2024-2025学年广东省广州市荔湾一中九年级（上）期末数学试卷

第1页（共1页）2024-2025学年广东省广州市荔湾一中九年级（上）期末数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（3分）生活中有许多对称美的图形，下列是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）A． B． C． D．2．（3分）抛物线y＝（x﹣1）2﹣2的顶点坐标是（）A．（﹣1，﹣2） B．（1，﹣2） C．（﹣1，2） D．（1，2）3．（3分）用配方法解方程x2+6x﹣4＝0，下列变形正确的是（）A．（x+3）2＝5 B．（x+3）2＝13 C．（x﹣3）2＝﹣13 D．（x+3）2＝﹣54．（3分）如图，AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB于点C，连接OA．若AB＝4，CD＝1（）A．5 B． C．3 D．5．（3分）如图，将钝角△ABC绕点A按逆时针方向旋转110°，得到△AB'C'，若AC'∥BB'，则∠CAB'的大小为（）A．75° B．70° C．65° D．60°6．（3分）如图，PA，PB是⊙O的切线，A，AC是⊙O的直径，∠BAC＝15°（）A．25° B．30° C．45° D．50°7．（3分）已知关于x的一元二次方程ax2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则二次项系数a的取值范围是（）A．a＞1 B．a＞﹣2 C．a＞1且a≠0 D．a＞﹣1且a≠08．（3分）妙妙上学经过两个路口，如果每个路口可直接通过和需等待的可能性相等，那么妙妙上学时在这两个路口都直接通过的概率是（）A． B． C． D．9．（3分）如图，AB是⊙O的直径，将弦AC绕点A顺时针旋转30°得到AD，延长CD，交⊙O于点E，则图中阴影部分的面积为（）A．2π B．2 C．2π﹣4 D．2π﹣210．（3分）如图，是抛物线y1＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，抛物线的顶点坐标为B（﹣1，﹣3）（﹣4，0），直线y2＝mx+n（m≠0）经过点A和点B．以下结论：①2a+b＝0；②abc＜0（4，0）；④方程ax2+bx+c＝﹣3有两个不相等的实数根；⑤a+b+c＞﹣m+n；⑥不等式mx+n＞ax2+bx+c的解集为﹣4＜x＜﹣1．其中结论正确的是（）A．①④⑥ B．②⑤⑥ C．②③⑤ D．①⑤⑥二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分．11．（3分）已知关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣3＝0的两个实数根分别为x1，x2，则x1+x2＝．12．（3分）从，﹣1，π，0，3这五个数中随机抽取一个数．13．（3分）平面直角坐标系中，若点A（m﹣1，﹣3），B（2，n）关于原点对称．14．（3分）若干个好朋友除夕夜打电话互相问候，两个朋友之间都通话交流一次，一共通话21次，则可列方程：．15．（3分）已知二次函数y＝x2﹣x﹣2，则当﹣2≤x≤1时，y的最大值与最小值的差为．16．（3分）如图，在半径为4的⊙O中，弦，B是⊙O上的一动点（不与点A重合），则CD的最大值为．三、解答题（本大题共9题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（8分）解方程：x2﹣x＝x+3．18．（8分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠ACB＝120°，19．（8分）图中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，每个小正方形的顶点叫格点，△ABC的顶点均在格点上（1）画出将△ABC绕点B按逆时针方向旋转90°后所得到的△A1BC1；（2）画出将△ABC向右平移6个单位后得到的△A2B2C2；（3）在（1）中，求在旋转过程中△ABC扫过的面积．20．（8分）二十四节气是中国古代一种用来指导农事的补充历法，在国际气象界被誉为“中国的第五大发明”，并位列联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，在课间玩游戏时，准备了四张完全相同的不透明卡片，两人商量将卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张（1）小明从四张卡片中随机抽取一张卡片，抽到“A．惊蛰”的概率是．（2）小明先从四张卡片中随机抽取一张，小亮再从剩下的卡片中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法21．