专题15平行四边形中的最值问题8个解题思路(原卷版+解析)

专题15平行四边形中的最值问题8个解题思路（原卷版）专题解读：平行四边形中的最值问题是八年级下册的压轴题，也是中考最常考的题型。本专题精心选择了最新最好的最值问题，并为孩子们提供了8个解题思路，可以有效地突破这个难点，欢迎下载使用。思路一一个动点，求两条线段的和，作一个对称点1．（2023春•蔡甸区期中）如图，点E是线段BC上的一个动点，AB+DC=22，BC=4，且∠B＝∠C＝135°，则AE+DE的最小值是2．（2022春•永昌县期中）如图所示，四边形OABC为正方形，边长为6，点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，点D在OA上，且D的坐标为（2，0），P是OB上的一动点，试求PD+PA和的最小值是（）A．6 B．10 C．210 D．4103．（2023春•盐都区期中）如图，正方形ABCD的面积为9，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为（）A．8 B．2 C．3 D．4思路二两个动点，求几条线段的和，作两个对称点4．如图，∠AOB＝30°，点M、N分别在边OA、OB上，且OM＝3，ON＝5，点P、Q分别在边OB、OA上，则MP+PQ+QN的最小值是．5．（2023•苍溪县一模）如图，已知正方形ABCD边长为3，点E在AB边上且BE＝1，点P，Q分别是边BC，CD的动点（均不与顶点重合），当四边形AEPQ的周长取最小值时，四边形AEPQ的面积是（）A．34 B．92 C．45思路三两个动点，求两条线段的和，作一个对称点，结合垂线段最短6．（2023春•厦门期中）如图，在▱ABCD中，AB＝2，BC＝4，∠D＝60°，点P、Q分别是AC和BC上的动点，在点P和点Q运动的过程中，PB+PQ的最小值为（）A．4 B．3 C．23 D．43思路四两个动点，主从联动，找动点轨迹，根据垂线段最短7．（2023秋•长沙期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（1，0），点C是y轴上的动点，线段CA绕着点C逆时针旋转90°至线段CB，连接BO，则BO的最小值是．8．（2022春•靖江市期末）如图，线段AB的长为10，点D在AB上，△ACD是边长为3的等边三角形，过点D作与CD垂直的射线DP，过DP上一动点G（不与D重合）作矩形CDGH，记矩形CDGH的对角线交点为O，连接OB，则线段BO的最小值为．9．（2022春•香洲区期中）如图，正方形ABCD中，AB＝4，动点E在BC边上，以AE为直角边向上作正方形AEFG，连接DF，则E在运动过程中DF最小值为（）A．2 B．22 C．32 10．（2023•天山区三模）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝33，点P在线段BC上运动（含B、C两点），连接AP，以点A为中心，将线段AP逆时针旋转60°到AQ，连接DQ，则线段DQ的最小值为．思路五两个动点，求一条线段的最小值，利用等量代换，根据垂线段最短11．（2023•新野县一模）如图，在菱形ABCD中，∠B＝45°，E、F分别是边CD，BC上的动点，连接AE、EF，G、H分别为AE、EF的中点，连接GH．若GH的最小值为3，则BC的长为．12．（2023•雅安）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝6，P为边AB上一动点，作PD⊥BC于点D，PE⊥AC于点E，则DE的最小值为．13．（2022秋•惠济区期末）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝4，AC＝5，点D在BC上，以AC为对角线的所有平行四边形ADCE中，DE的最小值是（）A．