Δv，可以得到量化噪声功率为1.均匀量化量化器输出的信号功率为

若已知信号m(t)振幅的概率密度函数，便可计算出量化器输出信噪比Sq/Nq

。

均匀量化的主要缺点是：因为均匀量化的间隔是固定不变的，与输入信号样值的大小无关，于是信号的动态范围受到较大的限制，使小信号时Sq/Nq变小，难以满足信噪比的要求。要改善小信号时的量化信噪比，可采用非均匀量化。2.非均匀量化

实际中，非均匀量化及编码可以采用压缩、均匀量化及编码来实现，接收端则要采用译码、扩张才能恢复信号。下图为非均匀量化的PCM系统框图。2.非均匀量化

为了进一步理解压缩与扩张的原理，请参见下图所示的压缩与扩张特性曲线。2.非均匀量化

世界各国广泛采用的两种对数压缩律是μ压缩律和A压缩律。ITU—T在G.711建议中给出了这两种压缩率的标准，并规定国际间通信一律采用A律。

μ律的数学表达式为A律的数学表达式为2.非均匀量化

CCITT建议采用的有13折线A律(A=87.6)和15折线μ律(μ=255)。15折线μ律(μ=255)主要用于美国、加拿大等国的PCM24路基群中；13折线A律(A=87.6)主要用于英国、法国、德国等欧洲各国的PCM30/32路基群中，我国的PCM30/32路基群也采用A律13折线压缩律。下面对A律13折线法加以说明。

2.非均匀量化下图是A律(A=87.6)13折线压缩特性曲线

2.非均匀量化段落12345678X1/1281/1281/641/321/161/81/41/2y1/81/81/81/81/81/81/81/8y/x161684211/21/4量化间隔(以△计)△△2△4△8△16△32△64△6.4.2编码和译码1.常用的二进制码型样值脉冲极性自然二进码格雷二进码折叠二进码量化值正极性部分11111110110111001011101010011000100010011011101011101111110111001111111011011100101110101001100015141312111098负极性部分011101100101010000110010000100000100010101110110001000110001000000000001001000110100010101100111765432106.4.2编码和译码2.码位数的选择与安排

C7：极性码，表示信号样值的极性。正极性时C7=1，负极性时C7=0。

C6C5C4：段落码，表明信号样值被归入哪一段，并指出8个段落的起点电平。

C3C2C1C0：段内码，代表每一段落中的

16个均匀划分的量化级。6.4.2编码和译码表6.3段落码、段内码及相应电平值的关系段落序号段落码段落起点电平(△)段内码对应电平(△)段内量化级数(△)量化间隔(△)C6C5C4C3C2C1C0100008421161200116842116130103216842322401164321684644510012864321681288610125612864321625616711051225612864325123281111024512256128641024643.逐次比较型编码原理

编码器的任务就是根据输入的样值脉冲变换成相应的8位二进制代码。在这8位代码中，除了第1位作为极性码之外，其余7位二进代码是通过逐次与预先规定好的标准电流(或电压)进行比较而确定的。这些标准电流(或电压)称为权值电流(或电压)，用符号Iw表示。下图为逐次比较型编码器的原理框图。它由抽样保持、整流、极性判决、比较器及本地译码器等组成。

3.逐次比较型编码原理

3.逐次比较型编码原理

IS>

Iw=128△？ (是)C6=1样值在5~8段(否)C6=0样值在1~4段IS>Iw=512△？IS>Iw=32△？(是)C5=1样值在7、8段(否)C5=0样值在5、6段(是)C5=1样值在3、4段(否)C5=0样值在1、2段IS>Iw=1024△？IS>Iw=256△？IS>Iw=64△？IS>Iw=16△？(是)C4=1样值在8段(否)C4=0样值在7段(是)C4=1样值在6段(否)C4=0样值在5段(是)C4=1样值在4段(否)C4=0样值在3段(是)C4=1样值在2段(否)C4=0样值在1段表6-4段落码的编码过程段内码的编码方法与段落码类似，同样可确定C3C2C1C03.逐次比较型编码原理[例6.4.2]设输入信号抽样值为+436△，若进行PCM编码，求所编的8位码。解：(1)确定极性码C7由于+436为正，所以极性码C7=1。(2)确定段落码C6C5C4(参见表6—4)第一次比较，取Iw=128△。因为Is=436△>Iw=128△,故C6=1，样值在5~8段。第二次比较，取Iw=512△。因为Is=436△<Iw=512△,故C5=0，样值在5~6段。第三次比较，取Iw=256△。因为Is=436△>Iw=256△,故C4=1，样值在6段。3.逐次比较型编码原理(3)确定段内码C3C2C1C0(参见表6—3)

段内码是在已确定输入信号所处段落的基础上，用来表示输入样值信号处于该段的哪一量化级上。上面已经确定输入信号处于第6段，该段有16个量化级。由表6.3可知，该段的量化间隔为16△。故C3的标准电流应选为