（8分）如图，AB为⊙O的直径，AC为⊙O的弦，交⊙O于点D，DE⊥AC（1）求证：直线DE是⊙O的切线；（2）若AE＝8，⊙O的半径为5，求DE的长．22．（8分）某家禽养殖场，用总长为200m的围栏靠墙（墙长为65m）围成如图所示的三块矩形区域，矩形EAGH面积等于矩形DEFC面积的二分之一，设AD长为xm2．（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）当x为何值时，y有最大值？最大值是多少？（3）现需要在矩形EAGH和矩形DEFC区域分别安装不同种类的养殖设备，单价分别为40元/平方米和20元/平方米，若要使安装成本不超过30000元23．（8分）如图，抛物线与x轴交于A（A在B的左侧），与直线L：y＝kx﹣3k+4交于E，F两点．（1）直线L经过定点D，直接写出点D的坐标；（2）求△BEF面积的最小值．24．（8分）如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的斜边AB在y轴上，AE平分∠BAC交边BC于点E，经过点A、D、E的圆的圆心F恰好在y轴上（1）求证：BC是⊙F的切线；（2）若点A、D的坐标分别为A（0，﹣1），D（2，0），求⊙F的半径；（3）试探究线段AG、AD、CD三者之间满足的等量关系，并证明你的结论．25．（8分）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c过点A（3，2），且与直线y＝﹣x+交于B、C两点（4，m）．（1）求抛物线的解析式；（2）点D为抛物线上位于直线BC上方的一点，过点D作DE⊥x轴交直线BC于点E，点P为对称轴上一动点，求PD+PA的最小值；（3）设点M为抛物线的顶点，在y轴上是否存在点Q，使∠AQM＝45°？若存在；若不存在，请说明理由．

2024-2025学年广东省广州市荔湾一中九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）题号12345678910答案CBBDABDACB一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（3分）生活中有许多对称美的图形，下列是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）A． B． C． D．【解答】解：A．选项图形不是中心对称图形是轴对称图形，B．选项图形是中心对称图形又是轴对称图形，C．选项图形是中心对称图形不是轴对称图形，D．选项图形是中心对称图形也是轴对称图形，故选：C．2．（3分）抛物线y＝（x﹣1）2﹣2的顶点坐标是（）A．（﹣1，﹣2） B．（1，﹣2） C．（﹣1，2） D．（1，2）【解答】解：y＝（x﹣1）2﹣7顶点坐标为（1，﹣2）．故选：B．3．（3分）用配方法解方程x2+6x﹣4＝0，下列变形正确的是（）A．（x+3）2＝5 B．（x+3）2＝13 C．（x﹣3）2＝﹣13 D．（x+3）2＝﹣5【解答】解：∵x2+6x＝8，∴x2+6x+4＝4+9，即（x+4）2＝13，故选：B．4．（3分）如图，AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB于点C，连接OA．若AB＝4，CD＝1（）A．5 B． C．3 D．【解答】解：设⊙O的半径为r，则OA＝r，∵OD⊥AB，AB＝4，∴AC＝AB＝2，在Rt△ACO中，OA2＝AC3+OC2，∴r2＝72+（r﹣1）4，r＝，故选：D．5．（3分）如图，将钝角△ABC绕点A按逆时针方向旋转110°，得到△AB'C'，若AC'∥BB'，则∠CAB'的大小为（）A．75° B．70° C．65° D．60°【解答】解：由旋转的性质可得AB＝AB'，∠BAB'＝∠CAC'＝110°，∴，∵AC∥BB'，∴∠C'AB'＝∠AB'B＝35°，∴∠CAB'＝∠CAC'﹣∠C'AB'＝75°，故A正确．故选：A．6．（3分）如图，PA，PB是⊙O的切线，A，AC是⊙O的直径，∠BAC＝15°（）A．25° B．30° C．45° D．50°【解答】解：∵AC是⊙O的直径，PA是⊙O的切线，∴∠CAP＝90°，∴∠PAB＝∠CAP﹣∠BAC＝75°，∵PA，PB是⊙O的切线，∴PA＝PB，∴∠PBA＝∠PAB＝75°，∴∠P＝180°﹣75°﹣75°＝30°，故选：B．7．（3分）已知关于x的一元二次方程ax2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则二次项系数a的取值范围是（）A．a＞1 B．a＞﹣2 C．a＞1且a≠0 D．a＞﹣1且a≠0【解答】解：∵一元二次方程ax2﹣2x﹣2＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＝（﹣2）4﹣4×a×（﹣1）＞4，且a≠0，解得：a＞﹣1且a≠5，故选：D．