3 B．6 C．8 D．1014．（2022春•公安县期末）如图，正方形ABCD的边长为2，E为对角线AC上一动点，∠EDP＝90°，DE＝DP，当点E从点A运动到点C的过程中，△EPC的周长的最小值为（）A．22+2 B．42 C．3215．（2021•雁塔区模拟）如图，在△ABC中，AB＝2，∠ABC＝60°，∠ACB＝45°，D是BC的中点，直线l经过点D，AE⊥l，BF⊥l，垂足分别为E，F，则AE+BF的最大值为．16．（2023春•上蔡县期末）如图，在正方形ABCD中，点E在对角线AC上，点F在射线BC上，且四边形DEFG是正方形，连接CG．（1）求证：AE＝CG．（2）∠ACG＝；（3）若AB＝22，当点E在AC上移动时，AE2+CE2是否有最小值？若有最小值，求出最小值．

17．（2022•市北区二模）如图，已知AB＝22，C为线段AB上的一个动点，分别以AC，CB为边在AB的同侧作菱形ACED和菱形CBGF，点C，E，F在一条直线上，∠D＝120°．P、Q分别是对角线AE，BF的中点，当点C在线段AB上移动时，点P，Q之间的距离最短为（结果保留根号）．思路六构造全等，利用三边关系求最值18．（2023•陵城区一模）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝4，E，F分别是边BC和对角线BD上的动点，且BE＝DF，则AE+AF的最小值为．19．（2021•滨州）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，AB＝2．若点P是△ABC内一点，则PA+PB+PC的最小值为．思路七胡不归问题转化为将军饮马问题20．（2021•罗湖区模拟）如图，▱ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝6，BC＝2，P为边CD上的一动点，则PB+32A．3 B．3 C．33 D．2+23

思路八造桥选址模型（将军遛马）转化为将军饮马模型21．（2023春•凤阳县期末）如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝2，G是AD的中点，线段EF在边AB上左右滑动，若EF＝1，则GE+CF的最小值为（）A．4 B．5 C．32 D．专题15平行四边形中的最值问题8个解题思路（解析版）专题解读：平行四边形中的最值问题是八年级下册的压轴题，也是中考最常考的题型。本专题精心选择了最新最好的最值问题，并为孩子们提供了8个解题思路，可以有效地突破这个难点，欢迎下载使用。思路一一个动点，求两条线段的和，作一个对称点1．（2023春•蔡甸区期中）如图，点E是线段BC上的一个动点，AB+DC=22，BC=4，且∠B＝∠C＝135°，则AE+DE的最小值是210【分析】作点A关于线段BC的对称点F，连接BF，DF，DF交BC于点O，连接AO，过点F作FH∥BC，交DC的延长线于点H，过点D作DG⊥HF，交FH的延长线于点G，由题意易得∠FBC＝∠DCB＝135°，则有BF∥CH，然后可得四边形BFHC是平行四边形，进而可得FH＝4，推出DH=22，勾股定理求出FD【解答】解：作点A关于线段BC的对称点F，连接BF，DF，DF交BC于点O，连接AO，过点F作FH∥BC，交DC的延长线于点H，过点D作DG⊥HF，交FH的延长线于点G，如图所示：由轴对称的性质可知：∠ABC＝∠FBC＝135°＝∠DCB，AO＝FO，AB＝BF，∴BF∥CH，∵FH∥BC，∴四边形BFHC是平行四边形，∴FH＝BC＝4，BF＝CH＝AB，∵AB+DC=22∴CH+CD=DH=22当点E与点O重合时，则AE+DE的最小值即为FD的长，∵FH∥BC，∴∠FHC＝∠DCB＝135°，∴∠DHG＝45°，∵DG⊥HF，∴∠DGH＝90°，∴∠HDG＝45°＝∠DHG，∴GH＝GD，∴DH=G∴GH=DG=2∴FG＝FH+GH＝6，∴FD=F∴即AE+DE的最小值为210故答案为：210【点评】本题主要考查轴对称的性质、平行四边形的性质与判定、勾股定理及等腰三角形的判定和性质，熟练掌握轴对称的性质，是解题的关键．