12.2三角形全等的判定(二)(ASA、AAS、HL)(原卷版+解析)

八年级上册数学《第十二章全等三角形》12.2三角形全等的判定（二）“ASA”、“AAS”与“HL”知识点一知识点一全等三角形的判定方法◆利用“SSS”判定两个三角形全等文字语言：三边分别相等的两个三角形全等，简写为“边边边”或“SSS”.几何语言：在△ABC和△DEF中，AB=DE∴△ABC≌△DEF(SSS).◆利用“SAS”判定两个三角形全等1、文字语言：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS”.2、几何语言：在△ABC和△DEF中，AB=DE∴△ABC≌△DEF(SSS).3、方法：（1）已知两边，可以找“夹角”；（2）已知一角和这角的一夹边，可找这角的另一夹边【注意】1.有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等.2.说明两三角形全等所需的条件应按对应边的顺序书写.3.结论中所出现的边必须在所证明的两个三角形中.题型一全等三角形判定的条件题型一全等三角形判定的条件【例题1】（2023春•台江区校级期末）根据下列条件，不能画出唯一确定的△ABC的是（）A．AB＝3，BC＝4，AC＝6 B．AB＝4，∠B＝45°，∠A＝60° C．AB＝4，BC＝3，∠A＝30° D．∠C＝90°，AB＝8，AC＝4解题技巧提炼判断三角形全等的条件时，注意两边与其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等.解题时要根据已知条件的情况来考虑，对于非特殊的三角形，只具备SSA时一般是不能判定三角形全等的．【变式1-1】（2023春•项城市校级月考）如图，∠C＝∠D＝90°，添加一个条件，可使用“HL”判定Rt△ABC与Rt△ABD全等．以下给出的条件适合的是（）A．AC＝AD B．AC＝BC C．∠ABC＝∠ABD D．AD＝BD【变式1-2】（2023春•泉州期末）如图，AB＝AC，若要使△ABE≌△ACD，则添加的一个条件不能是（）A．∠B＝∠C B．BE＝CD C．BD＝CE D．∠ADC＝∠AEB【变式1-3】（2023春•黄浦区期末）如图，点P是AB上任一点，∠ABC＝∠ABD，从下列各条件中补充一个条件，不一定能推出△APC≌△APD的是（）A．BC＝BD B．∠ACB＝∠ADB C．AC＝AD D．∠CAB＝∠DAB【变式1-4】（2023春•闵行区期末）已知：如图，点A、D、B、E在同一直线上，且AC∥DF，AD＝BE，增加下列条件不能推导出△ABC≌△DEF的是（）A．BC＝EF B．BC∥EF C．AC＝DF D．∠C＝∠F【变式1-5】（2023春•新都区期末）如图，已知CA＝CD，∠1＝∠2，在不加辅助线的情况下，增加下列4个条件中的一个：①BC＝EC，②∠B＝∠E，③AB＝DE，④∠A＝∠D，能使△ABC≌△DEC的条件的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4题型二利用“ASA”直接判定两三角形全等题型二利用“ASA”直接判定两三角形全等【例题2】（2022秋•亭湖区期末）已知：如图，∠A＝∠B，AE＝BE，∠1＝∠2，点D在AC边上．求证：△AEC≌△BED．​解题技巧提炼有两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等(简写成“角边角”或“ASA”）.【变式2-1】（2022秋•洪山区校级期末）如图，点C是线段AB的中点，∠B＝∠ACD，AD∥CE．求证：△ACD≌△CBE．【变式2-2】（2023•呈贡区校级三模）如图，在△ABC和△ADE中，∠C＝∠E，AC＝AE，∠CAD＝∠EAB．求证：△ABC≌△ADE．​【变式2-3】（2023•碑林区校级模拟）如图，已知△ABC中，点D、E、F分别在边AB、BC、AC上，且BD＝CE，∠DEF＝∠B＝∠C．求证：DE＝EF．题型三利用“AAS”直接判定两三角形全等题型三利用“AAS”直接判定两三角形全等【例题3】（2022•天津模拟）如图，AC是∠BAE的平分线，点D是线段AC上的一点，∠C＝∠E，AB＝AD．求证：△BAC≌△DAE．解题技巧提炼两角和其中一角的对边分别相等的两个三角形全等.简写成“角角边”或“AAS”.【变式3-1】（2022•太仓市模拟）如图，AB＝AC，BE⊥AC，CD⊥AB垂足分别为点E，点D．求证：△ABE≌△ACD；【变式3-2】（2023春•碑林区校级期末）如图，在四边形ABCD中，BC＝CD，点E，F分别是BC，CD的中点，∠BAE＝∠DAF，∠B＝∠D．求证：AE＝AF．​【变式3-3】（2023•长沙）如图，AB＝AC，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E．求证：△ABE≌△ACD；题型四利用“HL”直接判定两三角形全等题型四利用“HL”直接判定两三角形全等【例题4】（2022春•碑林区校级期末）如图，线段AC、BD相交于点E，连接AB、CD，已知∠A＝∠D＝90°，AC＝BD．求证：BE＝CE．解题技巧提炼斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等(简写成“斜边、直角边”或“HL”).【变式4-1】（2022秋•德惠市期中）如图，已知AB＝CD，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F，BF＝DE．求证：△BAE≌△DCF．【变式4-2】（2023春•兴平市期中）如图，已知AD，BC相交于点O，AB＝CD，AM⊥BC于点M，DN⊥BC于点N，BN＝CM．求证：△ABM≌△DCN．【变式4-3】（2023春•城关区校级期中）如图所示∠A＝∠D＝90°，AB＝DC，点E，F在BC上，且BE＝CF．求证：AF＝DE．题型五判定三角形的全等求线段长题型五判定三角形的全等求线段长【例题5】（2023春•常熟市期末）已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C作CD⊥AB，垂足为D．在射线CD上截取CE＝CA，过点E作EF⊥CE，交CB的延长线于点F．（1）求证：△ABC≌△CFE；（2）若AB＝9，EF＝4，求BF的长．解题技巧提炼先利用三角形全等判定的方法证明两个三角形全等，再利用全等三角形的性质确定两个三角形中边的对应关系即可求解.【变式5-1】（2023春•浦东新区校级期末）如图，△ABC中，AD和BE是两条高线，相交于点F，若AC＝BF，BD＝5，CD＝2，则AF＝．【变式5-2】（2023春•平阴县期末）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠1＝∠2，AD＝EC．（1）求证：△ABD≌△EDC；（2）若AB＝2，BE＝3，求CD的长．【变式5-3】（2023春•叶县期末）如图，已知点B，E，C，F在一条直线上，BE＝CF，AC∥DE，∠A＝∠D．（1）求证：△ABC≌△DFE；（2）若BF＝20，EC＝8，求BC的长．【变式5-4】（2023•营口）如图，点A，B，C，D在同一条直线上，点E，F分别在直线AB的两侧，且AE＝BF，∠A＝∠B，∠ACE＝∠BDF．（1）求证：△ACE≌△BDF；（2）若AB＝8，AC＝2，求CD的长．题型六判定三角形的全等求角度题型六判定三角形的全等求角度【例题6】（2022秋•长沙期末）如图，点A，D，B，E在同一直线上，AC＝EF，AD＝BE，∠C＝∠F＝90°．（1）求证：△ABC≌△EDF；（2）∠ABC＝57°，求∠ADF的度数．