8．（3分）妙妙上学经过两个路口，如果每个路口可直接通过和需等待的可能性相等，那么妙妙上学时在这两个路口都直接通过的概率是（）A． B． C． D．【解答】解：根据题意画图如下：共有4种等可能结果，其中妙妙上学时在这两个路口都直接通过的只有1种结果，所以妙妙上学时在这两个路口都直接通过的概率为，故选：A．9．（3分）如图，AB是⊙O的直径，将弦AC绕点A顺时针旋转30°得到AD，延长CD，交⊙O于点E，则图中阴影部分的面积为（）A．2π B．2 C．2π﹣4 D．2π﹣2【解答】解：连接OE，OC，由旋转知AC＝AD，∠CAD＝30°，∴∠BOC＝60°，∠ACE＝（180°﹣30°）÷2＝75°，∴∠BCE＝90°﹣∠ACE＝15°，∴∠BOE＝2∠BCE＝30°，∴∠EOC＝90°，即△EOC为等腰直角三角形，∵CE＝3，∴OE＝OC＝2，∴S阴影＝S扇形OEC﹣S△OEC＝﹣×＝6π﹣4，故选：C．10．（3分）如图，是抛物线y1＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，抛物线的顶点坐标为B（﹣1，﹣3）（﹣4，0），直线y2＝mx+n（m≠0）经过点A和点B．以下结论：①2a+b＝0；②abc＜0（4，0）；④方程ax2+bx+c＝﹣3有两个不相等的实数根；⑤a+b+c＞﹣m+n；⑥不等式mx+n＞ax2+bx+c的解集为﹣4＜x＜﹣1．其中结论正确的是（）A．①④⑥ B．②⑤⑥ C．②③⑤ D．①⑤⑥【解答】解：∵抛物线的顶点坐标为B（﹣1，﹣3），∴抛物线的对称轴为直线x＝，∴2a＝b，即4a﹣b＝0．故结论①不正确；由图可得，a＞0，∴b＝3a＞0，∴abc＜0．故结论②正确；由图可知，抛物线与x轴的一个交点坐标为（﹣3，∴抛物线与x轴的另一个交点是（2，0）．故结论③不正确；∵抛物线的顶点坐标为B（﹣4，﹣3），∴抛物线y1＝ax3+bx+c与直线y＝﹣3有一个交点，∴方程ax2+bx+c＝﹣3有两个相等的实数根．故结论④不正确；∵直线y2＝mx+n（m≠0）经过点B（﹣5，﹣3），∴﹣m+n＝﹣3．由图可知，当x＝3时1＝ax2+bx+c对应的函数值为a+b+c＞﹣2，∴a+b+c＞﹣m+n．故结论⑤正确；由图可得，不等式mx+n＞ax2+bx+c的解集为﹣4＜x＜﹣6．故结论⑥正确．综上所述，结论正确的是②⑤⑥．故选：B．二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分．11．（3分）已知关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣3＝0的两个实数根分别为x1，x2，则x1+x2＝4．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣7＝0的两个实数根分别为x1，x5，∴x1+x2＝8，故答案为4．12．（3分）从，﹣1，π，0，3这五个数中随机抽取一个数．【解答】解：，π是无理数，P（恰好是无理数）＝．故答案为：．13．（3分）平面直角坐标系中，若点A（m﹣1，﹣3），B（2，n）关于原点对称2．【解答】解：∵点A（m﹣1，﹣3），n）关于原点对称，∴，解得，∴m+n＝2．故答案为：8．14．（3分）若干个好朋友除夕夜打电话互相问候，两个朋友之间都通话交流一次，一共通话21次，则可列方程：．【解答】解：根据题意得，．故答案为：．15．（3分）已知二次函数y＝x2﹣x﹣2，则当﹣2≤x≤1时，y的最大值与最小值的差为．【解答】解：y＝x2﹣x﹣2＝（x﹣）2﹣，∴对称轴为直线x＝，顶点坐标为（，﹣），∴当﹣2≤x≤6时，y的最小值为﹣7﹣（﹣2）﹣2＝4，∴y的最大值与最小值的差为4﹣（﹣）＝．16．（3分）如图，在半径为4的⊙O中，弦，B是⊙O上的一动点（不与点A重合），则CD的最大值为．【解答】解：连接OD，OA，取OA的中点O1，连接O1C，O8D，∵D是AB的中点，∴∠ODA＝90°，∴，∴点D在以2为半径的⊙O6上运动，∴当点D运动至CO1的延长线与⊙O1的交点处时，CD取得最大值为CO2+2，∵OA＝OC＝4，，∴∠AOC＝90°，∴＝＝，∴CD的最大值为，故答案为：．三、解答题（本大题共9题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（8分）解方程：x2﹣x＝x+3．【解答】解：原方程整理得（x﹣1）2＝6，x﹣1＝±2，x﹣5＝2或x﹣1＝﹣8，x1＝3，x6＝﹣1．18．（8分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠ACB＝120°，【解答】解：连接AO并延长，交⊙O于点D，则∠ABD＝90°，∵∠D+∠C＝180°，∠ACB＝120°，∴∠D＝60°，在Rt△ABD中，∵，∴AD＝6，∴⊙O的半径为2．