2．（2022春•永昌县校级期中）如图所示，四边形OABC为正方形，边长为6，点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，点D在OA上，且D的坐标为（2，0），P是OB上的一动点，试求PD+PA和的最小值是（）A．6 B．10 C．210 D．410【分析】由正方形的性质可得，点A，C关于OB对称，连接CD，交OB于点Q，连接AQ，则当点P与点Q重合时，PD+PA最小，最小值即为CD的长，再利用勾股定理可得答案．【解答】解：∵四边形OABC为正方形，∴点A，C关于OB对称，连接CD，交OB于点Q，连接AQ，当点P与点Q重合时，PD+PA最小，最小值为QD+QA＝QD+QC＝CD，∵D的坐标为（2，0），∴OD＝2，∵正方形OABC的边长为6，∴OC＝6，∴CD=6故选：C．【点评】本题考查轴对称﹣最短路线问题、正方形的性质、坐标与图形性质，熟练掌握轴对称的性质、正方形的性质是解答本题的关键．3．（2023春•盐都区期中）如图，正方形ABCD的面积为9，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为（）A．8 B．2 C．3 D．4【分析】作点E关于AC的对称点E'，连接DE'，则PD+PE的和最小即为DE'的长；证明△ADE'是等边三角形，即可求解；【解答】解：作点E关于AC的对称点E'，连接DE'，则PD+PE的和最小即为DE'的长；由对称性可知：AE＝AE'，∵△ABE是等边三角形，∴AE'＝AD，∵∠EAB＝60°，∠CAB＝45°，∴∠EAE'＝30°，∠DAE＝30°，∴△ADE'是等边三角形，∵正方形ABCD的面积为9，∴AD＝3，∴DE'＝3，故选：C．【点评】本题考查正方形的性质，最短距离；掌握正方形和等边三角形的性质，利用对称性求最短距离是解题的关键．思路二两个动点，求几条线段的和，作两个对称点4．如图，∠AOB＝30°，点M、N分别在边OA、OB上，且OM＝3，ON＝5，点P、Q分别在边OB、OA上，则MP+PQ+QN的最小值是34．【分析】作M关于OB的对称点M′，作N关于OA的对称点N′，连接M′N′，即为MP+PQ+QN的最小值；证出△ONN′为等边三角形，△OMM′为等边三角形，得出∠N′OM′＝90°，由勾股定理求出M′N′即可．【解答】解：作M关于OB的对称点M′，作N关于OA的对称点N′，如图所示：连接M′N′，即为MP+PQ+QN的最小值．根据轴对称的定义可知：∠N′OQ＝∠M′OB＝30°，∠ONN′＝60°，∴△ONN′为等边三角形，△OMM′为等边三角形，∴∠N′OM′＝90°，OM′＝OM＝3，ON′＝ON＝5，在Rt△M′ON′中，M′N′=5故答案为：34．【点评】本题考查了轴对称﹣最短路径问题，根据轴对称的定义，找到相等的线段，得到等边三角形是解题的关键．5．（2023•苍溪县一模）如图，已知正方形ABCD边长为3，点E在AB边上且BE＝1，点P，Q分别是边BC，CD的动点（均不与顶点重合），当四边形AEPQ的周长取最小值时，四边形AEPQ的面积是（）A．34 B．92 C．45【分析】作E关于BC的对称点E'，点A关于DC的对称点A'，连接A'E'，四边形AEPQ的周长最小，根据S四边形AEPQ＝S正方形ABCD﹣S△ADQ﹣S△PCQ﹣S△BEP，即可解．