解题技巧提炼先利用三角形全等判定的方法证明两个三角形全等,再利用全等三角形的性质证明角相等，要注意挖掘图形中隐含的条件，在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．【变式6-1】（2023•洞头区二模）如图，AB＝BD，DE∥AB，∠C＝∠E．（1）求证：△ABC≌△BDE．（2）当∠A＝80°，∠ABE＝120°时，求∠EDB的度数．【变式6-2】（2023•城阳区校级一模）如图，在△ABC和△ADE中，∠C＝∠E，AC＝AE，∠1＝∠2，AD、BC相交于点F．（1）求证：△ABC≌△ADE；（2）若AB∥DE，∠D＝30°求∠AFB的度数．【变式6-3】（2022秋•惠东县期中）如图，在四边形ABCD中，点E在AD上，∠BCE＝∠ACD＝90°，∠BAC＝∠D，BC＝CE．（1）求证：AC＝CD；（2）若AC＝AE，求∠DCE的度数．题型七利用三角形全等证明两直线的位置关系题型七利用三角形全等证明两直线的位置关系【例题7】（2023春•东明县期中）如图，四边形ABCD中，BC＝CD，AC＝DE，AB∥CD，∠B＝∠DCE＝90°，AC与DE相交于点F．（1）求证：△ABC≌△ECD；（2）判断线段AC与DE的位置关系，并说明理由．解题技巧提炼先根据全等三角形的判定方法得出两个三角形全等，然后再利用全等三角形的性质得出两直线的位置关系（平行或垂直）.【变式7-1】（2022春•源城区期末）如图，∠C＝∠D，AC＝BD，点O在AD，BC的交点，点E是AB中点，连接OE．（1）求证：△AOC≌△BOD．（2）判断OE和AB的位置关系，并说明理由．【变式7-2】如图所示，点B、E、F、C在同一条直线上，有AE⊥BC．DF⊥BC，垂足分别为点E、F，且AC＝DB，BE＝CF，求证：（1）AC∥BD；（2）AB∥CD．【变式7-3】如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，D是AC上一点，E在BC的延长线上，且AE＝BD，BD的延长线与AE交于点F．试通过观察、测量、猜想等方法来探索BF与AE有何特殊的位置关系，并说明你猜想的正确性．题型八三角形全等的开放探究题题型八三角形全等的开放探究题【例题8】（2023春•市北区期末）如图，已知∠1＝∠2，请你添加一个条件：，使△ABD≌△ACD．解题技巧提炼三角形全等中的开放题，主要是根据全等三角形的判定方法添加适当的条件证明三角形全等，方法比较灵活，答案不唯一,熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键.【变式8-1】（2023春•徐汇区期末）如图，已知∠OCB＝∠OBC，如果要说明△AOB≌△DOC，那么还需要添加一个条件，这个条件可以是．​【变式8-2】如图，在△ABC与△ADC中，已知∠BAC＝∠DAC，在不添加任何辅助线的前提下，要使△ABC≌△ADC，（1）若以“SAS”为依据，则需添加一个条件是．（2）若以“AAS”为依据，则需添加一个条件是．（3）若以“ASA”为依据，则需添加一个条件是．【变式8-3】（2023春•常德期中）如图，AB＝DC，AE⊥BC，DF⊥BC，要根据“HL”证明Rt△ABE≌Rt△DCF，则还需要添加一个条件是．【变式8-4】（2023•禅城区二模）如图，已知点B、F、C、E在直线l上，点A、D在l异侧，且AC∥DF，AC＝DF．（1）请你添加一个适当的条件：，使得△ABC≌△DEF．结合所添加的条件证明△ABC≌△DEF；（2）若BE＝20，BF＝6，求FC的长度．【变式8-5】如图，在△ABC中，点D在AB上，点E在BC上，BD＝BE．请你再添加一个条件_____，使得△BEA≌△BDC，并给出证明．（1）你添加的条件是；（2）证明：△BEA≌△BDC．题型九利用三角形全等解决实际问题题型九利用三角形全等解决实际问题【例题9】（2022春•三明期末）如图，为了测量B点到河对面的目标A之间的距离，在B点同侧选择一点C，测得∠ABC＝75°，∠ACB＝35°，然后在M处立了标杆，使∠MBC＝75°，∠MCB＝35°，得到△MBC≌△ABC，测得MB的长就是A，B两点间的距离，这里判定△MBC≌△ABC的理由是（）A．SSS B．SAS C．ASA D．AAA解题技巧提炼全等三角形在实际问题中的应用：一般方法是把实际问题先转化为数学问题，再转化为三角形问题，其中，画出示意图，把已知条件转化为三角形中的边角关系是关键．【变式9-1】（2023春•市北区校级期末）为了解学生对所学知识的应用能力，某校老师在七年级数学兴趣小组活动中，设置了这样的问题：因为池塘两端A，B的距离无法直接测量，请同学们设计方案测量A，B的距离．甲，乙两位同学分别设计出了如下两种方案：甲：如图1，在平地上取一个可以直接到达点A，B的点O，连接AO并延长到点C连接BO并延长到点D，使CO＝AO，DO＝BO，连接DC，测出DC的长即可．乙：如图2，先确定直线AB，过点B作直线BE，在直线BE上找可以直接到达点A的一点D，连接DA，作∠ADB＝∠BDC，交直线AB于点C，最后测量BC的长即可．​（1）甲、乙两同学的方案哪个可行？（2）请说明你认为方案可行的理由：以上的生活情景化归到数学上：根据题意，此时，已知条件是：；有待说明的是：；请介绍你每一步的思考及相应的道理：．（3）请将不可行的方案稍加修改使之可行．你的修改是：．【变式9-2】（2022•铁岭三模）如图，小虎用10块高度都是3cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（AC＝BC，∠ACB＝90°），点C在DE上，点A和B分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离为cm．【变式9-3】（2022秋•永城市校级期末）如图，点B，F，C，E在直线l上（点F，C之间不能直接测量），点A，D在l的异侧，AB∥DE，∠A＝∠D，测得AB＝DE．（1）求证：△ABC≌△DEF；（2）若BE＝10cm，BF＝3cm，求FC的长．【变式9-4】如图，操场上有两根旗杆间相距12m，小强同学从B点沿BA走向A，一定时间后他到达M点，此时他测得CM和DM的夹角为90°，且CM＝DM，已知旗杆AC的高为3m，小强同学行走的速度为0.5m/s，则：（1）请你求出另一旗杆BD的高度；（2）小强从M点到达A点还需要多长时间？题型十全等三角形的判定与性质的综合应用题型十全等三角形的判定与性质的综合应用【例题10】（2022秋•绥棱县校级期末）如图，AD∥BC，AD＝BC，AC与BD相交于点O，EF过点O并分别交AD，BC于点E，F，则图中的全等三角形共有（）A．1对 B．2对 C．3对 D．4对解题技巧提炼三角形的全等判定与性质的综合应用主要是用来探究线段、角之间的数量，因此可利用全等三角形的性质解决问题．【变式10-1】如图①，点A、E、F、C在一条直线上，AE＝CF，过点E、F分别作DE⊥AC，BF⊥AC．连接AB、CD，且使AB＝CD．（1）求证：BD平分EF；（2）若将△DEC的边EC沿AC方向移动，△BFA的边FA沿CA方向移动，变为如图②所示时，其余条件不变，上述结论是否还成立；若成立，请说明理由．【变式10-2】（2022秋•禹城市期中）如图，AC与BD交于O点，AB∥DC，AB＝DC．（1）点O是AC、BD的中点吗？说明你的理由；（2）若过O点作直线l，分别交AB、DC于E、F两点，OE＝OF吗？说明你的理由．【变式10-3】如图①，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，过点C在△ABC外作直线MN，AM⊥MN于点M，BN⊥MN于点N．