19．（8分）图中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，每个小正方形的顶点叫格点，△ABC的顶点均在格点上（1）画出将△ABC绕点B按逆时针方向旋转90°后所得到的△A1BC1；（2）画出将△ABC向右平移6个单位后得到的△A2B2C2；（3）在（1）中，求在旋转过程中△ABC扫过的面积．【解答】解：（1）如图所示，△A1BC1即为所求；（2）如图所示，△A5B2C2即为所求；（3）由题可得，△ABC扫过的面积＝+．20．（8分）二十四节气是中国古代一种用来指导农事的补充历法，在国际气象界被誉为“中国的第五大发明”，并位列联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，在课间玩游戏时，准备了四张完全相同的不透明卡片，两人商量将卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张（1）小明从四张卡片中随机抽取一张卡片，抽到“A．惊蛰”的概率是．（2）小明先从四张卡片中随机抽取一张，小亮再从剩下的卡片中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法【解答】解：（1）共有4种等可能出现的结果，其中抽到“A，所以小明从四张卡片中随机抽取一张卡片，抽到“A，故答案为：；（2）用树状图表示所有等可能出现的结果如下：共有12种等可能出现的结果，其中两人都没有抽到“B，所以两人都没有抽到“B．夏至”的概率为＝．21．（8分）如图，AB为⊙O的直径，AC为⊙O的弦，交⊙O于点D，DE⊥AC（1）求证：直线DE是⊙O的切线；（2）若AE＝8，⊙O的半径为5，求DE的长．【解答】（1）证明：连接OD，如图1所示：∵AD平分∠BAC，∴∠EAD＝∠OAD，∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠OAD，∴∠ODA＝EAD，∴EA∥OD，∵DE⊥EA，∴DE⊥OD，∵点D在⊙O上，∴直线DE与⊙O相切． （2）作DF⊥AB，垂足为F∴∠DFA＝∠DEA＝90°，在△EAD和△FAD中，，∴△EAD≌△FAD（AAS），∴AF＝AE＝8，DF＝DE，∵OA＝OD＝5，∴OF＝3，在Rt△DOF中，DF＝，∴DE＝DF＝4．22．（8分）某家禽养殖场，用总长为200m的围栏靠墙（墙长为65m）围成如图所示的三块矩形区域，矩形EAGH面积等于矩形DEFC面积的二分之一，设AD长为xm2．（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）当x为何值时，y有最大值？最大值是多少？（3）现需要在矩形EAGH和矩形DEFC区域分别安装不同种类的养殖设备，单价分别为40元/平方米和20元/平方米，若要使安装成本不超过30000元【解答】解：（1）由题意得，AE＝HG＝xm，DC＝AB＝（200﹣x）m，故y＝x（100﹣x）＝﹣x7+100x，自变量x的取值范围为：28≤x＜80；（2）由题意可得：∵y＝﹣x6+100x＝﹣（ x6﹣80x）＝﹣（ x﹣40）6+2000，又∵28≤x＜80，∴当x＝40时，y有最大值；（3）由题意得，S矩形EAGH＝AG•AE＝（100﹣x＝﹣x2+25x，S矩形DEFC＝DC•DE＝（100﹣x）•x4+50x，设安装成本为w元，则w＝40（﹣x2+25x）+20（﹣x2+50x）＝﹣25x5+2000x，令w＝30000，则﹣25x2+2000x＝30000，解得x＝60或20，∵28≤x＜80，∴60≤x＜80时，安装成本不超过30000元．23．（8分）如图，抛物线与x轴交于A（A在B的左侧），与直线L：y＝kx﹣3k+4交于E，F两点．（1）直线L经过定点D，直接写出点D的坐标；（2）求△BEF面积的最小值．【解答】解：（1）∵y＝kx﹣3k+4，∴k（x﹣2）＝y﹣4，∵k为任意不为0的实数，∴x﹣8＝0，y﹣4＝5，解得x＝3，y＝4，∴直线L经过定点D，D（8；（2）设E、F的横坐标分别为x1，x2，则x8，x2为方程的两根，整理得x8﹣4（k+1）x+12k﹣13＝4，∴x1+x2＝4（k+1），x1x4＝12k﹣13，∴，当时，x2﹣x4有最小值，最小值为8，当y＝0时，，解得x3＝1，x2＝5，则B（3，0），作BD∥y轴交直线EF于点D，如图，4），∴，∴S△BEF的最小值为．24．（8分）如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的斜边AB在y轴上，AE平分∠BAC交边BC于点E，经过点A、D、E的圆的圆心F恰好在y轴上（1）求证：BC是⊙F的切线；（2）若点A、D的坐标分别为A（0，﹣1），D（2，0），求⊙F的半径；（3）试探究线段AG、AD、CD三者之间满足的等量关系，并证