Iw=段落起点电平+8×(该段量化间隔)=256△+8×16△=384△3.逐次比较型编码原理第四次比较，Is=436△>Iw=384△，故C3=1，说明样值处于第6段的后8级(9-16级)。同理，C2的标准电流应选为

Iw=段落起点电平+12×(该段量化间隔)=256△+12×16△=448△第五次比较，Is=436△<Iw=448△，故C2=0，样值处于第6段的前4级(9~12级)。

C1的标准电流应选为

Iw=段落起点电平+10×(该段量化间隔)=256△+10×16△=416△3.逐次比较型编码原理第六次比较，Is=436△>Iw=416△，故C1=1，说明样值处于第6段的11-12级。C0的标准电流应选为

Iw=段落起点电平+11×(该段量化间隔)=256△+11×16△=432△第七次比较，Is=436△>Iw=432△，故C0=1，说明样值处于第6段的第12级。经过七次比较，最后得到+436的编码为C7C6C5C4C3C2C1C0=11011011，它位于第6段第12量化级。还可计算出436对应的11位线性编码为00110110100。3.逐次比较型编码原理[例6.4.3]设码组的8位编码为01011001，求量化电平为多少？解：C7=0，说明抽样值为负极性。段落码为101，说明在第6段。第6段的段落起点电平为256个量化单位。段内码为1001，段内电平为128+16=144个量化单位，故该8位非线性码所代表的信号抽样量化值为256+144=400个量化单位。6.4.4PCM系统的抗噪声性能

PCM系统存在两种噪声，一种是在量化过程中形成的量化噪声nq(t)；另一种是在传输过程中经信道混入的加性高斯白噪声ne(t)。这样，在接收端低通滤波器的输出中，除了有输出信号m0(t)成分外，还存在上面所述的两种噪声，即

为了衡量PCM系统的抗噪声性能，通常将系统输出端总的信噪比定义为6.4.4PCM系统的抗噪声性能量化噪声的影响求得PCM系统输出端平均信号量化噪声功率比为式中，二进码位数N与量化级数M的关系为M=2N。6.4.4PCM系统的抗噪声性能

加性噪声对PCM系统的影响表现在PCM译码的错误，即造成误码。误差的大小对各码位来说是不均匀的。在一个长为N位的自然编码组中，假定自最低位到最高位的权值分别为20、21、22、…、2i—1、2i、…、2N-1，量化间隔为Δv，则第位码对应的抽样值为2i-1Δv。若第i位码发生了误码，则其误差为±(2i-1Δv)。这样，如果误码发生在最低位，则误差只为一个Δv，而如果误码发生在最高位，则造成的误差最大，为±(2N-1Δv)。

6.4.4PCM系统的抗噪声性能

得到仅考虑信道加性噪声时PCM系统的输出信噪比为

前面已经指出，传输模拟信号的PCM系统的性能用接收端输出的平均信噪比来度量。

上式说明，在误码率较低时，PCM系统输出的信噪比S0/N0主要取决于量化信噪比的大小，而与加性噪声的影响几乎无关。这说明PCM系统抗加性噪声的能力是非常强的。6.5增量调制（△M）系统◆增量调制简称ΔM或DM。是另一种模拟信号数字化的方法；◆在PCM中，用一个码组来表示抽样，码组位数大于1；而ΔM仅使用一位码组来表示抽样；◆ΔM又可以看成DPCM的特例，即量化电平取两个，且预测器是一个延迟为T的延迟线的DPCM系统调制系统；◆由DPCM的一般原理框图简化可以得到增量调制ΔM的原理框图；6.5.1增量调制的基本原理

定义：所谓增量调制就是将信号瞬时值与前一个抽样时刻的量化值之差进行量化，而且只对这个差值的符号进行编码。因此量化只限于正和负两个电平，也就是说用一位码来传输一个抽样值。如果差值为正，则发“1”码；如果差值为负，则发“0”码。显然，数码“1”和“0”只是表示信号相对于前一时刻的增减，而不代表信号值的大小。6.5.1增量调制的基本原理6.5.1增量调制的基本原理6.5.1增量调制的基本原理

如图6-18所示，接收端的译码器由积分器和低通滤波器组成，其中的积分器与编码器中的积分器完全相同。ΔM译码器的工作过程如下：积分器遇到“1”码(即有+E脉冲电压)，就以固定斜率上升一个ΔE，并让ΔE=σ；遇到“0”码(即有-E脉冲电压)，就以固定斜率下降一个ΔE。图6—19表示了积分器的输入与输出波形。由图可以看到，积分器的输出波形并不是阶梯波形，而是一个斜变波形。但因ΔE=σ，故在所有抽样时刻ti上斜变波形与阶梯波形有完全相同的值。因而，斜变波形与原来的模拟信号相似。积分器输出的斜变波经低通滤波器之后就变得十分接近于信号m(t)。