【解答】解：如图1所示，作E关于BC的对称点E'，点A关于DC的对称点A'，连接A'E'，四边形AEPQ的周长最小，∵AD＝A′D＝3，BE＝BE'＝1，∴AA′＝6，AE′＝4．∵DQ∥AE，D是AA'的中点，∴DQ是△AA'E'的中位线，∴DQ=12AE′=2，CQ＝DC∵BP∥AE′，∴△BE′P∽△AE′A′，∴BPAA′=BE′∴BP=32，S四边形AEPQ＝S正方形ABCD﹣S△ADQ﹣S△PCQ﹣S△BEP＝9−12AD•DQ−12CQ•CP=9−1=9故选：B．【点评】本题主要考查了正方形的性质，轴对称的性质，三角形相似的判定和性质，中位线的性质，三角形面积的计算，解题的关键是作出辅助线，找出四边形AEPQ的周长最小时，P、Q的位置．思路三两个动点，求两条线段的和，作一个对称点，结合垂线段最短6．（2023春•厦门期中）如图，在▱ABCD中，AB＝2，BC＝4，∠D＝60°，点P、Q分别是AC和BC上的动点，在点P和点Q运动的过程中，PB+PQ的最小值为（）A．4 B．3 C．23 D．43【分析】取BC的中点G，连接AG．首先证明∠BAC＝90°，作点B关于AC的对称点F，连接CF，作FE⊥BC于E，则FE的长即为PB+PQ的最小值，【解答】解：取BC的中点G，连接AG．∵AB＝BG＝2，∠ABG＝∠D＝60°，∴△ABG是等边三角形，∴AG＝GC＝2，∠AGB＝∠BAG＝60°，∴∠GAC＝∠GCA＝30°，∴∠BAC＝90°，作点B关于AC的对称点F，连接CF，作FE⊥BC于E，∵CF＝CB，∠CBF＝60°，∴△BCF是等边三角形，∵PB＝PF，∴PB+PQ＝FP+PQ≤FE，则EF的长即为PB+PQ的最小值（垂线段最短），∵EF=32×∴BP+PQ的最小值为23．故选：C．【点评】本题考查轴对称﹣最短问题、等边三角形的判定和性质、垂线段最短等知识，解题的关键是学会利用对称，根据垂线段最短解决最值问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．思路四两个动点，主从联动，找动点轨迹，根据垂线段最短7．（2023秋•长沙期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（1，0），点C是y轴上的动点，线段CA绕着点C逆时针旋转90°至线段CB，连接BO，则BO的最小值是22【分析】设C（0，m），过点B作BH⊥y轴，垂足为点H，证明△AOC≌△CHB（AAS），推出HC＝OA，HB＝OC，可得点B的坐标为（m，m+1），推出点B的运动轨迹是直线y＝x+1，根据垂线段最短解决问题即可．【解答】解：设C（0，m），过点B作BH⊥y轴，垂足为点H，∴∠BHC＝90°，∴∠HCB+∠B＝90°，∵线段CA绕着点C按逆时针方向旋转90°至线段CB，∴∠BAC＝90°，CB＝CA，∴∠HCB+∠ACO＝90°，∴∠B＝∠ACO，∵∠AOC＝90°，∴△AOC≌△CHB（AAS），∴HC＝OA，HB＝OC，∵点C（0，m），点A（1，0），∴点B的坐标为（m，m+1），∴点B的运动轨迹是直线y＝x+1，∵直线y＝x+1交x轴于E（﹣1，0），交y轴于F（0，1），∴OE＝OF＝1，EF=2过点O作OT⊥EF于T．则OT=12EF根据垂线段最短可知，当点B与点T重合时，OB的值最小，最小值为22故答案为：22【点评】本题考查坐标与图形变化﹣旋转，全等三角形的判定和性质，垂线段最短等知识，解题的关键是正确寻找点B的运动轨迹，属于中考常考题型．8．（2022春•靖江市校级期末）如图，线段AB的长为10，点D在AB上，△ACD是边长为3的等边三角形，过点D作与CD垂直的射线DP，过DP上一动点G（不与D重合）作矩形CDGH，记矩形CDGH的对角线交点为O，连接OB，则线段BO的最小值为5．