（1）求证：MN＝AM+BN；（2）如图②，若过点C作直线MN与线段AB相交，AM⊥MN于点M，BN⊥MN于点N（AM＞BN），（1）中的结论是否仍然成立？若不成立，请写出正确的结论，并说明理由．【变式10-4】三个等角在同一直线上，称一线三等角模型（角度有锐角、钝角，若为直角称一线三垂直）．利用三等角关系找全等三角形所需角的相等条件，解决问题．（1）如图1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为D，E．求证：DE＝BD+CE；（2）如图2，将（1）中的条件改为在△ABC中．AB＝AC，D，A，E三点都在直线m上，且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α为任意钝角，请问结论DE＝BD+CE是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．【变式10-5】如图1，已知点P（2，2），点A在x轴正半轴上运动，点B在y轴负半轴上运动，且PA＝PB．（1）求证：PA⊥PB；（2）若点A（8，0），请直接写出B的坐标并求出OA−OB的值；（3）如图2，若点B在y轴正半轴上运动，其他条件不变，请直接写出OA+OB的值．

八年级上册数学《第十二章全等三角形》12.2三角形全等的判定（二）“ASA”、“AAS”与“HL”知识点一知识点一全等三角形的判定方法◆利用“SSS”判定两个三角形全等文字语言：三边分别相等的两个三角形全等，简写为“边边边”或“SSS”.几何语言：在△ABC和△DEF中，AB=DE∴△ABC≌△DEF(SSS).◆利用“SAS”判定两个三角形全等1、文字语言：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS”.2、几何语言：在△ABC和△DEF中，AB=DE∴△ABC≌△DEF(SSS).3、方法：（1）已知两边，可以找“夹角”；（2）已知一角和这角的一夹边，可找这角的另一夹边【注意】1.有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等.2.说明两三角形全等所需的条件应按对应边的顺序书写.3.结论中所出现的边必须在所证明的两个三角形中.题型一全等三角形判定的条件题型一全等三角形判定的条件【例题1】（2023春•台江区校级期末）根据下列条件，不能画出唯一确定的△ABC的是（）A．AB＝3，BC＝4，AC＝6 B．AB＝4，∠B＝45°，∠A＝60° C．AB＝4，BC＝3，∠A＝30° D．∠C＝90°，AB＝8，AC＝4【分析】利用全等三角形的判定定理依次判断每个选项即可．【解答】解：A：三边确定，符合全等三角形判定定理SSS，能画出唯一的△ABC，故不符合题意，B：已知两个角及其公共边，符合全等三角形判定定理ASA，能画出唯一的△ABC，故不符合题意，C：已知两边及其中一边的对角，属于“SSA”的情况，不符合全等三角形判定定理，故不能画出唯一的三角形，故本选项符合题意，D：已知一个直角和一条直角边以及斜边长，符合全等三角形判定定理HL，能画出唯一的△ABC，故不符合题意．故选：C．【点评】本题考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题关键．解题技巧提炼判断三角形全等的条件时，注意两边与其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等.解题时要根据已知条件的情况来考虑，对于非特殊的三角形，只具备SSA时一般是不能判定三角形全等的．【变式1-1】（2023春•项城市校级月考）如图，∠C＝∠D＝90°，添加一个条件，可使用“HL”判定Rt△ABC与Rt△ABD全等．以下给出的条件适合的是（）A．AC＝AD B．AC＝BC C．∠ABC＝∠ABD D．AD＝BD【分析】根据直角三角形全等的判定方法HL即可确定答案．【解答】解：添加AC＝AD，理由如下：∵∠C＝∠D＝90°，在Rt△ADB和Rt△ACB中，AC=ADAB=AB∴Rt△ADB≌Rt△ACB（HL），故选：A．【点评】本题考查了直角三角形的全等的判定，熟练掌握HL是解题的关键．【变式1-2】（2023春•泉州期末）如图，AB＝AC，若要使△ABE≌△ACD，则添加的一个条件不能是（）A．∠B＝∠C B．BE＝CD C．BD＝CE D．∠ADC＝∠AEB【分析】已知条件AB＝AC，还有公共角∠A，然后再结合选项所给条件和全等三角形的判定定理进行分析即可．【解答】解：A、添加∠B＝∠C可利用ASA定理判定△ABE≌△ACD，故此选项不合题意；B、添加BE＝CD不能判定△ABE≌△ACD，故此选项符合题意；C、添加BD＝CE可得AD＝AE，可利用利用SAS定理判定△ABE≌△ACD，故此选项不合题意；D、添加∠ADC＝∠AEB可利用AAS定理判定△ABE≌△ACD，故此选项不合题意；故选：B．【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．【变式1-3】（2023春•黄浦区期末）如图，点P是AB上任一点，∠ABC＝∠ABD，从下列各条件中补充一个条件，不一定能推出△APC≌△APD的是（）A．BC＝BD B．∠ACB＝∠ADB C．AC＝AD D．∠CAB＝∠DAB【分析】根据题意，∠ABC＝∠ABD，AB是公共边，结合选项，逐个验证得出正确结果．【解答】解：A、补充BC＝BD，先证出△ABC≌△ABD，后能推出△APC≌△APD，故此选项错误；B、补充∠ACB＝∠ADB，先证出△ABC≌△ABD，后能推出△APC≌△APD，故此选项错误．C、补充AC＝AD，不能推出△APC≌△APD，故此选项正确；D、补充∠CAB＝∠DAB，先证出△ABC≌△ABD，后能推出△APC≌△APD，故此选项错误；故选：C．【点评】此题主要考查了三角形全等判定，三角形全等的判定定理：有AAS，SSS，ASA，SAS．注意SSA是不能证明三角形全等的，做题时要逐个验证，排除错误的选项．【变式1-4】（2023春•闵行区期末）已知：如图，点A、D、B、E在同一直线上，且AC∥DF，AD＝BE，增加下列条件不能推导出△ABC≌△DEF的是（）A．BC＝EF B．BC∥EF C．AC＝DF D．∠C＝∠F【分析】根据全等三角形的判定定理求解即可．【解答】解：∵AC∥DF，∴∠A＝∠FDE，∵AD＝BE，∴AD+DB＝BE+DB，即AB＝DE，A、∵AB＝DE，BC＝EF，∠A＝∠FDE，不能判定△ABC≌△DEF，故此选项符合题意；B、∵BC∥EF，∴∠ABC＝∠DEF，∵∠A＝∠FDE，AB＝DE，∠ABC＝∠DEF，∴△ABC≌△DEF（ASA），故此选不项符合题意；C、∵AC＝DF，∠A＝∠FDE，AB＝DE，∴△ABC≌△DEF（SAS），故此选项不符合题意；D、∵∠C＝∠F，∠A＝∠FDE，AB＝DE，∴△ABC≌△DEF（AAS），故此选项不符合题意；故选：A．【点评】此题考查了全等三角形的判定，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键．【变式1-5】（2023春•新都区期末）如图，已知CA＝CD，∠1＝∠2，在不加辅助线的情况下，增加下列4个条件中的一个：①BC＝EC，②∠B＝∠E，③AB＝DE，④∠A＝∠D，能使△ABC≌△DEC的条件的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】根据图形可知证明△ABC≌△DEC已经具备了一对角和一对相等边，因此可以利用ASA、SAS、AAS证明两三角形全等．