6.5.1增量调制的基本原理6.5.2增量调制系统中量化噪声和过载噪声的影响

1.量化噪声由于ΔM信号是按台阶σ来量化的，因而也必然存在量化误差eq(t)，也就是所谓的量化噪声。量化误差可以表示为

在正常情况下，eq(t)在(-σ,+σ)范围内变化。现假设随时间变化的eq(t)在区间(-σ,+σ)上均匀分布，则eq(t)的一维概率密度fq(e)可表示为6.5.2增量调制系统中量化噪声和过载噪声的影响因而eq(t)的平均功率可表示成6.5.2增量调制系统中量化噪声和过载噪声的影响

需要指出的是，上述的量化噪声功率并不是系统最终输出的量化噪声功率。这是因为eq(t)的最小周期等于抽样周期Ts，即其最高频率为fs。但eq(t)的最大周期可以是任意大，亦即其最低频率可为任意小。所以从频谱角度来看，eq(t)的频谱将从很低的频率一直延伸到fs。为便于分析，我们假设量化误差的功率谱密度Gq(f)在0-fs之间均匀分布，则可得到Gq(f)的表示式为：6.5.2增量调制系统中量化噪声和过载噪声的影响

经截止频率为fm的低通滤波器之后的量化噪声功率为

由此可见，ΔM系统输出的量化噪声功率与量化台阶σ及比值(fm/fs)有关。因此若要想减小Nq，就应减小量化台阶σ和比值(fm/fs)。6.5.2增量调制系统中量化噪声和过载噪声的影响2.过载噪声

在ΔM系统中，还存在一种噪声—斜率过载噪声。它的产生原因与PCM系统不同。在PCM系统中过载是由于输入信号幅度超出量化范围引起的。而在ΔM系统中，过载却是由于译码器输出的斜变波形m΄(t)跟不上输入模拟信号m(t)的变化所引起的(如下图所示)。这是因为在ΔM系统中，量化台阶σ取的是固定值，而每秒中的台阶数为fs=1/Δt(fs实际上就是抽样频率)也是固定值，所以译码器输出信号m΄(t)的斜率K为6.5.2增量调制系统中量化噪声和过载噪声的影响

通过对量化噪声和过载噪声的分析可知，量化台阶σ大，则产生的量化噪声大，σ小，则产生的噪声小；采用大的σ能减小过载噪声，但σ的增大却使得量化噪声增加了。因此，σ值应适当选取。由上述分析可知，要想避免发生过载噪声，必须使信号的最大可能斜率小于斜变波的斜率，即要求6.5.2增量调制系统中量化噪声和过载噪声的影响当输入为单音频信号m(t)=Asinωkt时，有为了不发生过载现象，必须满足

6.5.2增量调制系统中量化噪声和过载噪声的影响

需要特别指出的是，当输入信号m(t)为零，或为某一个固定电平时，ΔM系统的发送端将输出“0”、“1”交替码。从理论上讲，即使输入信号不是直流，只要信号变化范围不超过σ/2，ΔM系统仍输出“0”、“1”交替码，即对于变化非常缓慢的输入信号，ΔM系统的编码输出不会有所反映。我们把这种失真称为空载失真。当输入信号为正弦音频信号时，不出现ΔM空载失真的条件为6.5.2增量调制系统中量化噪声和过载噪声的影响

综上所述，为了不产生过载失真和空载失真，对于正弦音频输入信号而言，应要求其输入信号的幅度满足下列关系6.5.4PCM和ΔM的性能比较1）无误码或误码率极低时二者的性能比较

在相同的信道传输速率下，如果PCM系统的编码位数N小于4，则它的性能比fk=1kHz，fm=3kHz的ΔM系统差；如果N大于4，PCM的性能超过ΔM系统，且随N的进一步增大，其性能越来越好。2）考虑信道误码影响时二者的性能比较

由于在ΔM系统中，一个码元只代表一个量阶，所以一个码元的误码只损失一个增量，这就是说它对误码不太敏感，故对信道误码率的要求较低，一般为10—3~10—4。对于PCM系统而言，误码的影响要严重得多，尤其高位码元，错一位将造成许多量阶的损失，所以对信道误码率的要求较高，一般为10-5---10-6。

6.5.4PCM和ΔM的性能比较3）从设备的复杂程度来比较二者的性能

ΔM系统最突出的优点是设备简单，特别是在单路应用时不需要收发同步设备。但多路应用时，ΔM每路需要一套调制和解调设备，所以路数增多时设备成倍增加。而在PCM系统中，即使是单路应用，为了区分码元在码组中的位置，也需要同步设备。因此单路PCM比ΔM复杂得多。但是PCM多路传输时可共用一套A/D和D/A变换器，故多路PCM比单路PCM增加设备不多。因此，路数多时用PCM合适，路数少时用ΔM较合适。6.5.4PCM和ΔM的性能比较

不过，随着集成电路的发展，ΔM的优点已不再是关键因素。在传输语音信号时，ΔM的话音清晰度和自然度方面都不如PCM。因此目前在通用多路系统中很少用或不用ΔM。ΔM一般用于通信容量小和质量要求不十分高的场合。6.6几种改进型增量调制6.6.1总和增量调制(Δ-∑M)