【分析】连接AO，根据矩形对角线相等且互相平分得：OC＝OD，再证明△ACO≌△ADO，则∠OAB＝30°；点O一定在∠CAB的平分线上运动，根据垂线段最短得：当OB⊥AO时，OB的长最小，根据直角三角形30°角所对的直角边是斜边的一半得出结论．【解答】解：连接AO，∵四边形CDGH是矩形，∴CG＝DH，OC=12CG，OD=∴OC＝OD，∵△ACD是等边三角形，∴AC＝AD，∠CAD＝60°，在△ACO和△ADO中，AC=ADAO=AO∴△ACO≌△ADO（SSS），∴∠OAB＝∠CAO＝30°，∴点O一定在∠CAB的平分线上运动，∴当OB⊥AO时，OB的长度最小，∵∠OAB＝30°，∠AOB＝90°，∴OB=12AB即OB的最小值为5．故答案为：5．【点评】本题考查了矩形的性质、全等三角形的性质和判定、含30°角的直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，利用了矩形对角线相等且平分的性质得对角线的一半相等，为三角形全等用铺垫；另外还利用了垂线段最短解决了求最值问题．9．（2022春•香洲区校级期中）如图，正方形ABCD中，AB＝4，动点E在BC边上，以AE为直角边向上作正方形AEFG，连接DF，则E在运动过程中DF最小值为（）A．2 B．22 C．32 【分析】过点F作FH⊥BC，交BC的延长线于点H，根据题意，首先证出△ABE≌△EHF，得到FH﹣BE，EH＝AB＝BC，进而证出△CHF为等腰直角三角形，得到∠FCH=45°=12∠DCH，当E在BC上移动时，F点在∠DCH的角平分线上移动，当DF⊥CF时，DF最短．再证得△DFC为等腰直角三角形，解这个直角三角形得DC2＝2DF2【解答】解：过点F作FH⊥BC，交BC的延长线于点H，∵四边形ABCD是正方形，∴∠B＝∠BCD＝90°，∴∠AEB+∠EAB＝90°，∵四边形AEFG是正方形，∴∠AEF＝90°，AE＝EF，∵∠AEB+∠AEF+∠FEH＝180°，∴∠AEB+∠FEH＝90°，∴∠EAB＝∠FEH，∵FH⊥BC，∴∠FHE＝∠B＝90°，∴△ABE≌△EHF（AAS），∴FH＝BE，EH＝AB＝BC，∴EH﹣CE＝BC﹣CE，∴CH＝BE，∴△CHF为等腰直角三角形，∴∠FCH＝45°，∵∠DCH＝90°，∴∠FCH=45°=1∴当E在BC上移动时，F点在∠DCH的角平分线上移动，∴当DF⊥CF时，DF最短，∵∠DCF＝45°，∴△DFC为等腰直角三角形，∴DF＝FC，∴DF2+FC2＝DC2，∴DC2＝2DF2，∵AB＝4，AB＝DC，∴DF=2故选：B．【点评】本题主要考查的是线段的最小值的问题，正方形的性质，全等三角形的性质与判定，解直角三角形，熟练掌握各种图形的性质与判定，确定点的运动轨迹是解本题的关键．10．（2023•天山区校级三模）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝33，点P在线段BC上运动（含B、C两点），连接AP，以点A为中心，将线段AP逆时针旋转60°到AQ，连接DQ，则线段DQ的最小值为32【分析】如图，以AB为边向右作等边△ABF，作射线FQ交AD于点E，过点D作DH⊥QE于H．利用全等三角形的性质证明∠AFQ＝90°，推出∠AEF＝60°，推出点Q在射线FE上运动，求出DH，可得结论．【解答】解：如图，以AB为边向右作等边△ABF，作射线FQ交AD于点E，过点D作DH⊥QE于H．∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABP＝∠BAD＝90°，∵△ABF，△APQ都是等边三角形，∴∠BAF＝∠PAQ＝60°，BA＝FA，PA＝QA，∴∠BAP＝∠FAQ，在△BAP和△FAQ中，BA=FA∠BAP=∠FAQ∴△BAP≌△FAQ（SAS），∴∠ABP＝∠AFQ＝90°，∵∠FAE＝90°﹣60°＝30°，∴∠AEF＝90°﹣30°＝60°，又∵AB＝AF＝3，∴AF=3EF，AE＝2EF∴EF=3，AE＝23∴点Q在射线FE上运动，∵AD＝BC＝33，∴DE＝AD﹣AE=3∵DH⊥EF，∠DEH＝∠AEF＝60°，∴EH=12DE=32，DH根据垂线段最短可知，当点Q与H重合时，DQ的值最小，最小值为32故答案为：32【点评】本题考查矩形的性质，旋转变换，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，本题的突破点是证明点Q的在射线FE上运动，属于中考填空题中的压轴题．思路五两个动点，求一条线段的最小值，利用等量代换，根据垂线段最短11．（2023•新野县一模）如图，在菱形ABCD中，∠B＝45°，E、F分别是边CD，BC上的动点，连接AE、EF，G、H分别为AE、EF的中点，连接GH．若GH的最小值为3，则BC的长为62【分析】连接AF，利用中位线的性质GH=12AF，要使GH最小，只要AF最小，当AF⊥BC时，AF最小为6，由∠B＝45°确定△ABF为等腰直角三角形，得出AF＝BF＝6，由勾股定理得：AB2＝BF2+AF2【解答】解：连接AF，∵G，H分别为AE，EF的中点，∴GH∥AF，且GH=1要使GH最小，只要AF最小，当AF⊥BC时，AF最小，∵GH的最小值为3，∴AF＝6，∵∠B＝45°，∴∠BAF＝45°，∴BF＝AF＝6，∴AB=A∵四边形ABCD是菱形，∴BC=AB=62故答案为：62【点评】本题考查动点图形中的中位线，菱形的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理应用问题，掌握中位线的性质，菱形性质，等腰直角三角形的性质是解题关键．12．（2023•雅安）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝6，P为边AB上一动点，作PD⊥BC于点D，PE⊥AC于点E，则DE的最小值为32．【分析】连接CP，由勾股定理求出AB的长，再证四边形CDPE是矩形，得DE＝CP，然后由等腰直角三角形的性质求出CP的长，即可得出结论．【解答】解：如图，连接CP，∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝6，AB=AC2∵PD⊥BC，PE⊥AC，∴∠PDC＝∠PEC＝90°，∴四边形CDPE是矩形，∴DE＝CP，由垂线段最短可得，当CP⊥AB时，线段DE的值最小，此时，AP＝BP，∴CP=12AB＝3∴DE的最小值为32，故答案为：32．【点评】本题考查了矩形的判定与性质、勾股定理、垂线段最短以及等腰直角三角形的性质等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．13．（2022秋•惠济区校级期末）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝4，AC＝5，点D在BC上，以AC为对角线的所有平行四边形ADCE中，DE的最小值是（）A．3 B．6 C．8 D．10【分析】平行四边形ADCE的对角线的交点是AC的中点O，当OD⊥BC时，OD最小，即DE最小，根据三角形中位线定理即可求解．【解答】解：平行四边形ADCE的对角线的交点是AC的中点O，当OD⊥BC时，OD最小，即DE最小．∵OD⊥BC，BC⊥AB，∴OD∥AB，∵∠B＝90°，BC＝4，AC＝5，∴AB=A又∵OC＝OA，∴CD＝DB，∴OD是△ABC的中位线，∴OD=12∴DE＝2OD＝3．故选：A．【点评】此题考查的是三角形中位线的性质，即三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半，正确理解DE最小的条件是关键．14．