【解答】解：∵∠1＝∠2，∴∠1+∠ACE＝∠2+∠ACE，即∠ACB＝∠DCE．又∵CA＝CD，∴可以添加BC＝EC，此时满足SAS，①正确；添加条件∠B＝∠E，此时满足AAS，②正确；添加条件∠A＝∠D，此时满足ASA，④正确；添加条件AB＝DE，不能证明△ABC≌△DEC，③不正确．故能使△ABC≌△DEC的条件的个数为3个．故选：C．【点评】本题考查了全等三角形的判定，解题的关键是牢记全等三角形的判定方法．题型二利用“ASA”直接判定两三角形全等题型二利用“ASA”直接判定两三角形全等【例题2】（2022秋•亭湖区期末）已知：如图，∠A＝∠B，AE＝BE，∠1＝∠2，点D在AC边上．求证：△AEC≌△BED．​【分析】由∠1＝∠2，得到∠AEC＝∠BED，又∠A＝∠B，AE＝BE，由ASA即可证明△AEC≌△BED．【解答】证明：∵∠1＝∠2，∴∠AEC＝∠BED，在△AEC和△BED中，∠AEC=∠BEDAE=BE∴△AEC≌△BED（ASA）．【点评】本题考查全等三角形的判定，关键是由∠1＝∠2，得到∠AEC＝∠BED，由ASA即可证明问题．解题技巧提炼有两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等(简写成“角边角”或“ASA”）.【变式2-1】（2022秋•洪山区校级期末）如图，点C是线段AB的中点，∠B＝∠ACD，AD∥CE．求证：△ACD≌△CBE．【分析】由已知条件得到AC＝CB，∠A＝∠BCE，根据三角形全等的判定定理ASA可证得△ACD≌△CBE．【解答】证明：∵点C是AB的中点，∴AC＝CB，∵AD∥CE，∴∠A＝∠BCE，在△ACD和△CBE中，∠A=∠BCEAC=CB∴△ACD≌△CBE（ASA）．【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL（直角三角形）．【变式2-2】（2023•呈贡区校级三模）如图，在△ABC和△ADE中，∠C＝∠E，AC＝AE，∠CAD＝∠EAB．求证：△ABC≌△ADE．​【分析】根据ASA证明即可．【解答】证明：∵∠CAD＝∠EAB，∴∠CAD+∠DAB＝∠EAB+∠DAB，即∠CAB＝∠EAD，在△ABC和△ADE中，∠C=∠EAC=AE∴△ABC≌△ADE（ASA）．【点评】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．【变式2-3】（2023•碑林区校级模拟）如图，已知△ABC中，点D、E、F分别在边AB、BC、AC上，且BD＝CE，∠DEF＝∠B＝∠C．求证：DE＝EF．【分析】通过证明三角形△BDE和△CEF全等，然后根据全等三角形的性质可以证明．【解答】证明：∵∠CED是△BDE的外角，∴∠CED＝∠B+∠BDE，又∠DEF＝∠B，∴∠CEF＝∠BDE，在△BDE和△CEF中，∠B=∠CBD=CE∴△BDE≌△CEF（ASA），∴DE＝EF．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，涉及到三角形外角的性质，角角边等，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL，注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．题型三利用“AAS”直接判定两三角形全等题型三利用“AAS”直接判定两三角形全等【例题3】（2022•天津模拟）如图，AC是∠BAE的平分线，点D是线段AC上的一点，∠C＝∠E，AB＝AD．求证：△BAC≌△DAE．【分析】根据全等三角形的判定：AAS证明△BAC≌△DAE解答即可．【解答】证明：∵AC是∠BAE的平分线，∴∠BAC＝∠DAE，在△BAC和△DAE中，∠BAC=∠DAE∠C=∠E∴△BAC≌△DAE（AAS）．【点评】本题考查了全等三角形的判定，解决本题的关键是掌握全等三角形的判定．解题技巧提炼两角和其中一角的对边分别相等的两个三角形全等.简写成“角角边”或“AAS”.【变式3-1】（2022•太仓市模拟）如图，AB＝AC，BE⊥AC，CD⊥AB垂足分别为点E，点D．求证：△ABE≌△ACD；【分析】利用AAS即可证明结论；【解答】（1）证明：∵BE⊥AC，CD⊥AB，∴∠ADC＝∠AEB＝90°，在△ABE和△ACD中，∠A=∠A∠AEB=∠ADC=90°∴△ABE≌△ACD（AAS）；【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法是解决本题的关键．【变式3-2】（2023春•碑林区校级期末）如图，在四边形ABCD中，BC＝CD，点E，F分别是BC，CD的中点，∠BAE＝∠DAF，∠B＝∠D．求证：AE＝AF．​【分析】由BE＝CE=12BC，DF＝CF=12CD，且BC＝CD，推导出BE＝DF，而∠B＝∠D，∠BAE＝∠DAF，即可根据全等三角形的判定定理“AAS”证明△ABE≌△ADF，则【解答】证明：∵点E，F分别是BC，CD的中点，∴BE＝CE=12BC，DF＝CF=∵BC＝CD，∴BE＝DF，在△ABE和△ADF中，∠B=∠D∠BAE=∠DAF∴△ABE≌△ADF（AAS），∴AE＝AF．【点评】此题重点考查线段的中点定义、全等三角形的判定与性质等知识，推导出BE＝DF进而证明△ABE≌△ADF是解题的关键．【变式3-3】（2023•长沙）如图，AB＝AC，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E．求证：△ABE≌△ACD；【分析】利用“AAS”可证明△ABE≌△ACD；【解答】证明：∵CD⊥AB，BE⊥AC，∴∠AEB＝∠ADC＝90°，在△ABE和△ACD中，∠AEB=∠ADC∠BAE=∠CAD∴△ABE≌△ACD（AAS）；【点评】本题考查全等三角形的判定，平行线的性质，垂直的定义，关键是掌握全等三角形的判定方法．题型四利用“HL”直接判定两三角形全等题型四利用“HL”直接判定两三角形全等【例题4】（2022春•碑林区校级期末）如图，线段AC、BD相交于点E，连接AB、CD，已知∠A＝∠D＝90°，AC＝BD．求证：BE＝CE．【分析】连接BC，证明Rt△ABC≌Rt△DCB（HL），根据全等三角形的性质可得∠ACB＝∠DBC，进一步即可得证．【解答】证明：连接BC，如图所示：∵∠A＝∠D＝90°，在Rt△ABC和Rt△DCB中，AC=BDBC=CB∴Rt△ABC≌Rt△DCB（HL），∴∠ACB＝∠DBC，∴BE＝CE．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定等，熟练掌握直角三角形全等的判定方法HL是解题的关键．解题技巧提炼斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等(简写成“斜边、直角边”或“HL”).【变式4-1】（2022秋•德惠市期中）如图，已知AB＝CD，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F，BF＝DE．求证：△BAE≌△DCF．【分析】先根据垂直的定义得到∠AEB＝∠CFD＝90°，再证明BE＝DF，然后根据“HL”可判断△BAE≌△DCF．【解答】证明：∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AEB＝∠CFD＝90°，∵BF＝DE，∴BF+EF＝DE+EF，即BE＝DF，在Rt△BAE和Rt△DCF中，AB=CDBE=DF∴Rt△BAE≌Rt△DCF（HL）．