（2022春•公安县期末）如图，正方形ABCD的边长为2，E为对角线AC上一动点，∠EDP＝90°，DE＝DP，当点E从点A运动到点C的过程中，△EPC的周长的最小值为（）A．22+2 B．42 C．32【分析】先证得△ADE≌△CDP（SAS），得出AE＝CP，E为的对角线AC上一动点，点E从点A运动到点C的过程中，当DE⊥AC时，△EPC的周长有最小值，由等腰直角三角形性质可得DE的最小值为2，即可求得答案．【解答】解：∵正方形ABCD的边长为2，∴AD＝CD＝2，∠ADC＝∠ADE+∠EDC＝90°，∴AC=AD2∵△DEP中，∠EDP＝∠CDP+∠EDC＝90°，DE＝DP，∴∠ADE＝∠CDP，在△ADE和△CDP中，AD=CD∠ADE=∠CDP∴△ADE≌△CDP（SAS），∴AE＝CP，∴CE+CP＝CE+AE＝AC∵E为的对角线AC上一动点，点E从点A运动到点C的过程中，当DE⊥AC时，△EPC的周长有最小值，又∵AD＝CD＝2，∠ADC＝90°，∴DE=12AC=2=又∵△DEP中，∠EDP＝90°，DE＝DP，∴EP=D∴△EPC的周长的最小值＝EP+CE+CP＝EP+AE+CE＝2+AC＝2+22．故选：A．【点评】此题考查正方形的性质：四条边都相等，四个角都是直角以及正方形的对称性质，还考查了勾股定理的计算．依据点到直线的距离垂线段最短，可得当DE⊥AC时，DE最小，即△CEP的周长最小，这是解题的关键．15．（2021•雁塔区校级模拟）如图，在△ABC中，AB＝2，∠ABC＝60°，∠ACB＝45°，D是BC的中点，直线l经过点D，AE⊥l，BF⊥l，垂足分别为E，F，则AE+BF的最大值为6．【分析】过点C作CK⊥l于点K，过点A作AH⊥BC于点H，延长AE，过点C作CN⊥AE于点N，证明BF＝CK，则AE+BF＝AE+CK＝AE+EN＝AN，然后再根据垂线段最短来进行计算即可．【解答】解：如图，过点C作CK⊥l于点K，过点A作AH⊥BC于点H，在Rt△AHB中，∵∠ABC＝60°，AB＝2，∴BH＝1，AH=3在Rt△AHC中，∠ACB＝45°，∴AH＝CH=3∴AC=A∵点D为BC中点，∴BD＝CD，在△BFD与△CKD中，∠BFD=∠CKD=90°∠BDF=∠CDK∴△BFD≌△CKD（AAS），∴BF＝CK，延长AE，过点C作CN⊥AE于点N，可得AE+BF＝AE+CK＝AE+EN＝AN，在Rt△ACN中，AN＜AC，当直线l⊥AC时，最大值为6，综上所述，AE+BF的最大值为6，故答案为：6．【点评】本题主要考查了全等三角形的判定定理和性质定理及平移的性质，构建全等三角形是解答此题的关键．16．（2023春•上蔡县期末）如图，在正方形ABCD中，点E在对角线AC上，点F在射线BC上，且四边形DEFG是正方形，连接CG．（1）求证：AE＝CG．（2）∠ACG＝90°；（3）若AB＝22，当点E在AC上移动时，AE2+CE2是否有最小值？若有最小值，求出最小值．【分析】（1）根据正方形的性质得出DA＝DC，DE＝DG，∠ADC＝∠EDG＝90°，进而得出∠ADE＝∠CDG，判断出△ADE≌△CDG，即可得出结论；（2）先求出∠DAC＝∠DCA＝45°，再判断出∠DAE＝∠DCG，即可求出答案；（3）先得出CG2+CE2＝EG2，进而得出EG2＝AE2+CE2，即可判断出AE2+CE2＝2DE2，进而得出当DE⊥AC时，DE最小，此时，AE2+CE2最小，最后根据勾股定理即可求出答案．