【点评】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键．选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件．【变式4-2】（2023春•兴平市期中）如图，已知AD，BC相交于点O，AB＝CD，AM⊥BC于点M，DN⊥BC于点N，BN＝CM．求证：△ABM≌△DCN．【分析】先根据BN＝CM得出BM＝CN，再由垂直的定义得出∠AMB＝∠DNC＝90°，利用HL证明三角形全等即可．【解答】证明：∵BN＝CM，∴BN+MN＝CM+MN，即BM＝CN，∵AM⊥BC于点M，DN⊥BC于点N，∴∠AMB＝∠DNC＝90°．在Rt△ABM和Rt△DCN中，BM=CNAB=CD∴Rt△ABM≌Rt△DCN（HL）．【点评】本题考查证明两个三角形全等，熟练掌握HL证明三角形全等是解题的关键．【变式4-3】（2023春•城关区校级期中）如图所示∠A＝∠D＝90°，AB＝DC，点E，F在BC上，且BE＝CF．求证：AF＝DE．【分析】由BE＝CF，证明BF＝CE，而AB＝DC，即可根据直角三角形全等的判定定理“HL”证明Rt△ABF≌Rt△DCE，得AF＝DE．【解答】证明：∵BE＝CF，∴BE+EF＝CF+EF，∴BF＝CE，在Rt△ABF和Rt△DCE中，BF=CEAB=DC∴Rt△ABF≌Rt△DCE（HL），∴AF＝DE．【点评】此题重点考查等式的性质、全等三角形的判定与性质，推导出BE＝CE并且证明Rt△ABF≌Rt△DCE是解题的关键．题型五判定三角形的全等求线段长题型五判定三角形的全等求线段长【例题5】（2023春•常熟市期末）已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C作CD⊥AB，垂足为D．在射线CD上截取CE＝CA，过点E作EF⊥CE，交CB的延长线于点F．（1）求证：△ABC≌△CFE；（2）若AB＝9，EF＝4，求BF的长．【分析】（1）由同角的余角相等得到∠A＝∠ECF，根据“ASA”定理即可证得△ABC≌△CFE；（2）根据全等三角形的性质即可求得答案．【解答】（1）证明：∵EF⊥CE，∴∠E＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠A＝∠ECF＝90°﹣∠ACE，在△ABC和△CFE中，∠A=∠ECFCA=CE∴△ABC≌△CFE（ASA）；（2）解：∵△ABC≌△CFE，∴CF＝AB＝9，CB＝EF＝4，∴BF＝CF﹣CB＝5．【点评】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解决问题的关键．解题技巧提炼先利用三角形全等判定的方法证明两个三角形全等，再利用全等三角形的性质确定两个三角形中边的对应关系即可求解.【变式5-1】（2023春•浦东新区校级期末）如图，△ABC中，AD和BE是两条高线，相交于点F，若AC＝BF，BD＝5，CD＝2，则AF＝．【分析】利用AAS证明△BFD≌△ACD，根据全等三角形的性质得到BD＝AD，CD＝DF，即可解决问题．【解答】解：∵AD⊥BC，BE⊥AC，∴∠ADC＝∠BDF＝90°，∠CAD+∠C＝90°，∠CBE+∠C＝90°，∴∠CBE＝∠CAD，在△BFD与△ACD中，∠BDF=∠ADC∠FBD=∠DAC∴△BFD≌△ACD（AAS），∴BD＝AD＝5，DF＝CD＝2，∴AF＝AD﹣DF＝5﹣2＝3，故答案为：3．【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，证明△BFD≌△ACD是解题的关键．【变式5-2】（2023春•平阴县期末）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠1＝∠2，AD＝EC．（1）求证：△ABD≌△EDC；（2）若AB＝2，BE＝3，求CD的长．【分析】（1）由“AAS”即可证△ABD≌△EDC；（2）结合（1）可得AB＝DE，BD＝CD，可得结论．【解答】（1）证明：∵AB∥CD，∴∠ABD＝∠EDC．在△ABD和△EDC中，∠ABD=∠EDC∠1=∠2∴△ABD≌△EDC（AAS），（2）∵△ABD≌△EDC，∴AB＝DE＝2，BD＝CD，∴CD＝BD＝DE+BE＝2+3＝5．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法是本题的关键．【变式5-3】（2023春•叶县期末）如图，已知点B，E，C，F在一条直线上，BE＝CF，AC∥DE，∠A＝∠D．（1）求证：△ABC≌△DFE；（2）若BF＝20，EC＝8，求BC的长．【分析】（1）根据AAS证明△ABC≌△DFE即可；（2）求出BE的长即可解决问题．【解答】（1）证明：∵AC∥DE，∴∠ACB＝∠DEF，∵BE＝CF，∴BE+CE＝CF+CE，即BC＝FE，在△ABC和△DFE中，∠A=∠D∠ACB=∠DEF∴△ABC≌△DFE（AAS）．（2）解：∵BF＝20，EC＝8，∴BE+CF＝20﹣8＝12，∵BE＝CF，∴BE＝CF＝6，∴BC＝BE+EC＝6+8＝14．【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、平行线的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．【变式5-4】（2023•营口）如图，点A，B，C，D在同一条直线上，点E，F分别在直线AB的两侧，且AE＝BF，∠A＝∠B，∠ACE＝∠BDF．（1）求证：△ACE≌△BDF；（2）若AB＝8，AC＝2，求CD的长．【分析】（1）根据全等三角形的判定定理证明△ACE≌△DBF即可；（2）根据全等三角形的性质即可得到结论．【解答】（1）证明：在△ACE和△DBF中，∠A=∠B∠ACE=∠BDF∴△ACE≌△DBF（AAS）；（2）由（1）知△ACE≌△BDF，∴BD＝AC＝2，∵AB＝8，∴CD＝AB﹣AC﹣BD＝4，故CD的长为4．【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质；熟练掌握证明三角形全等是解决问题的关键．题型六判定三角形的全等求角度题型六判定三角形的全等求角度【例题6】（2022秋•长沙期末）如图，点A，D，B，E在同一直线上，AC＝EF，AD＝BE，∠C＝∠F＝90°．（1）求证：△ABC≌△EDF；（2）∠ABC＝57°，求∠ADF的度数．【分析】（1）根据HL即可证明：△ABC≌△EDF；（2）由（1）可知∠HDB＝∠HBD，再利用三角形的外角关系即可求出∠HBD的度数．【解答】（1）证明：∵AD＝BE，∴AB＝ED，∵∠C＝∠F＝90°，∴△ABC和△DEF是直角三角形，在Rt△ABC和Rt△EDF中，AB=EDAC=EF∴Rt△ABC≌Rt△EDF（HL）；（2）解：∵△ABC≌△EDF，∴∠ABC＝∠EDF＝57°，∴∠ADF＝180°﹣∠EDF＝123°．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质以及三角形的外角性质是解题的关键．解题技巧提炼先利用三角形全等判定的方法证明两个三角形全等,再利用全等三角形的性质证明角相等，要注意挖掘图形中隐含的条件，在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．【变式6-1】（2023•洞头区二模）如图，AB＝BD，DE∥AB，∠C＝∠E．（1）求证：△ABC≌△BDE．（2）当∠A＝80°，∠ABE＝120°时，求∠EDB的度数．【分析】（1）根据DE∥AB，可以得到∠BDE＝∠ABC，然后根据AAS即可判定△ABC≌△BDE；（2）由全等三角形的性质可得出答案．【解答】（1）证明：∵DE∥AB，∴∠BDE＝∠ABC，在△ABC和△BDE中，∠C=∠E∠ABC=∠BDE∴△ABC≌BDE（AAS）；（2）解：∵∠A＝80°，△ABC≌BDE，∴∠A＝∠DBE＝80°，∵∠ABE＝120°，∴∠ABD＝40°，∵DE∥AB，∴∠EDB＝40°．【点评】本题考查全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确全等三角形的判定方法．【变式6-2】（2023•城阳区校级一模）如图，在△ABC和△ADE中，∠C＝∠E，AC＝AE，∠1＝∠2，AD、BC相交于点F．（1）求证：△ABC≌△ADE；（2）若AB∥DE，∠D＝30°求∠AFB的度数．【分析】（1）由AAS证明△ABC≌△ADE，即可得结论；（2）由平行线的性质得∠1＝∠D＝40°，再由（1）可知，∠B＝∠D＝30°，然后由三角形内角和定理即可得出结论．【解答】（1）证明：∵∠1＝∠2，∴∠1+∠CAD＝∠2+∠CAD，∴∠CAB＝∠EAD，在△ABC和△ADE中，∠CAB=∠EAD∠C=∠E∴△ABC≌△ADE（AAS）；（2）解：∵AB∥DE，∴∠1＝∠D＝30°，由（1）可知，∠B＝∠D＝30°，∴∠AFB＝180°﹣∠1﹣∠B＝180°﹣30°﹣30°＝120°．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质以及三角形内角和定理等知识，掌握三角形全等的判定与性质是解题的关键．【变式6-3】（2022秋•惠东县期中）如图，在四边形ABCD中，点E在AD上，∠BCE＝∠ACD＝90°，∠BAC＝∠D，BC＝CE．（1）求证：AC＝CD；（2）若AC＝AE，求∠DCE的度数．【分析】（1）利用AAS可证△ACB≌△DCE（AAS），即可证明AC＝CD；（2）根据等腰直角三角形的性质，得到∠CAD＝∠D＝45°，再根据AC＝AE，得到∠ACE＝∠AEC＝67.5°，即可求出∠DCE的度数．【解答】（1）解：∵∠BCE＝∠ACD，∴∠BCE﹣∠ACE＝∠ACD﹣∠ACE，∴∠ACB＝∠DCE，在△ABC与△DCE中，∠BAD=∠D∠ACB=∠DCE∴△ACB≌△DCE（AAS），∴AC＝CD；（2）解：∵AC＝CD，∠ACD＝90°，∴∠CAD＝∠D＝45°，∵AC＝AE，∴∠ACE＝∠AEC，∵∠ACE+∠AEC+∠CAD＝180°，∴∠ACE＝∠AEC＝67.5°，∴∠DCE＝∠ACD﹣∠ACE＝22.5°．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等知识，熟练掌握相关知识点是解题关键．题型七利用三角形全等证明两直线的位置关系题型七利用三角形全等证明两直线的位置关系【例题7】（2023春•东明县期中）如图，四边形ABCD中，BC＝CD，AC＝DE，AB∥CD，∠B＝∠DCE＝90°，AC与DE相交于点F．（1）求证：△ABC≌△ECD；（2）判断线段AC与DE的位置关系，并说明理由．【分析】（1）根据HL即可证明△ABC≌△ECD．（2）根据△ABC≌△ECD得到∠BCA＝∠CDE，结合∠B＝∠DCE＝90°得到∠DFC＝90°，即可得结论．【解答】（1）证明：在Rt△ABC和Rt△ECD中，AC=DEAB=EC∴Rt△ABC≌Rt△ECD（HL），（2）解：AC⊥DE．理由如下：∵△ABC≌△ECD，∴∠BCA＝∠CDE，∵∠B＝∠DCE＝90°，∴∠BCA+∠ACD＝90°，∴∠CDE+∠ACD＝90°，∴∠DFC＝180°﹣（∠CDE+∠ACD）＝90°，∴AC⊥DE．【点评】本题考查全等三角形的判定与性质，常用的判定方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL等，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．解题技巧提炼先根据全等三角形的判定方法得出两个三角形全等，然后再利用全等三角形的性质得出两直线的位置关系（平行或垂直）.【变式7-1】（2022春•源城区期末）如图，∠C＝∠D，AC＝BD，点O在AD，BC的交点，点E是AB中点，连接OE．（1）求证：△AOC≌△BOD．（2）判断OE和AB的位置关系，并说明理由．【分析】（1）根据AAS证明即可；（2）根据全等三角形的性质可得OA＝OB，根据等腰三角形的性质即可得证．【解答】（1）证明：在△AOC和△BOD中，∠AOC=∠BOD∠C=∠D∴△AOC≌△BOD（AAS）；（2）解：OE⊥AB，理由如下：∵△AOC≌△BOD，∴OA＝OB，∵点E是AB中点，∴OE⊥AB．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握这些知识是解题的关键．【变式7-2】如图所示，点B、E、F、C在同一条直线上，有AE⊥BC．DF⊥BC，垂足分别为点E、F，且AC＝DB，BE＝CF，求证：（1）AC∥BD；（2）AB∥CD．【分析】（1）首先利用BE＝CF，得出BF＝CE，再由AE⊥BC，DF⊥BC，AC＝DB，证得Rt△AEC≌Rt△DFB，得出∠ACE＝∠DBF，证得结论；（2）由Rt△AEC≌Rt△DFB，得出AE＝DF，再由BE＝CF，证得Rt△AEB≌Rt△DFC，得出∠ABE＝∠DCF，证得结论．【解答】证明：（1）∵BE＝CF，∴BE+EF＝CF+EF即BF＝CE，∵AE⊥BC，DF⊥BC，∴∠AEC＝∠DFB＝90°，在Rt△AEC和Rt△DFB中，BF=CEAC=BD∴Rt△AEC≌Rt△DFB（HL）∴∠ACE＝∠DBF，∴AC∥BD；（2）∵Rt△AEC≌Rt△DFB∴AE＝DF，Rt△AEB≌Rt△DFC中AE=DF∠AEB=∠DFC∴Rt△AEB≌Rt△DFC（SAS），∴∠ABE＝∠DCF，∴AB∥CD．【点评】此题考查三角形全等的判定与性质，平行线的判定，注意充分利用已知条件，找到问题的突破口．【变式7-3】如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，D是AC上一点，E在BC的延长线上，且AE＝BD，BD的延长线与AE交于点F．试通过观察、测量、猜想等方法来探索BF与AE有何特殊的位置关系，并说明你猜想的正确性．【分析】猜想：BF⊥AE先证明△BDC≌△AEC得出∠CBD＝∠CAE，从而得出∠BFE＝90°，即BF⊥AE．【解答】解：猜想：BF⊥AE．理由：∵∠ACB＝90°，∴∠ACE＝∠BCD＝90°．又BC＝AC，BD＝AE，∴△BDC≌△AEC（HL）．∴∠CBD＝∠CAE．又∵∠CAE+∠E＝90°．∴∠EBF+∠E＝90°．∴∠BFE＝90°，即BF⊥AE．【点评】主要考查全等三角形的判定方法，以及全等三角形的性质．猜想问题一定要认真观察图形，根据图形先猜后证．题型八三角形全等的开放探究题题型八三角形全等的开放探究题【例题8】（2023春•市北区期末）如图，已知∠1＝∠2，请你添加一个条件：，使△ABD≌△ACD．【分析】∠1、∠2分别是△ADB、△ADC的外角，由∠1＝∠2可得∠ADB＝∠ADC，然后根据判定定理AAS、ASA、SAS尝试添加条件．【解答】解：添加∠B＝∠C，可用AAS判定两个三角形全等；添加∠BAD＝∠CAD，可用ASA判定两个三角形全等；添加BD＝CD，可用SAS判定两个三角形全等．故填∠B＝∠C或∠BAD＝∠CAD或BD＝CD．【点评】本题重点考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，直角三角形可用HL定理．