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD和四边形DEFG是正方形，∴DA＝DC，DE＝DG，∠ADC＝∠EDG＝90°，∴∠ADE＝∠CDG，∴△ADE≌△CDG（SAS），∴AE＝CG；（2）解：∵AC是正方形ABCD的对角线，∴∠DAC＝∠DCA＝45°，由（1）知，△ADE≌△CDG，∴∠DAE＝∠DCG，∴∠ACG＝∠ACD+∠DCG＝∠ACD+∠DAE＝45°+45°＝90°，故答案为：90°；（3）解：如图，连接EG，由（2）知，∠ACG＝90°，根据勾股定理得，CG2+CE2＝EG2，由（1）知，AE＝CG，∴EG2＝AE2+CE2，∵四边形DEFG是正方形，∴DE＝DG，∠EDG＝90°，∴EG2＝2DE2，∴AE2+CE2＝2DE2，∵点E是正方形ABCD的对角线上的点，∴当DE⊥AC时，DE最小，此时，AE2+CE2最小，如图2，在Rt△ABC中，BC＝AB＝22，根据勾股定理得，AC＝4，在Rt△ADC中，DE=12∴AE2+CE2的最小值为2DE2＝2×22＝8．【点评】此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，判断出DE⊥AC时，AE2+DE2最小是解（3）的关键．17．（2022•市北区校级二模）如图，已知AB＝22，C为线段AB上的一个动点，分别以AC，CB为边在AB的同侧作菱形ACED和菱形CBGF，点C，E，F在一条直线上，∠D＝120°．P、Q分别是对角线AE，BF的中点，当点C在线段AB上移动时，点P，Q之间的距离最短为62【分析】连接QC、PC．首先证明∠PCQ＝90°，设AC＝2a，则BC＝22−2a，PC＝a，CQ=3（【解答】解：连接PC、CQ．∵四边形ACED，四边形CBGF是菱形，∠D＝120°，∴∠ACE＝120°，∠FCB＝60°，∵P，Q分别是对角线AE，BF的中点，∴∠ECP=12∠ACE，∠FCQ=1∴∠PCQ＝90°，设AC＝2a，则BC＝22−2a，PC＝a，CQ=32BC=∴PQ=P∴当a=324时，点P，Q解法二：连接CD、CG、DG，构造中位线解决，当DG与AD或BG垂直时，取最值．故答案为：62【点评】本题考查菱形的性质、勾股定理、二次函数的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构建二次函数解决最值问题．思路六构造全等，利用三边关系求最值18．（2023•陵城区校级一模）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝4，E，F分别是边BC和对角线BD上的动点，且BE＝DF，则AE+AF的最小值为42【分析】如图，BC的下方作∠CBT＝30°，截取BT，使得BT＝AD，连接ET，AT．证明△ADF≌△TBE（SAS），推出AF＝ET，AE+AF＝AE+ET，根据AE+ET≥AT求解即可．【解答】解：如图，BC的下方作∠CBT＝30°，截取BT，使得BT＝AD，连接ET，AT．∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，∴∠ADC＝∠ABC＝60°，∠ADF=12∠∵AD＝BT，∠ADF＝∠TBE＝30°，DF＝BE，∴△ADF≌△TBE（SAS），∴AF＝ET，∵∠ABT＝∠ABC+∠CBT＝60°+30°＝90°，AB＝AD＝BT＝2，∴AT=A∴AE+AF＝AE+ET，∵AE+ET≥AT，∴AE+AF≥42∴AE+AF的最小值为42故答案为42【点评】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定和性质，两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题．19．（2021•滨州）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，AB＝2．若点P是△ABC内一点，则PA+PB+PC的最小值为7．【分析】根据题意，首先以点A为旋转中心，顺时针旋转△APB到△AP′B′，旋转角是60°，作出图形，然后根据旋转的性质和全等三角形的