添加时注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，不能添加，根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关键．解题技巧提炼三角形全等中的开放题，主要是根据全等三角形的判定方法添加适当的条件证明三角形全等，方法比较灵活，答案不唯一,熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键.【变式8-1】（2023春•徐汇区期末）如图，已知∠OCB＝∠OBC，如果要说明△AOB≌△DOC，那么还需要添加一个条件，这个条件可以是．​【分析】根据∠OCB＝∠OBC，可得出OB＝OC，∠AOB＝∠DOC，根据AAS，ASA，SAS即可证明．【解答】解：①添加∠A＝∠D；∵∠ACB＝∠DBC，∴BO＝CO，在△AOB和△DOC中，∠A=∠D∠AOB=∠DOC∴△AOB≌△DOC（AAS）；②添加∠ABO＝∠DCO；在△AOB和△DOC中，∠ABO=∠DCOOB=OC∴△AOB≌△DOC（ASA）；③添加AO＝DO，在△AOB和△DOC中，AO=DO∠AOB=∠DOC∴△AOB≌△DOC（SAS）．故答案为：∠A＝∠D或∠ABO＝∠DCO或AO＝DO．【点评】本题主要考查了全等三角形的判定，关键是掌握判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．【变式8-2】如图，在△ABC与△ADC中，已知∠BAC＝∠DAC，在不添加任何辅助线的前提下，要使△ABC≌△ADC，（1）若以“SAS”为依据，则需添加一个条件是．（2）若以“AAS”为依据，则需添加一个条件是．（3）若以“ASA”为依据，则需添加一个条件是．【分析】（1）已有条件∠BAC＝∠DAC和公共边AC＝AC，以“SAS”为依据，则需添加一个条件AB＝AD；（2）已有条件∠BAC＝∠DAC和公共边AC＝AC，以“AAS”为依据，则需添加一个条件∠B＝∠D；（3）已有条件∠BAC＝∠DAC和公共边AC＝AC，以“ASA”为依据，则需添加一个条件∠ACB＝∠ACD．【解答】解：（1）添加条件AB＝AD，在△ABC和△DCB中，AB=AD∠BAC=∠DAC∴△ABC≌△ADC（SAS），故答案为：AB＝AD；（2）添加条件∠B＝∠D，在△ABC和△DCB中，∠BAC=∠DAC∠B=∠D∴△ABC≌△ADC（AAS），故答案为：∠B＝∠D；（3）添加∠ACB＝∠ACD，在△ABC和△DCB中，∠BAC=∠DACAC=AC∴△ABC≌△ADC（ASA），故答案为：∠ACB＝∠ACD．【点评】本题重点考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，直角三角形可用HL定理，但AAA、SSA，无法证明三角形全等．根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关键．【变式8-3】（2023春•常德期中）如图，AB＝DC，AE⊥BC，DF⊥BC，要根据“HL”证明Rt△ABE≌Rt△DCF，则还需要添加一个条件是．【分析】根据垂直定义求出∠CFD＝∠AEB＝90°，再根据全等三角形的判定定理推出即可．【解答】解：条件是AE＝DF或BE＝CF，理由是：∵AE⊥BC，DF⊥BC，∴∠CFD＝∠AEB＝90°，在Rt△ABE和Rt△DCF中，AB=DCAE=DF，或AB=DC∴Rt△ABE≌Rt△DCF（HL），故答案为：AE＝DF或BE＝CF．【点评】本题考查了全等三角形的判定定理的应用，能灵活运用全等三角形的判定定理进行推理是解此题的关键．【变式8-4】（2023•禅城区二模）如图，已知点B、F、C、E在直线l上，点A、D在l异侧，且AC∥DF，AC＝DF．（1）请你添加一个适当的条件：，使得△ABC≌△DEF．结合所添加的条件证明△ABC≌△DEF；（2）若BE＝20，BF＝6，求FC的长度．【分析】（1）添加∠A＝∠D，根据ASA证明△ABC≌△DEF即可；（2）根据全等三角形的性质可得BC＝EF，进一步求解即可．【解答】解：（1）添加∠A＝∠D，证明如下：∵AC∥DF，∴∠ACB＝∠DFE，在△ABC和△DEF中，∠A=∠DAC=DF∴△ABC≌△DEF（ASA），故答案为：∠A＝∠D（答案不唯一）；（2）∵△ABC≌△DEF，∴BC＝EF，∴BC﹣CF＝EF﹣CF，即BF＝CE，∵BE＝20，BF＝6，∴CE＝BF＝6，∴FC＝BE﹣BF﹣CE＝20﹣6﹣6＝8．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．【变式8-5】如图，在△ABC中，点D在AB上，点E在BC上，BD＝BE．请你再添加一个条件_____，使得△BEA≌△BDC，并给出证明．（1）你添加的条件是；（2）证明：△BEA≌△BDC．【分析】（1）由于BD＝BE，∠ABE＝∠CBD，则根据全等三角形的判定方法添加条件使得△BEA≌△BDC；（2）利用“SAS”可证明△BEA≌△BDC．【解答】（1）解：∵BD＝BE，∠ABE＝∠CBD，∴当添加BA＝BC或AD＝CE时，可根据“SAS”判断△BEA≌△BDC；当添加∠BAE＝∠BCD时，可根据“AAS”判断△BEA≌△BDC；当添加∠AEB＝∠CDB时，可根据“ASA”判断△BEA≌△BDC；故答案为：BA＝BC（或AD＝CE或∠BAE＝∠BCD或∠AEB＝∠CDB）；（2）证明：在△BEA和△BDC中，BA=BC∠B=∠B∴△BEA≌△BDC（SAS）．【点评】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键．选用哪一种判定方法，取决于题目中的已知条件．题型九利用三角形全等解决实际问题题型九利用三角形全等解决实际问题【例题9】（2022春•三明期末）如图，为了测量B点到河对面的目标A之间的距离，在B点同侧选择一点C，测得∠ABC＝75°，∠ACB＝35°，然后在M处立了标杆，使∠MBC＝75°，∠MCB＝35°，得到△MBC≌△ABC，测得MB的长就是A，B两点间的距离，这里判定△MBC≌△ABC的理由是（）A．SSS B．SAS C．ASA D．AAA【分析】根据ASA定理证明△MBC≌△ABC，得出结论．【解答】解：在△MBC和△ABC中，∠MBC=∠ABCBC=BC∴△MBC≌△ABC（ASA），∴判定△MBC≌△ABC的理由是ASA，故选：C．【点评】本题考查的是关键．解题技巧提炼全等三角形在实际问题中的应用：一般方法是把实际问题先转化为数学问题，再转化为三角形问题，其中，画出示意图，把已知条件转化为三角形中的边角关系是关键．【变式9-1】（2023春•市北区校级期末）为了解学生对所学知识的应用能力，某校老师在七年级数学兴趣小组活动中，设置了这样的问题：因为池塘两端A，B的距离无法直接测量，请同学们设计方案测量A，B的距离．甲，乙两位同学分别设计出了如下两种方案：甲：如图1，在平地上取一个可以直接到达点A，B的点O，连接AO并延长到点C连接BO并延长到点D，使CO＝AO，DO＝BO，连接DC，测出DC的长即可．乙：如图2，先确定直线AB，过点B作直线BE，在直线BE上找可以直接到达点A的一点D，连接DA，作∠ADB＝∠BDC，交直线AB于点C，最后测量BC的长即可．​（1）甲、乙两同学的方案哪个可行？（2）请说明你认为方案可行的理由：以上的生活情景化归到数学上：根据题意，此时，已知条件是：；有待说明的是：；请介绍你每一步的思考及相应的道理：．（3）请将不可行的方案稍加修改使之可行．你的修改是：．【分析】（1）甲同学作出的是全等三角形，然后根据全等三角形对应边相等测量的，所以是可行的；（2）甲同学利用的是“边角边”，乙同学的方案只能知道两三角形的一条边和一个角相等，不能判定△ABD与△CBD全等，故方案不可行．【解答】解：（1）甲同学的方案可行；（2）甲同学方案：在△ABO和△CDO中，AO=CO∠AOB=∠COD∴△ABO≌△CDO（SAS），∴AB＝CD；∴根据题意，此时，已知条件是：CO＝AO，DO＝BO，∠AOB＝∠COD；有待说明的是：AB＝CD；每一步的思考及相应的道理：利用“边角边”判断三角形全等．故答案为：CO＝AO，DO＝BO，∠AOB＝∠COD；AB＝CD；利用“边角边”判断三角形全等．（3）乙同学方案：在△ABD和△CBD中，只能知道∠ADB＝∠BDC，DB＝DB，不能判定△ABD与△CBD全等，故方案不可行．∴加上BD⊥AC条件，通过ASA即可证明△ABD与△CBD全等．故答案为：BD⊥AC．【点评】本题主要考查了全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形的判定定理是解决问题的关键．【变式9-2】（2022•铁岭三模）如图，小虎用10块高度都是3cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（AC＝BC，∠ACB＝90°），点C在DE上，点A和B分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离为cm．【分析】根据题意可得AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE，进而得到∠ADC＝∠CEB＝90°，再根据等角的余角全等三角形的性质进行解答．【解答】解：由题意得：AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE，∴∠ADC＝∠CEB＝90°，∴∠ACD+∠BCE＝90°，∠ACD+∠DAC＝90°，∴∠BCE＝∠DAC，在△ADC和△CEB中，∠ADC=∠CEB∠DAC=∠BCE∴△ADC≌△CEB（AAS）；由题意得：AD＝EC＝9cm，DC＝BE＝21cm，∴DE＝DC+CE＝30（cm），答：两堵木墙之间的距离为30cm．故答案为：30．【点评】此题主要考查了全等三角形的应用，关键是正确找出证明三角形全等的条件．【变式9-3】（2022秋•永城市校级期末）如图，点B，F，C，E在直线l上（点F，C之间不能直接测量），点A，D在l的异侧，AB∥DE，∠A＝∠D，测得AB＝DE．（1）求证：△ABC≌△DEF；（2）若BE＝10cm，BF＝3cm，求FC的长．【分析】（1）先证明∠ABC＝∠DEF，再根据ASA即可证明．（2）根据全等三角形的性质即可解答．【解答】（1）证明：∵AB∥DE，∴∠ABC＝∠DEF，在△ABC与△DEF中，∠ABC=∠DEFAB=DE∴△ABC≌△DEF；（2）∵△ABC≌△DEF，∴BC＝EF，∴BF+FC＝EC+FC，∴BF＝EC，∵BE＝10m，BF＝3m，∴FC＝10﹣3﹣3＝4（m），答：FC的长是4m．【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、平行线的判定等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形的条件，记住平行线的判定方法，属于基础题，中考常考题型．【变式9-4】如图，操场上有两根旗杆间相距12m，小强同学从B点沿BA走向A，一定时间后他到达M点，此时他测得CM和DM的夹角为90°，且CM＝DM，已知旗杆AC的高为3m，小强同学行走的速度为0.5m/s，则：（1）请你求出另一旗杆BD的高度；（2）小强从M点到达A点还需要多长时间？【分析】（1）首先证明△CAM≌△MBD，可得AM＝DB，AC＝MB，然后可求出AM的长，进而可得DB长；（2）利用路程除以速度可得时间．【解答】解：（1）∵CM和DM的夹角为90°，∴∠1+∠2＝90°，∵∠DBA＝90°，∴∠2+∠D＝90°，∴∠1＝∠D，在△CAM和△MBD中，∠A=∠B∠1=∠D∴△CAM≌△MBD（AAS），∴AM＝DB，AC＝MB，∵AC＝3m，∴MB＝3m，∵AB＝12m，∴AM＝9m，∴DB＝9m；（2）9÷0.5＝18（s）．答：小强从M点到达A点还需要18秒．【点评】此题主要考查了全等三角形的应用，关键是正确判定△CAM≌△MBD，掌握全等三角形的判定定理：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．题型十全等三角形的判定与性质的综合应用题型十全等三角形的判定与性质的综合应用【例题10】（2022秋•绥棱县校级期末）如图，AD∥BC，AD＝BC，AC与BD相交于点O，EF过点O并分别交AD，BC于点E，F，则图中的全等三角形共有（）A．1对 B．2对 C．3对 D．4对【分析】由于AD∥BC，可知∠A＝∠C，∠B＝∠D，而AD＝BC，利用ASA可证△AOD≌△COF，再根据△AOD≌△COF，可知OA＝OC，利用一对对顶角和一对内错角相等，利用ASA可证△AOE≌△COF，进而可证△DOE≌△BOF．【解答】解：∵AD∥BC，∴∠A＝∠C，∵∠AOD＝∠COB，AD＝BC，∴△AOD≌△COB（AAS）；∴OA＝OC，OD＝OB，∵∠AOE＝∠COF，∴△AOE≌△COF（ASA）；∵AD∥BC，∴∠D＝∠B，∵∠DOE＝∠BOF，OD＝OB，∴△DOE≌△BOF（ASA），故选：C．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是先证明一对三角形全等，再以此为基础，证明另外三角形的全等．解题技巧提炼三角形的全等判定与性质的综合应用主要是用来探究线段、角之间的数量，因此可利用全等三角形的性质解决问题．【变式10-1】如图①，点A、E、F、C在一条直线上，AE＝CF，过点E、F分别作DE⊥AC，BF⊥AC．连接AB、CD，且使AB＝CD．（1）求证：BD平分EF；（2）若将△DEC的边EC沿AC方向移动，△BFA的边FA沿CA方向移动，变为如图②所示时，其余条件不变，上述结论是否还成立；若成立，请说明理由．【分析】（1）根据题干中给出的条件可以证明Rt△ABF≌Rt△CDE，可以证明BF＝DE，即可证明△BFG≌△DEG，可得BG＝DG；（2）求证方法和（1）相同．【解答】解：（1）∵AE＝CF，AF＝AE+EF，CE＝CF+EF∴AF＝CE，∵DE⊥AC，BF⊥AC，∴△ABF、△CDE为直角三角形，在Rt△ABF和Rt△CDE中，AB=CDAF=CE∴Rt△ABF≌Rt△CDE（HL），∴BF＝DE，在△DEG和△BFG中，∠EGD=∠FGB∠DEG=∠BFG=90°∴△DEG≌△BFG（AAS），∴EG＝FG，即BD平分EF；（2）成立，求证如下：∵AE＝CF，AF＝AE+EF，CE＝CF+EF∴AF＝CE，∵DE⊥AC，BF⊥AC，∴△ABF、△CDE为直角三角形，在Rt△ABF和Rt△CDE中，AB=CDAF=CE∴Rt△ABF≌Rt△CDE（HL），∴BF＝DE，在△DEG和△BFG中，∠EGD=∠FGB∠DEG=∠BFG=90°∴△DEG≌△BFG（AAS），EG＝FG，即BD平分EF．【点评】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证BF＝DE是解题的关键．【变式10-2】（2022秋•禹城市期中）如图，AC与BD交于O点，AB∥DC，AB＝DC．（1）点O是AC、BD的中点吗？说明你的理由；（2）若过O点作直线l，分别交AB、DC于E、F